魏侹路

[摘 ?要] 新版課程標(biāo)準(zhǔn)提出單元學(xué)習(xí)的要求，單元教學(xué)更有利于促進深度學(xué)習(xí)的發(fā)生，進而發(fā)展學(xué)科核心素養(yǎng). 文章以“三角函數(shù)”為例，討論單元教學(xué)設(shè)計的一般流程及可能遇到的問題.

[關(guān)鍵詞] 單元設(shè)計;核心素養(yǎng);三角函數(shù)

普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）中對課程內(nèi)容按照不同主題進行安排，每一個主題中又分解為若干個單元，并且在實施建議中明確指出，應(yīng)當(dāng)整體把握教學(xué)內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生從整體上把握課程，促進學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)連續(xù)性和階段性發(fā)展. 因此，教師通過整體單元教學(xué)設(shè)計，將有助于知識的融會貫通、遷移和綜合運用，更有助于發(fā)展學(xué)科核心素養(yǎng).

單元教學(xué)設(shè)計中的“單元”是一個寬泛的概念，可以從不同的維度設(shè)計呈現(xiàn). 最常見的應(yīng)當(dāng)是按照教材中知識內(nèi)容為單元呈現(xiàn). 南京師范大學(xué)的喻平教授提出以建立個體CPFS結(jié)構(gòu)為主題的單元教學(xué)模式. 還可以按照問題的發(fā)生解決過程為主題設(shè)計單元，以解決問題的數(shù)學(xué)思想方法為主題設(shè)計單元，甚至是以學(xué)科核心素養(yǎng)為主題設(shè)計單元等等. 本文以“三角函數(shù)”知識內(nèi)容為主題，和大家探討單元教學(xué)設(shè)計的一般流程.

單元內(nèi)容分析

1. 知識層面

課程標(biāo)準(zhǔn)中指出三角函數(shù)內(nèi)容包括：角與弧度、三角函數(shù)概念與性質(zhì)、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、三角恒等變換、三角函數(shù)應(yīng)用. 人教版新教材必修第一冊第五章為三角函數(shù)，分別是：5.1任意角和弧度制，5.2三角函數(shù)的概念，5.3誘導(dǎo)公式，5.4三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)，5.5三角恒等變換，5.6函數(shù)y=Asin（ωx+φ），5.7三角函數(shù)的應(yīng)用.

如果把三角函數(shù)看作是一個“大單元”，本人的設(shè)想是將其拆分為三個“小單元”.

（1）單元一：任意角和弧度制，三角函數(shù)的概念. 本單元作用是給出三角函數(shù)的定義，為后續(xù)問題的研究做好知識準(zhǔn)備.

（2）單元二：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，誘導(dǎo)公式，三角恒等變換. 本單元主要側(cè)重三角的代數(shù)運算. 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系是同一個角間的運算，誘導(dǎo)公式可以看作是一個任意角和一些特殊角之間的運算. 這兩種運算在定義的基礎(chǔ)上可以進行推導(dǎo)，同時也可以看作是定義的一種應(yīng)用. 三角恒等變換可以看作是兩個（甚至更多）任意角之間的運算. 三部分內(nèi)容對三角變形運算的要求逐級遞進.

（3）單元三：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖像與性質(zhì)，三角函數(shù)應(yīng)用. 本單元主要側(cè)重三角函數(shù)的幾何性質(zhì). 借助函數(shù)的圖像研究正弦、余弦、正切的基本性質(zhì)后，將其與一次函數(shù)復(fù)合，進一步研究函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖像與性質(zhì). 最后將其應(yīng)用到一些物理問題、實際問題中. 三角函數(shù)作為一種重要的函數(shù)模型，本單元對其函數(shù)圖像及性質(zhì)的研究也是逐步加深的.

2. 思想方法層面

三角函數(shù)是數(shù)與形緊密結(jié)合的一個大單元. 無論是任意角三角函數(shù)的定義，推導(dǎo)基本公式，還是探究三角函數(shù)的圖像性質(zhì)過程中，始終都要注意結(jié)合單位圓的使用. 其中所體現(xiàn)出的函數(shù)方程思想、數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)當(dāng)是貫穿整個單元教學(xué)中最重要的思想方法，它們幾乎可以滲透到每一個小單元的教學(xué)中去. 另外，在三角函數(shù)概念的引入，三角函數(shù)圖像的應(yīng)用等內(nèi)容中，可以引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)活動中常用的特殊到一般、類比、歸納、概括等邏輯推理方法;在誘導(dǎo)公式、三角恒等變換等內(nèi)容中，讓學(xué)生體會分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法.

3. 學(xué)科核心素養(yǎng)層面

課程標(biāo)準(zhǔn)中所提出的六大學(xué)科核心素養(yǎng)在教學(xué)過程中應(yīng)當(dāng)是一個有機的整體，它們既相對獨立、又相互交融. 但是我們應(yīng)當(dāng)根據(jù)呈現(xiàn)內(nèi)容的不同，分別有所側(cè)重.

在單元一構(gòu)建任意角概念和引入弧度制時，側(cè)重發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng);在單元二推導(dǎo)誘導(dǎo)公式、進行三角恒等變換時，側(cè)重發(fā)展學(xué)生的邏輯推理和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng);在單元三學(xué)習(xí)三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)時側(cè)重發(fā)展學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)，在運用三角函數(shù)解決一些實際問題時側(cè)重發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象與數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).

學(xué)生情況分析

1. 學(xué)生認(rèn)知基礎(chǔ)

初中時學(xué)生就有了在直角三角形中研究銳角三角函數(shù)的基本活動經(jīng)驗. 進入高中后又學(xué)習(xí)了集合對應(yīng)關(guān)系觀點下的函數(shù)概念，為角的推廣、弧度制引入的必要性、三角函數(shù)的概念學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)知識. 另外，在前面函數(shù)性質(zhì)、指對冪函數(shù)的學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生已經(jīng)積累了一些研究函數(shù)的基本思想和基本技能，這為三角函數(shù)圖像與性質(zhì)的學(xué)習(xí)做好了必要的準(zhǔn)備.

2. 學(xué)生可能遇到的困難預(yù)設(shè)

在弧度制的學(xué)習(xí)時，學(xué)生對弧度制單位的使用很不習(xí)慣，也很不理解為什么要引入弧度制;在學(xué)習(xí)誘導(dǎo)公式時，如何從圓的對稱性聯(lián)系到角之間的關(guān)系也是認(rèn)知上的難點;公式學(xué)完后經(jīng)常會被眾多的公式搞得焦頭爛額，特別是符號的記憶容易出錯;在三角恒等變換中，經(jīng)常不能合理選取適當(dāng)?shù)墓?，對變形化簡的方向總是感到迷?學(xué)習(xí)三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)時，對圖像的把握不夠準(zhǔn)確、全面，研究函數(shù)性質(zhì)的方法也不夠熟練.

3. 前測設(shè)計分析

為了提升教學(xué)的有效性和針對性，可以在前一天的練習(xí)中適當(dāng)增加第二天課程的部分前測練習(xí). 前測練習(xí)的設(shè)置可以是為了激活學(xué)生第二天需要用到的基礎(chǔ)知識. 比如，在學(xué)習(xí)弧度制之前可設(shè)置練習(xí)以復(fù)習(xí)初中學(xué)過的扇形弧長、面積公式;在學(xué)習(xí)三角函數(shù)圖像與性質(zhì)之前可設(shè)置練習(xí)以復(fù)習(xí)函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性的基本概念及研究方法. 前測練習(xí)的設(shè)置也可以是為第二天重難點的突破搭好“腳手架”. 比如，在學(xué)習(xí)誘導(dǎo)公式之前可設(shè)置練習(xí)以研究相關(guān)角的終邊的對稱性. 不過，前測練習(xí)的設(shè)置應(yīng)當(dāng)注意控制難度和數(shù)量.

單元教學(xué)目標(biāo)設(shè)計

核心素養(yǎng)是無法直接教授或習(xí)得的，它需要由數(shù)學(xué)知識作為載體，在長期潛移默化的熏陶中逐漸形成. 要做到這點，就要求我們教師必須先理解所教知識的本質(zhì)，了解數(shù)學(xué)概念的背景，把握概念的邏輯意義，理解內(nèi)容所反映的思想方法. 這樣才能設(shè)置合理的教學(xué)目標(biāo)，促進核心素養(yǎng)的落實.

1. 大單元目標(biāo)分解到小單元目標(biāo)（表1）

2. 小單元目標(biāo)分解到子目標(biāo)（表2）

3. 小單元目標(biāo)確定重難點（表3）

教學(xué)活動設(shè)計

下面以“弧度制”這一節(jié)內(nèi)容為例，說明教學(xué)活動設(shè)計過程中值得關(guān)注的幾個方面.

1. 圍繞目標(biāo)、重難點設(shè)計教學(xué)策略

結(jié)合前面分析的單元子目標(biāo)及重難點，本課教學(xué)設(shè)計中的兩個難點就在于如何使學(xué)生體會到用弧長半徑之比度量角度的合理性以及弧度制引入的必要性. 為了突破第一個難點，筆者打算從學(xué)生初中學(xué)過的弧長公式l=入手，通過變形得到=·n. 這樣就可以發(fā)現(xiàn)與n之間的函數(shù)關(guān)系，并且它們之間是一一對應(yīng)的，進而說明用弧長半徑之比度量角度是合理的. 此外，從弧度制的發(fā)展歷史來看，弧度制最初引入的原因在于將角度的六十進制與弦長的十進制統(tǒng)一起來，這樣便于查閱三角函數(shù)表. 后來，隨著微積分等近代數(shù)學(xué)的發(fā)展，弧度制大大簡化了三角公式及計算，特別是高等數(shù)學(xué)中與三角有關(guān)的微分公式、積分公式、級數(shù)公式等形式大大得到了簡化. 所以，弧度制才逐漸被數(shù)學(xué)界普遍接受和廣泛使用[1]. 針對第二個難點，筆者打算借助數(shù)學(xué)史進行突破. 但是在本堂課中無法完整地展示弧度制發(fā)展歷史的全貌，而且有些好處學(xué)生暫時無法理解，比如涉及微積分知識的三角有關(guān)公式. 所以，要對這段歷史進行整理，提煉合適的部分展示給學(xué)生.

2. 注重活動變化落實核心素養(yǎng)

核心素養(yǎng)落地的關(guān)鍵環(huán)節(jié)在于課堂活動，因為學(xué)生對所有基礎(chǔ)知識的理解、基本技能的掌握、基本思想的感悟，都應(yīng)當(dāng)來源于學(xué)生在課堂活動中積累的基本經(jīng)驗. 因此，活動過程中應(yīng)當(dāng)注意學(xué)生活動的主體性及活動形式的多樣性. 不局限于講授與練習(xí)，也可以引導(dǎo)學(xué)生自學(xué)、動手操作、自主探究、小組合作等. 另外，不同教學(xué)內(nèi)容側(cè)重發(fā)展的核心素養(yǎng)也不同，根據(jù)不同的學(xué)習(xí)內(nèi)容和任務(wù)應(yīng)當(dāng)靈活選取不同的活動方式.

比如，在發(fā)現(xiàn)弧長半徑之比度量角度的合理性過程中，數(shù)據(jù)的計算、表格的填寫以及最后的實踐活動，都可以讓學(xué)生合作交流，并請小組代表展示結(jié)論，然后由其他小組補充、評價. 能對所給數(shù)據(jù)進行處理，提取信息，進行推斷，發(fā)展學(xué)生的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng). 但是在歸納總結(jié)角的弧度公式時，應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生獨立思考，發(fā)展學(xué)生的邏輯推理和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng). 在整堂課的實施過程中，教師主要扮演的是引導(dǎo)者的角色.

3. 創(chuàng)設(shè)合適情境激活學(xué)生思維

問題是數(shù)學(xué)的心臟，因此核心素養(yǎng)的培養(yǎng)應(yīng)該落實在發(fā)現(xiàn)問題、思考問題、解決問題的過程之中，進而發(fā)展學(xué)生的思維. 那么，如何設(shè)置問題的情境，通過合理的設(shè)置引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)的思維思考問題，是落實核心素養(yǎng)的保障. 我們可以從以下幾個方面考慮.

設(shè)置具有適應(yīng)性的情境. 所謂的適應(yīng)性指的是符合學(xué)生的年齡、生活經(jīng)驗、已有知識水平等實際情況. 比如，本節(jié)內(nèi)容的引入問題來源于我們?nèi)粘Ｉ钪锌陀^存在的現(xiàn)象——單位制的多樣性，符合學(xué)生的生活經(jīng)驗. 而且問題的提出運用了類比的方法，這是對邏輯推理素養(yǎng)的發(fā)展. 而在發(fā)現(xiàn)弧長半徑之比度量角度的合理性過程中需要學(xué)生初中已有的知識——弧長公式，學(xué)生在具體問題中探求一般規(guī)律的解釋也是對數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的一種發(fā)展.

設(shè)置具有邏輯性的情境. 問題產(chǎn)生不是從天而降，而應(yīng)當(dāng)是自然生成的，問題的提出應(yīng)體現(xiàn)研究數(shù)學(xué)問題的一般思路與方法. 比如，在發(fā)現(xiàn)弧長半徑之比度量角度的合理性過程中，可以引導(dǎo)學(xué)生從直觀的圖形切入思考，然后上升到抽象的數(shù)量關(guān)系，體現(xiàn)由形到數(shù)，從具體到抽象的思維方式，發(fā)展直觀想象、數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

設(shè)置具有探究性的情境. 解決探究性問題很能反映一個學(xué)生的邏輯思維能力，它需要學(xué)生具有批判性、發(fā)散性的思維. 它幫助學(xué)生在提出問題、分析問題、解決問題的經(jīng)驗積累過程中，學(xué)會用數(shù)學(xué)的思維思考世界. 比如，引出弧長半徑之比度量角度之前，可以設(shè)計開放性的問題，學(xué)生可能會單獨考慮用半徑或者弧長來度量角度. 這需要學(xué)生經(jīng)歷提出猜想、驗證猜想、否定猜想、重新提出猜想，很好地發(fā)展學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng). 最后的探究活動作為扇形面積公式的實際運用，需要學(xué)生從實際問題中抽象出扇形面積的問題，同時總結(jié)相應(yīng)的內(nèi)在規(guī)律，發(fā)展了學(xué)生數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

設(shè)置具有人文性的情境. 借助數(shù)學(xué)史，通過對學(xué)生數(shù)學(xué)文化的熏陶，體現(xiàn)對學(xué)生發(fā)展的一種人文關(guān)懷. 同時也能激發(fā)學(xué)生的興趣和學(xué)習(xí)動機. 本節(jié)課中通過插入弧度制的發(fā)展歷史，使得學(xué)生觀察到弧度制度的來龍去脈，對弧度制建立一個整體的認(rèn)知. 奧蘇伯爾的有意義學(xué)習(xí)理論強調(diào)知識間的聯(lián)系，這樣的認(rèn)識有助于加深學(xué)生對弧度制概念及本質(zhì)的理解.

教學(xué)評價設(shè)計

評價是教學(xué)的重要環(huán)節(jié)，通過對學(xué)生的評價，不僅可以反映出學(xué)生對知識、技能掌握的程度，考查其核心素養(yǎng)的達成情況，也可以幫助教師反思教學(xué)過程，進而改進教學(xué)設(shè)計.

1. 探索形成性評價的多種方式

史寧中教授說過，思維能力與所學(xué)知識點之間的關(guān)系不是充分必要的. 評價更應(yīng)注重學(xué)生的思維過程、思維深度和思維廣度. 本人認(rèn)為，好的探究性問題能很好地考查學(xué)生的思維. 比如，在“弧度制”一節(jié)中，在發(fā)現(xiàn)弧長半徑之比度量角度的合理性過程中、探究活動請學(xué)生發(fā)言時，都是展現(xiàn)學(xué)生思維的良好窗口. 甚至，課后是不是還可以設(shè)置這樣的開放性問題：除了用這個量來度量角的大小，我們是否還可以尋找其他量來度量呢？

當(dāng)然，除了傳統(tǒng)的紙筆測試以外，我們是否還可以采取其他形式的評價方式，比如實踐活動、研究報告、小論文，甚至是面試中經(jīng)常采用的無領(lǐng)導(dǎo)小組討論. 另外，除了關(guān)注學(xué)生的知識掌握情況、數(shù)學(xué)思維發(fā)展，還應(yīng)當(dāng)關(guān)注日常學(xué)習(xí)過程中學(xué)生的學(xué)習(xí)態(tài)度、行為習(xí)慣、學(xué)習(xí)興趣等方面. 這樣可以使對學(xué)生的評價更加多元化. 這些都值得我們?nèi)嵺`、去探索.

2. 關(guān)注總結(jié)性評價的設(shè)計及反饋

在設(shè)計總結(jié)性評價工具時，主要是通過總結(jié)性測試完成. 要注意知識技能的范圍和難度，要有利于考查學(xué)生的思維過程、思維深度和廣度（例如，設(shè)計好的開放題是行之有效的方法[2]）. 聚焦單元內(nèi)的核心概念和通性通法的考查，聚焦它們所承載的核心素養(yǎng). 另外，總結(jié)性測試應(yīng)當(dāng)適當(dāng)分層，以便客觀反映不同程度學(xué)生的優(yōu)勢和不足，為改進教學(xué)行為、改進學(xué)習(xí)方法提供參考.

另外，可以充分利用信息技術(shù)，收集、整理、分析反映學(xué)生學(xué)習(xí)成果的大數(shù)據(jù). 比如，可以通過網(wǎng)上閱卷系統(tǒng)建立起每一位學(xué)生的錯題庫. 從而使得教師了解自己的教學(xué)成績，反思改進自己的教學(xué)行為，尋求改進教學(xué)的對策，進而實施更精準(zhǔn)的教學(xué).

3. 結(jié)合評價實施教學(xué)改進

北京師范大學(xué)的曹一鳴教授提出如圖1的教學(xué)改進實施路徑[3]：能力前測和教學(xué)診斷提供依據(jù)，通過統(tǒng)一課題兩輪改進提升效果，結(jié)合師生訪談、教師反思、能力后測改進效果（圖1）.

在這個過程中，教師可以借助學(xué)科備課組的力量，采取同課異構(gòu)、聽課評課等教研方式，結(jié)合學(xué)生的情況反饋不斷改進教學(xué)設(shè)計和開展新的教學(xué)活動. 當(dāng)然在這個過程可能會遇到新的問題，這不是一個簡單的重復(fù)過程，而是一個不斷動態(tài)調(diào)整的過程. 通過這一系列活動過程，使得數(shù)學(xué)教師的教學(xué)活動更有利于學(xué)生的能力發(fā)展，進而使得自身的教學(xué)能力不斷得到提升.

參考文獻：

[1] ?江灼豪，何小亞. 弧度制發(fā)展的歷史溯源[J]. 數(shù)學(xué)通報，2016（7）.

[2] ?史寧中. 高中核心素養(yǎng)的培養(yǎng)、評價與教學(xué)實施[J]. 中小學(xué)教材教學(xué)，2017（5）.

[3] ?曹一鳴，劉堅. 促進學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)與關(guān)鍵能力發(fā)展的教學(xué)研究[J]. 中小學(xué)課堂教學(xué)研究，2017（4）.