夏華

[摘 要] 新修訂的課程標準將數學抽象作為核心素養(yǎng)的第一要素，凸顯數學學習最重要的本質.抽象能力如何提高？在數學抽象中獲得提升的關鍵是什么？本文以抽象函數的學習為例，談一談數學抽象能力如何實現聚焦.

[關鍵詞] 核心素養(yǎng)；數學抽象；能力；抽象函數；思維；模型

新一輪數學課程標準正在修訂過程中，但是數學抽象已經作為第一準則被寫入了數學核心素養(yǎng)的要求. 為什么每次課程標準的制定中，數學抽象一直成為必不可少而且是首當其沖的準則呢？張景中院士這么解釋：數學最核心的是研究表象下的本質，從中學數學角度來說就是研究問題情境背后的數學本質.然而數學問題有具象化的表現，也有抽象化的表現，從中學生現有的思維程度來看，具象化的問題在高中生的認知中屬于淺層問題，通過運算、邏輯思考可以解決，但是抽象化的數學問題在中學生頭腦中尚處于深層次問題，需要加強概念的理解和使用，從漸進的角度來解決問題. 本文從抽象函數的視角入手，從幾個教學相關方面分析數學抽象能力的建立.

特殊到一般的培養(yǎng)

數學抽象能力不是一朝一夕培養(yǎng)的，而且在初中數學的學習中，數學抽象具體在教材中的體現是鳳毛麟角的，導致學生很難適應高中數學的抽象部分. 以函數概念為例，初中數學的函數對概念的要求比較粗略，這與初中生接受能力相關，因此函數都是以具體模型的形態(tài)給出的，而高中數學將函數概念上升到了更為復雜的問題中，隨之而來的抽象函數讓學生的理解出現了較大的困擾.

問題1：（線性為背景的抽象函數學習）已知函數f（x）對任意實數x，y，均有f（x+y）=f（x）+f（y），且當x>0時，f（x）>0，f（-1）=-2，則f（x）在區(qū)間[-2，1]上的值域為____________.

特殊化分析：作為一道抽象函數小題，教學中要引導學生小題小做的思路，即能利用特殊化的思路進行解決. 在后續(xù)再做出一些抽象性的思考，將問題上升到抽象層面. 我們知道，抽象函數一般都具備具體的函數模型，或者可以這么說：編制抽象函數試題的命題者，首先采用一個具體函數模型為背景進行了性質的研究，進而抽去表象編制抽象函數試題. 因此筆者認為，數學抽象能力培養(yǎng)的第一個階段是利用具象化的問題進行試探，引導學生理解初級抽象函數試題是可以用具體函數模型去適配的，從而簡化問題的求解. 對于本題，我們不妨從f（x+y）=f（x）+f（y）及當x>0時，f（x）>0，f（-1）=-2這些條件出發(fā)，可以令f（x）=2x，問題顯而易見.

變式：若問題以解答題的形態(tài)給出呢？

一般化分析：誠然若以解答題的形式給出，上述特殊化的想法自然是不全面的，問題需要回歸到解答題層面求解. 有了特殊化分析給我們做出的良好分析和鋪墊，我們發(fā)現要解決值域問題首先必須解決函數單調性，考慮到心底有了函數模型f（x）=2x支撐，所以只要證明抽象函數具有單調遞增的性質即可. 不妨設設x10，有條件f（x2-x1）>0，知f（x2）=f[（x2-x1）+x1]=f（x2-x1）+f（x1），所以f（x2）-f（x1）=f（x2-x1）>0，即f（x1）

小結：我們發(fā)現，抽象函數問題的教學從兩個層面分步進行，是對學生數學抽象能力一種循序漸進、螺旋式上升的提高，有了具象化的函數表達式自然對抽象函數的分析做到了心中有底，自然而然有了思考的方向，形成從特殊到一般的數學抽象能力培養(yǎng).

從圖形化的角度培養(yǎng)

解決數學抽象問題，直觀感性永遠是中學數學教學的第一準則.要培養(yǎng)學生的數學抽象能力，離不開圖形化思想的滲透，有了直觀才能想象，有了感性才會理性.

問題2：對定義域為R的函數f（x），表達式f（a+x）=f（b-x）與f（a+x）+f（b-x）=0的理解.

圖形化分析：函數中有很多抽象代數式，這些表達式闡述了函數的某一些數學性質，但是學生往往區(qū)分不清. 筆者認為教學可以從圖形化角度入手，借助圖形化的手段進而回頭思考抽象代數式的含義，將抽象問題結合具體圖像理解，有助于數學抽象能力的提高. 從f（a+x）=f（b-x）中，我們知道a，b是兩個常數，對定義域為R的函數而言，即x任意變化情況下，我們作出其圖像（圖1）：

結合圖像大家發(fā)現，抽象代數式f（a+x）=f（b-x）中所表示的含義是，自變量x1=a+x與x2=b-x到它們的中點等距離，其函數值也相等，隨著x的變換，但是自變量x1=a+x與x2=b-x的函數值永遠相等，從而從其運動軌跡可知函數f（x）關于直線x=成軸對稱. 類似的，我們可以引導學生：

對定義域為R的函數而言，即x任意變化情況下，我們作出其圖像（圖2）：結合圖像大家發(fā)現，抽象代數式f（a+x）+f（b-x）=0中所表示的含義是，自變量x1=a+x與x2=b-x到它們的中點等距離，其函數值互為相反數，隨著x的變換，但是自變量x1=a+x與x2=b-x的函數值永遠互為相反數，從而從其運動軌跡可知函數f（x）關于點，0成中心對稱.

抽象代數式認知培養(yǎng)：有了上述圖形化思路的分析，學生在閱讀這樣的類似抽象代數式時，常?？梢岳媚X海中的圖像為輔助，進而加強對抽象代數的閱讀和理解.可以給出類似問題，以供學生認知和理解：

訓練1：設函數y=f（x）的定義域為R，則下列命題中：①若y=f（x）是偶函數，則y=f（x+2）圖像關于y軸對稱；②若y=f（x+2）是偶函數，則y=f（x）圖像關于直線x=2對稱；③若f（x-2）=f（2-x），則函數y=f（x）圖像關于直線x=2對稱；④y=f（x-2）與y=f（2-x）圖像關于直線x=2對稱. 其中正確命題序號為__________.（答案：②④）

訓練2：已知函數y=f（x）對一切實數x滿足f（2-x）=f（4+x），且方程f（x）=0有5個實根，則這5個實根之和為_________.（答案：15）

小結：函數中許多抽象的代數式，有表述對稱性的、有表述周期性的，對于數學抽象思維能力的培養(yǎng)依賴圖形化思想的實踐來加強是一種常用的手段，從本問題的研究中我們發(fā)現，學生懼怕的抽象代數式，通過圖像分析獲得了理解，將抽象代數式的含義理解到位，對于所有的同類問題有了全面的抽象理解，提高了數學抽象的能力.

從重要函數模型的培養(yǎng)

數學抽象能力在函數教學中的運用離不開從重要函數模型中的滲透，加強重要函數模型中相關問題的理解和運用，是提高其抽象能力的一個重要環(huán)節(jié).

問題3：已知函數f（x）滿足定義域在（0，+∞）上的函數，對于任意的x，y∈（0，+∞），都有f（xy）=f（x）+f（y），當且僅當x>1時，f（x）<0成立. （1）設x，y∈（0，+∞），求證：f=f（y）-f（x）；（2）設x1，x2∈（0，+∞），若f（x1）

證明：（1）因為f（xy）=f（x）+f（y），所以f+f（x）=f（y），所以f=f（y）-f（x）.

（2）因為f（x1）

因為當且僅當x>1時，f（x）<0成立，所以當f（x）<0時，x>1，所以>1，x1>x2.

（3）令x=y=1代入f（xy）=f（x）+f（y）得f（1）=f（1）+f（1），f（1）=0，所以關于x的不等式f（x2-a+1）<0為f（x2-a+1）1？圯x2>a，下面簡要討論即可：當a<0時，不等式恒成立，x∈R；當a=0時，顯然不等式的解為x≠0即可；當a>0時，不等式的解為x<-或x>.

小結：函數章節(jié)中抽象能力的聚焦還需要一定典型的、相關的函數模型為載體，筆者教學中一般選用指數函數、對數函數為背景的試題各一，以重要的基本初等函數為背景，融合抽象函數中較為重要的“令”的方式，解決抽象函數解決中的一些特殊值，進而通過構造利用函數單調性解決問題.

總之，數學抽象能力的培養(yǎng)需要教師日復一日的滲透、培養(yǎng)，以函數為例的本文僅僅從少數方面做出了一些實踐. 筆者認為，將直觀和感性融入抽象函數教學中，循序漸進地認知、理解抽象函數. 數學抽象是一個綜合性的能力，其在后續(xù)向量、幾何等很多章節(jié)都有體現，從函數章節(jié)中獲得的經驗去啟發(fā)、思考有助于學生更好地學習數學中的抽象知識.