[摘 ?要] 文章通過對(duì)2019年高一新生在人教A版必修1函數(shù)模塊的入門教學(xué)的案例研究，發(fā)現(xiàn)學(xué)生個(gè)體和班級(jí)整體對(duì)數(shù)學(xué)題型學(xué)習(xí)與發(fā)展的規(guī)律及教學(xué)效率的影響因素，并根據(jù)案例分析和教學(xué)經(jīng)驗(yàn)提出了高效的高中數(shù)學(xué)教學(xué)的基本原則和策略.

[關(guān)鍵詞] 高中;數(shù)學(xué)教學(xué);效率

研究背景

從20世紀(jì)80年代以來，我們進(jìn)行了一系列的數(shù)學(xué)教學(xué)改革，但大多數(shù)都銷聲匿跡了，其中最致命的原因是缺乏效率意識(shí). 這告訴我們，改革者有無效率意識(shí)，改革方案能否實(shí)施高效的數(shù)學(xué)教學(xué)，乃是一項(xiàng)硬指標(biāo)，是具有否決權(quán)的“一票”[1]. 國內(nèi)有關(guān)數(shù)學(xué)教學(xué)的效率和有效性的研究文獻(xiàn)很多，說明對(duì)這個(gè)問題的關(guān)注度高，但縱觀國內(nèi)外關(guān)于數(shù)學(xué)教學(xué)效率的研究，尚存在以下問題或不足：（1）脫離具體的教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)目標(biāo)而空談效率;（2）缺乏課堂教學(xué)后學(xué)生實(shí)際學(xué)習(xí)效果的跟蹤調(diào)查研究，教學(xué)效果如何是由學(xué)生的學(xué)習(xí)成果來決定的. 文章就是對(duì)自然教學(xué)情境中高中數(shù)學(xué)教與學(xué)案例進(jìn)行的跟蹤調(diào)查研究.

研究方法

1. 采取行動(dòng)研究法，質(zhì)性和量化分析結(jié)合

由于教育的高度復(fù)雜性，嚴(yán)格控制的對(duì)比實(shí)驗(yàn)研究在學(xué)校難以進(jìn)行，所以在自然、真實(shí)的教育環(huán)境中進(jìn)行“行動(dòng)研究”就成了可行和必要的方法. 籠統(tǒng)的教育量化分析可以看到外部的整體特征，但難以洞察到復(fù)雜的教學(xué)現(xiàn)象的內(nèi)在本質(zhì)，所以教育研究要將質(zhì)性和量化結(jié)合. 案例分析對(duì)發(fā)現(xiàn)教育的問題和本質(zhì)是不可或缺的，有道是“一個(gè)好的案例，勝過一千次說教”.

2. 研究對(duì)象和過程

研究對(duì)象主要是2019年9月新入學(xué)的筆者任教的高一（13）班的學(xué)生. 這所福建省一級(jí)重點(diǎn)高中每年高考的一本上線率在35%左右，本科上線率在90%左右. 這個(gè)普通平行班（共50人）預(yù)計(jì)能達(dá)到一本上線十幾人的水平. 重點(diǎn)是調(diào)查研究高一上學(xué)期期中考試前2個(gè)月的教與學(xué)的情況，此時(shí)正是高一新生的數(shù)學(xué)入門學(xué)習(xí)階段，學(xué)習(xí)的內(nèi)容又是比較抽象、難學(xué)的人教A版必修一的函數(shù)，學(xué)生的學(xué)習(xí)困難很多，易于發(fā)現(xiàn)問題. 筆者對(duì)（13）班學(xué)生使用了自己設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)作業(yè)和相應(yīng)的教學(xué)方法，用作對(duì)比的是采取傳統(tǒng)的教學(xué)方式和教輔作業(yè)的另一筆者任教的（11）班和其他平行班，年段有2～14共13個(gè)平行班.

研究結(jié)果與分析

1. 案例1：復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問題

（1）課后作業(yè)訓(xùn)練的變式進(jìn)程——分析復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性：第一次，f（x）=;第二次，f（x）=;第三次，y=;第四次，y=;第五次，y=;第六次，f（x）=log（1-x2）;第七次，f（x）=lg（3-2x-x2）.

（2）高一（13）班整體教與學(xué)的進(jìn)程及分析：

第一次（9月12日），課堂上教師講析一個(gè)范例后，學(xué)生做了一個(gè)匹配練習(xí)題（沒有板演）;教師再講析，此題作為課后作業(yè)的正確率是34%.

教學(xué)反思：教師認(rèn)為這種題型的解法步驟簡單明確，講解也很清晰，出現(xiàn)這么差的教學(xué)效果真是出乎意料. 經(jīng)過深入的訪談等調(diào)查分析，發(fā)現(xiàn)主要原因是高一新生難以理解這種初中沒有學(xué)過的形式化的抽象代數(shù)推理. 不理解的內(nèi)容易忘記，也無法自己推求，晚自習(xí)做匹配練習(xí)時(shí)就記憶模糊、混亂，無所適從了.

第二次（9月17日），課堂上對(duì)前函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性進(jìn)行階段性復(fù)習(xí)，并匹配相應(yīng)的課后作業(yè)，此題屬于作業(yè)中的“錯(cuò)題再練”，結(jié)果是54%的正確率，進(jìn)步顯著.

第三次（9月21日），此題作為最后的“預(yù)習(xí)探究”作業(yè)，結(jié)果只有12%的正確率. 可見高一新生應(yīng)對(duì)較新的變式問題時(shí)處理能力很差，在此入門階段的學(xué)習(xí)，多數(shù)學(xué)生還是處于模仿的學(xué)習(xí)狀態(tài).

第四次（9月23日），在上課的最后講析了此類范例，但因時(shí)間不足，沒有當(dāng)堂匹配練習(xí)，結(jié)果是此題作為課后作業(yè)只有26%的正確率，教學(xué)效果很差.

第五次（9月24日），此題作為課堂上講評(píng)后的課后作業(yè)之“錯(cuò)題再練”，結(jié)果是82%的正確率，進(jìn)步顯著.

第六次（9月28日），課堂上講析了范例，此題作為課后作業(yè)是70%的正確率，說明（13）班大多數(shù)學(xué)生對(duì)此類題型的掌握漸入佳境.

第七次（10月30日），作為當(dāng)天下午第二節(jié)的課堂測(cè)試，此題的結(jié)果居然是只有34%的正確率. 進(jìn)一步對(duì)學(xué)生的訪談發(fā)現(xiàn)，不會(huì)做或做錯(cuò)的主要原因是淡忘了教師教的此類題型的解法. 經(jīng)過教師的提示，學(xué)生回想起來之后，多數(shù)學(xué)生又能解答出來了.

（3）代表性的學(xué)生個(gè)案學(xué)習(xí)進(jìn)程與分析.

①數(shù)學(xué)成績是班級(jí)的后10名，悟性較差，但學(xué)習(xí)認(rèn)真的女生吳：第一次的作業(yè)正確，第二次的作業(yè)錯(cuò)誤，第三次、第四次、第五次的作業(yè)都正確，第六次、第七次的作業(yè)又錯(cuò)誤了. 調(diào)查和訪談發(fā)現(xiàn)，此女生因?qū)W習(xí)認(rèn)真，課堂筆記做得較清楚，即使不怎么理解，也可以通過逐步模仿正確解答，但間隔時(shí)間一長就容易因?yàn)榈粫?huì)做或做錯(cuò).

②數(shù)學(xué)成績?cè)诎嗉?jí)10名至20名之間，悟性較好，但作業(yè)馬虎的男生林：第一次、第二次、第三次、第四次、第五次、第六次的作業(yè)都錯(cuò)了，第七次測(cè)試過程雖不規(guī)范，但結(jié)論正確. 錯(cuò)因主要是其不按照教師示例的三步去推求，訂正也不認(rèn)真，總是習(xí)慣于隨心亂寫，思維不嚴(yán)謹(jǐn).

③數(shù)學(xué)成績?cè)诎嗉?jí)前10名的優(yōu)秀男生黃：除了在第四次的作業(yè)因“跳步”、太匆忙而發(fā)生了錯(cuò)誤外，其他幾次作業(yè)全部正確. 這樣多次的重復(fù)訓(xùn)練對(duì)此水平的優(yōu)秀學(xué)生有些不必要了.

教學(xué)反思：對(duì)比女生吳和男生林的學(xué)習(xí)過程發(fā)現(xiàn)，嚴(yán)格落實(shí)學(xué)生規(guī)范解答的要求對(duì)促進(jìn)學(xué)生掌握數(shù)學(xué)和提高教學(xué)效率具有必要性. 因?yàn)閿?shù)學(xué)是研究模式的科學(xué)，大多數(shù)常規(guī)題型的基本解題過程都可以“算法化”分步操作，這樣易于學(xué)生先學(xué)會(huì)模仿操作和減少錯(cuò)誤，然后在操作中逐步理解，而且規(guī)范化操作有利于促進(jìn)學(xué)生快速準(zhǔn)確地解答基本題型.

案例分析后發(fā)現(xiàn)，雖然學(xué)生的最后答案是在正確與錯(cuò)誤之間擺動(dòng)，但在總體上其理解和掌握是對(duì)錯(cuò)誤的反思糾正而前進(jìn)的.

2. 案例2：分段的奇函數(shù)問題

（1）課后作業(yè)訓(xùn)練的變式進(jìn)程：第一次，作業(yè)為“設(shè)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，已知當(dāng)x≤0時(shí)，f（x）=2x2-x，求f（x）的解析式”;后繼的變式作業(yè)只是對(duì)“已知”做了諸如“當(dāng)x>0時(shí)，f（x）=lgx+x-1”等方式的改變，其他不變（詳略）.

（2）高一（13）班整體教與學(xué)的進(jìn)程及分析：

第一次（9月14日），課堂上講析了此類范例，但沒有時(shí)間做匹配練習(xí)，課后此題作為作業(yè)只有34%的正確率.

第二次（9月16日），在前14日“講練評(píng)”一輪后，課后此題作為作業(yè)仍然只有38%的正確率.

教學(xué)反思：就一步如“當(dāng)x>0時(shí)，-x<0，則f（x）=-f（-x）…”的推理就可以解答的問題，學(xué)生居然會(huì)學(xué)得如此困難，出乎教師的預(yù)料. 對(duì)學(xué)生解答的分析和訪談發(fā)現(xiàn)，根源是學(xué)生難以理解這種形式化推理的必要性和合理性. 教師自覺此題的解法簡單明了，認(rèn)為只要示范講明，學(xué)生模仿著做就可以掌握了. 豈料學(xué)生總是傾向于用自己的理解（即學(xué)習(xí)過程中形成的思維表象）來解題，因?yàn)閷W(xué)生頭腦中的“表象”是思考時(shí)最先跳出來的、最活躍的心理因素[2]. 案例一和案例二都表明了對(duì)數(shù)學(xué)的理解是學(xué)生自主建構(gòu)的，把學(xué)生當(dāng)作知識(shí)的容器，一味地講授灌輸式的數(shù)學(xué)教學(xué)效果是很差的.課堂上要注意通過學(xué)生獨(dú)立嘗試練習(xí)后的師生互動(dòng)，通過正例與反例的對(duì)比分析及獨(dú)立練習(xí)等用來豐富和完善學(xué)生的“基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”和認(rèn)知表象，這樣才能真正提高學(xué)生的理解水平和解題應(yīng)變能力，這樣才是真正高效率的數(shù)學(xué)教學(xué).

第三次（9月17日），在前“錯(cuò)誤”課堂講評(píng)后，此題作為“錯(cuò)題再練”，結(jié)果是68%的正確率，進(jìn)步顯著.

第四次（9月19日），課堂的單元考試，此題是72%的正確率.

第五次（9月23日），此題是79%的正確率.

第六次（10月30日），當(dāng)天下午第二節(jié)的課堂測(cè)試，此題居然只有26%的正確率. 絕大多數(shù)學(xué)生因?yàn)榈?、沒有思路或思路不清而錯(cuò).

（3）代表性的學(xué)生個(gè)案學(xué)習(xí)進(jìn)程與分析：

①同上，后進(jìn)生吳：第一次、第二次屬于思路不清的錯(cuò)誤，第三次正確，第四次考試錯(cuò)誤，第五次正確，第六次屬于思路不清的錯(cuò)誤.

②同上，中等生林：第一次、第二次、第三次、第四次都是屬于思路不清、邏輯混亂的錯(cuò)誤，雖有訂正，但總是不按照教師示例的步驟推理，習(xí)慣于自己亂寫而錯(cuò). 第五次正確，第六次測(cè)試沒有思路，顯示空白.

③同上，優(yōu)秀生黃：每次都正確.

3. 案例3：分段函數(shù)的單調(diào)性問題

（1）課后作業(yè)訓(xùn)練的變式進(jìn)程：第一次，作業(yè)為“已知f（x）=x2-2x-3a，x≥2，（a+2）x-1，x<2 是（-∞，+∞）上的單調(diào)遞增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍”;后繼的變式作業(yè)只是對(duì)區(qū)間劃分和函數(shù)稍作了改變，比如加入了后面學(xué)習(xí)的指數(shù)函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)，形式和難度基本不變（詳略）.

（2）高一（13）班整體教與學(xué)的進(jìn)程及分析：

第一次（9月12日），當(dāng)天只在課堂上講析了一個(gè)范例，沒有匹配練習(xí)，結(jié)果是此題作為課后作業(yè)只有34%的正確率. 課堂范例分析能使學(xué)生對(duì)解決此類題目有一個(gè)大致的思路，但從作業(yè)效果來看，對(duì)這類較復(fù)雜的問題，沒有當(dāng)堂的獨(dú)立練習(xí)和講評(píng)，大多數(shù)學(xué)生難以掌握思路.

第二次（9月17日），這是階段復(fù)習(xí)后的“錯(cuò)題再練”作業(yè)，此題的結(jié)果還是34%的正確率.

第三次（9月19日），在課堂的單元考試中，此題作為填空題的第12題，只有38%的正確率.

第四次（9月21日），試卷講評(píng)后的“錯(cuò)題再練”，此題是40%的正確率.

第五次（9月24日），又是“錯(cuò)題再練”，此題是70%的正確率，終于取得了顯著的進(jìn)步.

第六次（10月30日），課堂測(cè)試，此題居然只有18%的正確率，可怕的遺忘！

教學(xué)反思：通過作業(yè)分析和訪談發(fā)現(xiàn)，雖然課堂上學(xué)生聽懂了大致思路，但具體操作仍是生疏易錯(cuò)，有些學(xué)生對(duì)含參數(shù)的函數(shù)畫示意圖感到困惑. 教師反思后再次講析此類題型時(shí)，把解法進(jìn)行了“算法化”的分步操作處理，并且是講析一步讓學(xué)生做好一步的筆記，這樣易于學(xué)生模仿. 經(jīng)過反復(fù)變式訓(xùn)練后，終于取得了顯著的進(jìn)步;但進(jìn)步還是太慢，效率低下，如果早點(diǎn)改進(jìn)教法，并集中、強(qiáng)化變式訓(xùn)練，效率會(huì)更高.

（3）代表性的學(xué)生個(gè)案學(xué)習(xí)進(jìn)程與分析（詳略）.

4. 案例4：班級(jí)整體的對(duì)比分析

第一次是在10月8日的高一年段月考中（考試內(nèi)容是第一章到第二章的對(duì)數(shù)的運(yùn)算，滿分120），（13）班的數(shù)學(xué)平均分是69.2分，比（11）班高6.6分，比其余12個(gè)平行班的總平均分高6.5分. 第二次是在11月16日的高一年段期中數(shù)學(xué)考試中（考試內(nèi)容出自必修一，滿分150），（13）班的數(shù)學(xué)平均分是117.4分，比（11）班高6.4分，比其余12個(gè)平行班的總平均分高8.4分. 可見（13）班的數(shù)學(xué)平均分顯著高于其他對(duì)比班，進(jìn)一步的各試題所得平均分的對(duì)比分析都表明了短期內(nèi)造成如此顯著差距的一個(gè)主要原因就是（13）班的數(shù)學(xué)教學(xué)采取了教師自己設(shè)計(jì)的預(yù)設(shè)與生成結(jié)合的作業(yè)，實(shí)現(xiàn)了對(duì)核心重點(diǎn)的內(nèi)容或題型的循環(huán)鞏固，以及變式遞進(jìn)的訓(xùn)練.

研究結(jié)論與建議

1. 研究結(jié)論

對(duì)基本題型的掌握是學(xué)生數(shù)學(xué)理解和能力發(fā)展的基礎(chǔ)，是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容.結(jié)合上述案例分析和教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，從一般性來看，學(xué)生個(gè)體或班級(jí)整體對(duì)數(shù)學(xué)相對(duì)較難題型的學(xué)習(xí)發(fā)展具有以下曲線顯示的階段和特征：

從數(shù)學(xué)題型學(xué)習(xí)與發(fā)展曲線可知，要提高教學(xué)效率，一是開始的學(xué)習(xí)要趁熱打鐵，集中連續(xù)地學(xué)練到位（以“講練糾”或“練糾”的方式變式遞進(jìn)），并達(dá)到一定的熟練度，為后繼的變式提升奠定基礎(chǔ);二是要科學(xué)設(shè)計(jì)練習(xí)讓知識(shí)循環(huán)鞏固，提升“長作業(yè)”練習(xí)體系. 而下列的數(shù)學(xué)教學(xué)方式是低效的：（1）課堂上一味地講授，缺乏師生互動(dòng)和學(xué)生獨(dú)立的嘗試練習(xí);（2）傳統(tǒng)的知識(shí)本位的線性前進(jìn)的教與練，缺乏對(duì)前面所學(xué)知識(shí)的循環(huán)鞏固，這樣會(huì)導(dǎo)致學(xué)生學(xué)了后忘了前的“漏勺”式的低效教學(xué)現(xiàn)象的出現(xiàn);（3）沒有系統(tǒng)的“長作業(yè)”式的鞏固提升變式訓(xùn)練，這樣會(huì)導(dǎo)致學(xué)生的學(xué)練不到位，加之遺忘而功敗垂成;（4）訓(xùn)練到位后的再重復(fù)訓(xùn)練可能就是過度低效了;（5）學(xué)生缺乏新知識(shí)學(xué)習(xí)所必要的基礎(chǔ)，這是高一數(shù)學(xué)入門教學(xué)困難的首要原因.

2. 教學(xué)建議

結(jié)合研究結(jié)果和長期的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，筆者提出以下高效的高中數(shù)學(xué)教學(xué)的基本原則和策略：

（1）“以學(xué)為本，教服務(wù)于學(xué)”是保證教學(xué)效率的基本理念和前提. 教師頭腦中存在的潛意識(shí)的知識(shí)本位和教師本位的觀念使得教師認(rèn)為教學(xué)就像“扔包袱”一樣把知識(shí)講清楚教給學(xué)生就行了，不關(guān)心學(xué)生實(shí)際的接受情況，結(jié)果是教學(xué)低效到不如自知. 所以保證教學(xué)效率首先是要樹立“以學(xué)為本，教服務(wù)于學(xué)”的理念，教師始終要有意識(shí)地“稚化”自己的思維，想學(xué)生之想，預(yù)學(xué)生之困，并跟蹤調(diào)查學(xué)情，這是發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)問題和獲得適合學(xué)生的高效教學(xué)的前提.

（2）一條主線——螺旋上升，分層前進(jìn)式的學(xué)生學(xué)練活動(dòng). 數(shù)學(xué)教學(xué)的落腳點(diǎn)不是教師“教完”，而是學(xué)生“練會(huì)”. 從前面“對(duì)數(shù)學(xué)題型學(xué)習(xí)與發(fā)展曲線”可知，適合學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知發(fā)展規(guī)律的循環(huán)鞏固，螺旋上升式的數(shù)學(xué)學(xué)練活動(dòng)對(duì)保持和提高數(shù)學(xué)教學(xué)效率是不可或缺的. 從案例研究中也會(huì)發(fā)現(xiàn)分層教學(xué)，盡量使每個(gè)學(xué)生獲得與之相適應(yīng)的教與練，對(duì)提高教學(xué)效率，特別是防止和轉(zhuǎn)化學(xué)差生是不可或缺的.

（3）一個(gè)依托——教練一體系統(tǒng)優(yōu)化的課后作業(yè)[3]. 傳統(tǒng)的線性前進(jìn)的數(shù)學(xué)作業(yè)，無法滿足螺旋上升、分層遞進(jìn)的數(shù)學(xué)教學(xué)要求，所以設(shè)計(jì)出一套高質(zhì)量的教練一體系統(tǒng)優(yōu)化的課后作業(yè)是高效數(shù)學(xué)教學(xué)的依托，也是破除低效的“題海戰(zhàn)術(shù)”的關(guān)鍵. 循環(huán)往復(fù)變式遞進(jìn)的訓(xùn)練是必需的，但要把握好“度”，這就是要根據(jù)作業(yè)中學(xué)生反饋的信息來看學(xué)練是否到位，還存在哪些問題，并據(jù)此及時(shí)調(diào)整后繼的教與練，所以課后數(shù)學(xué)作業(yè)要將預(yù)設(shè)和生成結(jié)合才能最好地適合學(xué)生，避免盲目低效的“題海”訓(xùn)練，從而獲得高效的教學(xué)成果.

（4）一個(gè)保障——激勵(lì)與督促結(jié)合的教學(xué)管理. 從案例分析中可知，教師的嚴(yán)格管理，努力使每個(gè)環(huán)節(jié)的教學(xué)要求落實(shí)到位，是學(xué)生個(gè)體和班級(jí)整體有效學(xué)習(xí)進(jìn)步的保障.

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