涂立云

[摘? 要] 2021年新高考數(shù)學I卷第21題是關于圓錐曲線的綜合題，考查曲線與直線相交、函數(shù)曲線背景中的線段轉化、斜率等，對學生的邏輯思維和推理運算能力有著較高的要求. 定位知識考點，總結問題解法對研究問題有很大的幫助. 文章將問題背景及解法加以探究，并深入解讀，拓展方法，提出相應的教學建議.

[關鍵詞] 圓錐曲線;線段;乘積;方程;思想方法

[?] 問題呈現(xiàn)，考點定位

1. 問題呈現(xiàn)

問題：（2021年全國新高考Ⅰ卷第21題）在平面直角坐標系xOy中，已知點F（-，0），F(xiàn)（，0），點M滿足

MF

-

MF

=2. 記點M的軌跡為C.

（1）試求C的方程;

（2）設點T在直線x=上，過T的兩條直線分別交C于A，B兩點和P，Q兩點，且TA·

TB

=

TP

·

TQ

，試求直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和.

2. 考點定位

本題目為圓錐曲線綜合題，考查曲線與直線的相關知識及邏輯推理、數(shù)學運算能力.

第（1）問求解點C的軌跡方程，核心條件是焦點坐標，以及與點M相關的線段條件，核心考點是圓錐曲線方程的求法、圓錐曲線的定義.

第（2）問構建了兩條直線與曲線相交所生成的線段乘積條件，探究兩直線的斜率之和，屬于直線與曲線的相交問題，核心考點為直線與曲線的位置關系，以及線段乘積關系的轉化策略.

[?] 問題分析，過程突破

“定位考點，條件轉化”是圓錐曲線綜合題突破的常用策略，下面結合問題條件逐問分析，開展過程突破.

1. 定義出發(fā)，曲線定位

（1）問的核心條件有兩個：焦點坐標F（-，0），F(xiàn)（，0）;點M滿足條件

MF

-

MF

=2. 結合雙曲線的定義，可知軌跡C是以點F，F(xiàn)為焦點的雙曲線的右側軌跡，從而可確定方程的特征參數(shù)，求出軌跡C：x2-=1（x≥1）.

2. 數(shù)形結合，分步構建

第（2）問以直線與曲線相交為基礎構建了與線段相關的乘積條件，求兩直線斜率之和，核心條件為TA·

TB

=

TP

·

TQ

. 突破思路較為清晰：就是轉化線段乘積條件，構建斜率關系. 其中點T為核心點，需要從點T坐標出發(fā)構建直線斜率，再聯(lián)立直線與曲線方程來構建線段長，將線段條件轉化為與點坐標或直線參數(shù)相關的條件，進而解出參量，求得斜率之和. 這里采用數(shù)形結合、分步突破策略.

第一步——設定點T，構建直線方程

根據(jù)題意繪制圖1所示圖像，設點T的坐標為T

，t

，顯然過點T直線的斜率不存在時，直線與曲線C不存在公共點，條件不成立，即直線AB和PQ的斜率必然存在.

可設直線AB的方程為y-t=k

x-

，即y=kx+t-k;設直線PQ的方程為y-t=k

x-

，即y=kx+t-k.

第二步——方程聯(lián)立，線段轉化

將直線AB與曲線C方程聯(lián)立，有

y=k

x+t-

k，

16x2-y2=16，整理可得（k-16）x2+k（2t-k）x+

t-k

+16=0. 設A（x，y）和B（x，y），則x>且x>. 由韋達定理可得x1+x2=和xx=. 可將TA·TB表示為TA·TB=（1+k）·

x

-·

x

-，替換后可得TA·TB=.

同理可得TP·TQ=.

第三步——方程構建，破除斜率

已知TA·

TB

=

TP

·

TQ

，可得=，可解得k=k，整理可得（k-k）（k+k）=0，顯然k-k≠0，所以k+k=0，因此可知直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和為0.

[?] 深入解讀，解法拓展

上述對一道圓錐曲線綜合題進行了解法探究，考題共設兩問，問題構建較為常規(guī). 第（1）問探究曲線方程，考查雙曲線的定義;第（2）問立足直線與曲線相交，構建線段乘積關系，考查線段轉化. 上述所呈現(xiàn)的也是該類問題常見的解法思路，雖運算量較大，但思路清晰，易于構建，下面對問題及解法深入探究.

1. 問題解讀，解法分析

考題兩問的特點鮮明，立足教材考點，又具有一定的創(chuàng)新點. 第（1）問摒棄傳統(tǒng)的待定系數(shù)求曲線方程，而是從軌跡視角考查學生對曲線定義的掌握情況，故定義法是破題的最佳解法，當然也可采用設點求軌跡的方法，但顯然更為復雜. 同時考題沒有直接套用雙曲線，而是在其基礎上摘取曲線的右支，可全面考查學生對動點軌跡問題的掌握情況.

第（2）問是基于曲線與直線相交進行的問題構建，整個過程共分三部分：第一部分，描述曲線與直線的交點情形，考查學生的理解能力及作圖能力;第二部分，設定線段乘積條件，考查線段轉化，進一步分析可得=，顯然其中存在相似三角形，即△TAP∽△TBQ;第三部分，則是關于兩線斜率之和的問題設定，實際上問題信息直接指明了需要設定兩直線的斜率，將線段乘積條件轉化為斜率條件. 采用傳統(tǒng)的“聯(lián)立方程，定理轉化”是突破的關鍵，故上述分步進行了思路構建.

從整體上審視第（2）問的解法，數(shù)形結合、設而不求、類比構建方法體現(xiàn)得尤為突出. 根據(jù)題意繪制圖像，結合圖像將線段乘積轉化為曲線與直線相交;設定交點坐標，再利用韋達定理來構建根與系數(shù)的關系;將TA·TB轉化為關于斜率與參數(shù)的代數(shù)式，直接通過類比推出TP·TQ. 三種方法巧妙配合，極大地簡化了解題過程.

2. 解法拓展，思維拓展

上述考題第（2）問為核心之問，主要探究兩線與曲線相交，上述采用傳統(tǒng)的斜率式設定直線方程，實際上還可以設定兩直線的參數(shù)方程，從參數(shù)方程視角來構建，具體如下.

設點T的坐標為

，m

，直線AB的傾斜角為θ，直線PQ的傾斜角為θ，則直線AB的參數(shù)方程為

x=+tcos

θ，

y=m+tsin

θ，（t為參數(shù)），將其與曲線C的方程聯(lián)立，整理可得（16cos2θ-sin2θ）t2+（16cosθ-2msinθ）t-（m2+12）=0，則有

TA

TB

=;可知直線PQ的參數(shù)方程為

x=+tcos

θ，

y=m+tsin

θ（t為參數(shù)），同理可得

TP

TQ

=. 已知TA·

TB

=

TP

·

TQ

，即16cos2θ-sin2θ=16cos2θ-sin2θ，又知AB和PQ為不同的直線，則有cosθ=-cosθ，所以θ+θ=π，即k+k=0，因此可知直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和為0.

[?] 解后反思，教學建議

圓錐曲線問題的綜合性極強，把握直線與曲線的位置關系，從“數(shù)”與“形”的角度靈活轉化極為重要. 上述探究問題時，充分把握問題特點，利用關聯(lián)知識探究突破，其解析方法和思路構建有著一定的參考價值. 下面深入反思，提出相應的教學建議.

1. 定位考點，關注基礎知識

圓錐曲線問題往往融合了直線、曲線、幾何等知識內容，綜合性強，問題形式多樣. 而在解題探究時建議首先理解問題，定位考點，拆解條件，提煉基礎知識. 以上述考題的第（2）問為例，通過分步解讀，可知涉及了直線與曲線相交、圖像中的線段構建及直線斜率等知識，顯然方程聯(lián)立、韋達定理、線段轉化、斜率運算是問題突破所需的基礎知識. 教學中，建議引導學生分步審視問題，逐問分析考點，結合教材思考破題的基礎知識，使學生充分掌握讀題、審題、定位的技巧.

2. 總結方法，生成解題策略

圓錐曲線問題形式雖變化多端，但解析方法、思路構建具有一定的共性，深入總結可生成“程序性”的解法策略，提高解題的效率. 如上述第（2）問分步構建中采用的就是該類問題的通性通法，形成了“設定直線→聯(lián)立方程→韋達定理提取→轉化核心條件”的破題過程，整個過程清晰簡明，思維整體性極好. 教學中，建議引導學生開展解后反思，總結問題的通性通法，形成類型問題的破解策略，必要時可借助“多題一解”來幫助學生理解問題，總結方法.

3. 思想滲透，提升數(shù)學素養(yǎng)

數(shù)學思想是解題的精髓所在，同時也是破解綜合性問題需要重點關注的. 以上述問題為例，解題過程融合了數(shù)形結合、化歸轉化、類比、方程、設而不求等思想，有效降低了思維難度，簡化了解題過程. 解題探究教學中，需要合理滲透數(shù)學思想，有意識地引導學生思考其中的數(shù)學思想，讓學生充分體會思想的內涵，掌握方法的使用技巧. 數(shù)學思想較為抽象，教學中可借助具體的內容，函數(shù)教學中利用數(shù)形結合思想，分析圖像與函數(shù)方程的對應關系;方程教學中利用方程思想，分析變形轉化思路. 引導學生體驗探究過程，獲得知識與思想的雙重提升.

[?] 寫在最后

高考真題凝聚了眾多優(yōu)秀教師的智慧，其問題特征及解法思路具有極高的研究價值，解題教學建議立足高考真題，思考命題方向，探索解題方法，生成解題策略. 同時考題探究注意方法拓展與問題變式，充分發(fā)揮考題價值，提升思維的靈活性.

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