王東

[摘? 要] 很多教師已經(jīng)關(guān)注到“題海戰(zhàn)術(shù)”的弊端，然而教學(xué)中仍在廣泛使用，不僅增加了學(xué)生的學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān)，而且占用了師生鉆研教材的時(shí)間. 而教材才是數(shù)學(xué)教學(xué)的重中之重，只有用心鉆研才能掌握知識(shí)的內(nèi)涵，才能有效地利用例習(xí)題的變形達(dá)到鞏固學(xué)生知識(shí)和發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維的作用.

[關(guān)鍵詞] 題海戰(zhàn)術(shù);鉆研教材;數(shù)學(xué)思維

有些時(shí)候，考生會(huì)覺(jué)得考試題目偏難，但經(jīng)過(guò)反思總結(jié)卻發(fā)現(xiàn)其內(nèi)容都源于教材. 出現(xiàn)這一現(xiàn)象的原因大多是師生對(duì)教材的認(rèn)識(shí)不夠，尤其是高三復(fù)習(xí)階段，對(duì)教材研究的時(shí)間很少，大多時(shí)間用于刷題，試圖提高成績(jī). 這樣“輕教材、偏練習(xí)”的情況時(shí)有發(fā)生，即使吃了不重視教材的虧，依然容易執(zhí)迷不悟.

教材是試題編寫(xiě)的依據(jù)和主要來(lái)源，因此若想提高成績(jī)，則學(xué)好教材才是關(guān)鍵. 那么，在數(shù)學(xué)教學(xué)中如何才能用好教材呢？筆者結(jié)合教學(xué)實(shí)踐，談?wù)勛陨韺?duì)教材教學(xué)的粗淺想法.

[?] 利用教材資源夯實(shí)基礎(chǔ)

數(shù)學(xué)教材的編寫(xiě)是數(shù)學(xué)專(zhuān)家集體智慧的結(jié)晶，編寫(xiě)過(guò)程充分結(jié)合了學(xué)生的認(rèn)識(shí)水平和學(xué)習(xí)能力，是學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)的主要來(lái)源. 數(shù)學(xué)教材是值得每位教師仔細(xì)研究的，尤其是年紀(jì)較輕的一線(xiàn)教師更要注重教材的研究，不要認(rèn)為講授偏題、難題、綜合題才能體現(xiàn)個(gè)人能力，這樣錯(cuò)誤的認(rèn)識(shí)容易造成學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)掌握不牢，從而限制學(xué)生后期的提升和發(fā)展. 因此，在教學(xué)中要仔細(xì)研究教材，讀懂和挖掘教材的真實(shí)內(nèi)涵，從而認(rèn)清知識(shí)的本質(zhì)特征，真正地用好教材.

1. 加強(qiáng)概念內(nèi)涵和外延的學(xué)習(xí)

一談到數(shù)學(xué)概念，大部分學(xué)生認(rèn)為只要熟背就可以掌握和應(yīng)用概念了，這種想法顯然過(guò)于片面，沒(méi)有對(duì)概念形成正確的認(rèn)識(shí). 數(shù)學(xué)概念是通過(guò)數(shù)學(xué)家無(wú)數(shù)次驗(yàn)證和推理得到的，是從感性認(rèn)知升華至理性認(rèn)知的過(guò)程，其有著豐富的內(nèi)涵和外延. 同時(shí)，數(shù)學(xué)概念是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維、形成正確數(shù)學(xué)觀的理論依據(jù)，因此教師要引導(dǎo)學(xué)生重視概念的學(xué)習(xí)，從而為提升數(shù)學(xué)能力提供理論支持.

例1 將函數(shù)f（x）=-2（x∈[0，6]）的圖像繞點(diǎn)O（0，0）逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角θ（0≤θ≤α），得到曲線(xiàn)C. 若對(duì)于每個(gè)旋轉(zhuǎn)角θ，曲線(xiàn)C都是一個(gè)函數(shù)圖像，則α的最大值為_(kāi)_______.

此題實(shí)際上就是考查函數(shù)的定義，然而因?yàn)閷W(xué)生對(duì)概念的不敏感，很多學(xué)優(yōu)生都沒(méi)有正確理解此題的用意，從而造成難解失分.

數(shù)學(xué)定理、公式的推理都是以概念為基礎(chǔ)的，因此概念始終是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)之一，是學(xué)好數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，概念學(xué)習(xí)必須引起師生的重視.

2. 提升例題的廣度和深度

例題是對(duì)數(shù)學(xué)概念、定理、公式最好的詮釋?zhuān)怯?xùn)練學(xué)生數(shù)學(xué)思維的重要手段. 同時(shí)，很多考試題目都是例題的變形，高考題目亦是如此. 因此若想數(shù)學(xué)成績(jī)有所突破，不僅要通過(guò)熟練來(lái)掌握例題的思路和解法，還要充分挖掘例題更深層的內(nèi)涵，從而提升學(xué)生敏銳的觀察力和解決問(wèn)題的能力.

高考中很多題目都源于教材又高于教材，因此必須鼓勵(lì)學(xué)生認(rèn)真鉆研教材，切勿遠(yuǎn)離教材而盲目地練習(xí)難題、偏題，否則不僅會(huì)加重學(xué)生的學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān)，而且會(huì)消耗學(xué)生研讀教材的時(shí)間，得不償失.

[?] 立足教材，激活數(shù)學(xué)思維

課堂是教師教授知識(shí)、學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)的主陣地，因此師生要用好課堂資源，在夯實(shí)基礎(chǔ)的同時(shí)注意學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展. 在教學(xué)中，教師要善于利用變式、一題多解等多種教學(xué)手段來(lái)激活學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，培養(yǎng)學(xué)生綜合分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.

1. 認(rèn)真解讀題目中的隱含條件，培養(yǎng)思維的深刻性

審題是順利解題的前提，那么如何審題呢？筆者認(rèn)為，審題必須關(guān)注題目中隱含的條件，這樣不僅能為解題提供依據(jù)，而且有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性和深刻性. 因此，教學(xué)中要不失時(shí)機(jī)地引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注隱含的條件，培養(yǎng)學(xué)生挖掘隱含條件的意識(shí).

例2 在△ABC中，已知cosA=，cosB=，求sinC和cosC的值.

要解決此題，首先就要理解題中隱含的條件. ①由△ABC可知，∠C=180°-∠A-∠B，因此求sinC的值就轉(zhuǎn)變?yōu)榍髎in（A+B）的值;②因?yàn)椤螦，∠B，∠C為△ABC的三個(gè)內(nèi)角，因此sinA>0，sinB>0，sinC>0. 找到題目中隱含的條件，問(wèn)題自然迎刃而解. 然而，若學(xué)生對(duì)定理缺乏理解，則很難發(fā)現(xiàn)題中隱含的條件，也就很難解決問(wèn)題了.

2. 多角度論證，培養(yǎng)思維的靈活性

在教學(xué)中，教師常常引導(dǎo)學(xué)生對(duì)同一問(wèn)題從多角度進(jìn)行思考，尋求不同的解決策略或方法，從而擺脫定向思維的束縛，開(kāi)闊學(xué)生的視野，培養(yǎng)思維的靈活性.

例3 求證cos2α-cos2β=-sin（α+β）·sin（α-β）.

解決此題從多角度進(jìn)行思考，主要有以下三種方法：

方法1：cos2α-cos2β=（cosα+cosβ）·（cosα-cosβ）=

2coscos

·

-2· sinsin

=-

2sincos

·

2sincos

=-sin（α+β）sin（α-β）.

方法2：cos2α-cos2β=-==-sin（α+β）·sin（α-β）.

方法3：-sin（α+β）sin（α-β）= -（sinαcosβ+cosαsinβ）（sinαcosβ-cosαsinβ）=cos2αsin2β-sin2αcos2β=cos2α·（1-cos2β）-（1-cos2α）cos2β=cos2α-cos2β.

3. 強(qiáng)化訓(xùn)練，提高思維的敏捷性

數(shù)學(xué)考試往往題量較大，解題時(shí)需要迅速地對(duì)題目做出反應(yīng)，因此必須提高思維的敏捷性. 那么，要提高學(xué)生思維的敏捷性就需要教師有意識(shí)地進(jìn)行培養(yǎng). 首先通過(guò)常規(guī)的基礎(chǔ)練習(xí)讓學(xué)生“懂”和“會(huì)”，其次通過(guò)知識(shí)點(diǎn)整合培養(yǎng)學(xué)生的迅速反應(yīng)能力，然后通過(guò)強(qiáng)化練習(xí)提升學(xué)生的解題速度，從而達(dá)到遇到問(wèn)題就可以產(chǎn)生條件反射的程度.

例4 同角三角比的基本關(guān)系.

在講解同角三角比的基本關(guān)系時(shí)教師首先從定義入手，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)倒數(shù)關(guān)系，并找出使其成立的條件;接下來(lái)，探究商數(shù)關(guān)系和平方關(guān)系，為了方便學(xué)生加強(qiáng)公式記憶，可借助于圖形法（如圖1所示）.

通過(guò)圖1可以發(fā)現(xiàn)：①對(duì)角線(xiàn)上的三角比乘積為1;②六邊形任意相鄰的三個(gè)頂點(diǎn)代表的三角函數(shù)，處于中間位置的函數(shù)值等于與它相鄰兩個(gè)函數(shù)值的乘積，如sinθ=cosθ·tanθ.

為了方便學(xué)生記憶，在訓(xùn)練過(guò)程中，可以引導(dǎo)學(xué)生選取適合自己的方法，這也是尊重個(gè)體差異的表現(xiàn). 當(dāng)然，訓(xùn)練思維的敏捷性也可以借助于平時(shí)的練習(xí)，通過(guò)限時(shí)提升學(xué)生的關(guān)注度和緊迫感，從而培養(yǎng)學(xué)生良好的思考習(xí)慣和做題習(xí)慣. 思維的敏捷性不是一朝一夕就可以培養(yǎng)的，需要長(zhǎng)期堅(jiān)持練習(xí)，在保證正確率的基礎(chǔ)上提高對(duì)速度的要求，做到穩(wěn)扎穩(wěn)打、穩(wěn)中求快.

4. 通過(guò)變式，培養(yǎng)思維的創(chuàng)新性

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)如果僅是模仿和套用公式，很難提升學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，更無(wú)法培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維. 因此在應(yīng)用教材時(shí)可以借助于一些變式題，訓(xùn)練學(xué)生思維創(chuàng)新的能力.

例5 已知tanα=2，求的值.

該題解答后，教師通過(guò)變化讓學(xué)生繼續(xù)探究，從而通過(guò)題目的創(chuàng)新培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維.

（1）變條件：

變式1：已知tan（π-θ）=2，求的值.

變式2：角α的終邊在直線(xiàn)y=2x上，求的值.

（2）變結(jié)論：

變式3：已知tanα=2，求的值.

變式4：已知tanα=2，求2sin2α+sin2α的值.

通過(guò)變式訓(xùn)練，讓學(xué)生找到知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，不僅可以鞏固知識(shí)，還可以提升思維的靈活性，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí).

例6 已知等差數(shù)列{an}前5項(xiàng)的和為0，前10項(xiàng)的和為-100，求這個(gè)數(shù)列前20項(xiàng)的和.

讓學(xué)生根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)得出相應(yīng)的和也是等差數(shù)列，從而求解. 為了進(jìn)一步拓展和延伸，可以用字母來(lái)代替特殊值，如將“前5項(xiàng)”改為“前m項(xiàng)”、“前10項(xiàng)”改為“前2m項(xiàng)”. 因?yàn)閷W(xué)生對(duì)含字母的運(yùn)算常常無(wú)從下手，所以需要通過(guò)題目的創(chuàng)新設(shè)計(jì)解放學(xué)生的思維，讓學(xué)生從特殊中找到一般規(guī)律，從而提高學(xué)生解題的信心.

平時(shí)練習(xí)的題目，甚至高考題目，大多是教材中例習(xí)題的變形. 因此，在教學(xué)中要注意例習(xí)題的變形，通過(guò)“變”考查學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)的掌握情況，通過(guò)“變”讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的本質(zhì)，通過(guò)“變”讓學(xué)生掌握通性通法，通過(guò)“變”培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維.

5. 利用錯(cuò)誤，培養(yǎng)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性

教學(xué)中，教師常常害怕學(xué)生犯錯(cuò)，為避免犯錯(cuò)將易錯(cuò)點(diǎn)提前加以說(shuō)明，然而教師所強(qiáng)調(diào)的易錯(cuò)點(diǎn)學(xué)生往往記憶不牢，導(dǎo)致在章節(jié)練習(xí)或者考試時(shí)漏洞百出. 因此，在學(xué)習(xí)時(shí)不如放手讓學(xué)生犯錯(cuò)，通過(guò)糾錯(cuò)培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性和批判性.

例7 解不等式

>1.

教師讓學(xué)生嘗試自主解題，接下來(lái)展示錯(cuò)解過(guò)程.

師：原不等式可化為2x-3>x+2，根據(jù)不等式的性質(zhì)得（2x-3）2>（x+2）2，整理得（3x-1）（x-5）>0，解得x>5或x<.

師：大家的答案和我的答案是一樣的嗎？（大多數(shù)學(xué)生表示贊同，少數(shù)學(xué)生提出了反對(duì)意見(jiàn)）

生1：這個(gè)結(jié)果不對(duì)，若x=-2，也滿(mǎn)足x<，而不等式中x≠-2，所以該結(jié)果是錯(cuò)誤的.

生1質(zhì)疑后，大家恍然大悟. 讓學(xué)生經(jīng)歷犯錯(cuò)的過(guò)程，比直接指出錯(cuò)因更使學(xué)生印象深刻. 通過(guò)糾錯(cuò)能有效避免學(xué)生重蹈覆轍，可以潛移默化地培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性. 同時(shí)，大膽地提出疑問(wèn)，可以培養(yǎng)學(xué)生思維的批評(píng)性，增加學(xué)習(xí)的信心.

總之，在教學(xué)中，教師只有以教材為本，深度挖掘教材的精髓，才能不失時(shí)機(jī)地訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，從而提高數(shù)學(xué)成績(jī).

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