任占杰

基礎(chǔ)教育課程改革在二十年的發(fā)展歷程中成績斐然，從對先進(jìn)教育理念的接受、悅納，到努力踐行于課堂實踐中，無不體現(xiàn)著教育工作者為之付出的努力與熱情。然而在聽課調(diào)研中，仍能感受到教師因缺少踐行理念的策略和方法而產(chǎn)生的內(nèi)心焦慮，課堂上雖有動手操作的環(huán)節(jié)，但思考力不足；雖有合作學(xué)習(xí)的形式，但思辨性不強(qiáng)；教師用自以為體現(xiàn)新理念的“滿堂問”替代“滿堂灌”，并未達(dá)成提高質(zhì)量，促進(jìn)發(fā)展的目的。為此站在發(fā)展核心素養(yǎng)的角度，重新思考、界定小學(xué)課堂數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動內(nèi)涵、特性及組織結(jié)構(gòu)，對落實培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)目標(biāo)具有重要的意義。

一、對核心素養(yǎng)視域下數(shù)學(xué)活動的再思考

活動是兒童的天性和興趣所在，沒有活動也就限制了小學(xué)生的發(fā)展。瑞士著名心理學(xué)家讓·皮亞杰認(rèn)為兒童學(xué)習(xí)的基本途徑是自己的活動，活動是智力最直接的源泉。因此，小學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就是數(shù)學(xué)認(rèn)知的建構(gòu)活動。學(xué)生在活動中不僅有數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)，而且還能感悟數(shù)學(xué)思想方法、積累活動經(jīng)驗，形成數(shù)學(xué)思維能力及必備品格等。為此，基于核心素養(yǎng)視域下的小學(xué)課堂數(shù)學(xué)活動更加強(qiáng)調(diào)實現(xiàn)學(xué)生主動、自覺、相對獨(dú)立的建構(gòu)性學(xué)習(xí)行為的真實發(fā)生，以期學(xué)生形成在面對復(fù)雜的、不確定的現(xiàn)實情境時，應(yīng)具備的獨(dú)立解決問題的能力。

圖1.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要素

（一）何謂數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)

建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論認(rèn)為，學(xué)習(xí)的實質(zhì)是心理結(jié)構(gòu)的建構(gòu)過程，是學(xué)習(xí)個體對環(huán)境的一種適應(yīng)活動[1]。在此活動中，學(xué)習(xí)者因經(jīng)驗獲得而引起行為、能力和心理傾向比較持久的變化[2]。由此推演，小學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)指學(xué)生在數(shù)學(xué)經(jīng)驗（或經(jīng)驗結(jié)構(gòu)）的建構(gòu)過程中，引起其心理適應(yīng)性的變化過程。所謂心理適應(yīng)性變化，一方面指學(xué)生原有認(rèn)知經(jīng)驗（結(jié)構(gòu)）與數(shù)學(xué)知識（結(jié)構(gòu)）間存在“平衡——不平衡——平衡”的矛盾統(tǒng)一，即新知識經(jīng)驗納入原有經(jīng)驗（結(jié)構(gòu)）中，形成新經(jīng)驗（結(jié)構(gòu)）的活動過程；另一方面指在這個過程中可引發(fā)學(xué)生行為、能力及心理傾向的變化。如圖1所示，數(shù)學(xué)行為指問題解決的思想、策略和方法，它是基于對數(shù)學(xué)概念、規(guī)律、關(guān)系的意義理解而獲得；所謂的能力與心理傾向特指唯有通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)而獲得的數(shù)學(xué)思維能力和品格[3]。它們屬于行為潛能，不會立即顯現(xiàn)，需要通過學(xué)習(xí)將其挖掘、激發(fā)出來。由此可見，學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知的獲得方式在一定程度上決定其行為潛能的發(fā)展。

另外，小學(xué)生課堂上的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是以接受人類已有知識經(jīng)驗為主，是在教師指導(dǎo)下，以間接經(jīng)驗為主要學(xué)習(xí)對象的認(rèn)識與發(fā)展相統(tǒng)一的活動，相對于人類學(xué)習(xí)，它雖然是一種簡約化的認(rèn)知過程，但卻是學(xué)生認(rèn)知與能力發(fā)展所依賴的必然活動。所以，研究課堂上如何讓學(xué)生“學(xué)”的行為真實發(fā)生，是在核心素養(yǎng)視域下對小學(xué)課堂數(shù)學(xué)活動的思考與實踐的價值所在。

（二）何謂數(shù)學(xué)活動

1.數(shù)學(xué)活動內(nèi)涵

數(shù)學(xué)活動即為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動的簡稱，強(qiáng)調(diào)“活動”一詞意在突出數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是學(xué)生自覺、主動地構(gòu)建新知識經(jīng)驗的行為活動，是學(xué)生依據(jù)已有經(jīng)驗，對現(xiàn)實情境中的問題進(jìn)行加工與分析，獲得新經(jīng)驗（或新經(jīng)驗結(jié)構(gòu)重組）的心理適應(yīng)性的過程。如圖2所示，數(shù)學(xué)結(jié)論是學(xué)習(xí)主體依據(jù)已有經(jīng)驗，在觀察、操作的外顯行為與分析推理的內(nèi)隱思維并行的活動中，獲得意義理解，并在應(yīng)用中得以驗證而獲得。當(dāng)然，基于學(xué)科特點(diǎn)，數(shù)學(xué)活動必然要以理性分析、邏輯論證等思維活動為核心。它是由教師精心設(shè)計，以學(xué)習(xí)者為主體的活動系統(tǒng)，包括活動主體、活動內(nèi)容、活動目標(biāo)、活動任務(wù)、活動共同體、活動工具等要素。有效的數(shù)學(xué)活動體現(xiàn)在：激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣與調(diào)動學(xué)習(xí)內(nèi)需的同時，達(dá)成數(shù)學(xué)認(rèn)知、能力及品格的并行發(fā)展。

圖2.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動原理

2.數(shù)學(xué)活動特性

數(shù)學(xué)活動是活動主體在已有經(jīng)驗基礎(chǔ)上，面對新情境主動進(jìn)行信息加工處理，建構(gòu)意義的過程。依據(jù)建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論，小學(xué)課堂上的數(shù)學(xué)活動具備以下特性：

（1）情境性

情境理論認(rèn)為，人類學(xué)習(xí)的實質(zhì)是個體實踐、個體參與、個體與他人相互影響、個體與環(huán)境相互作用的過程，并在這個過程中形成社會化水平和提高能力。也就是說，學(xué)習(xí)者的認(rèn)知能力固然很重要，但是如果脫離具體的實踐或應(yīng)用環(huán)境，真正的認(rèn)知能力難以形成[4]。由此可見，學(xué)習(xí)是不可能脫離具體情境抽象存在，它是學(xué)習(xí)主體在實踐活動中完成對知識的理解和認(rèn)識的過程。小學(xué)課堂上的數(shù)學(xué)活動就是在情境中發(fā)現(xiàn)、提出問題，在情境中探究、解決問題，并遷移、應(yīng)用到新情境中進(jìn)行檢驗、論證，從而獲得數(shù)學(xué)結(jié)論的過程。

（2）建構(gòu)性

學(xué)習(xí)并不是簡單的信息、經(jīng)驗的輸入、存儲與提取，而是由于新舊經(jīng)驗的沖突而引發(fā)的觀念轉(zhuǎn)變和結(jié)構(gòu)重組，是一個能動性的建構(gòu)過程。核心素養(yǎng)視域下的小學(xué)課堂數(shù)學(xué)活動，就是通過營造現(xiàn)實（或問題）情境，讓主體經(jīng)驗與客體情境產(chǎn)生相互影響，學(xué)習(xí)主體以其已有的經(jīng)驗對客體信息進(jìn)行分析、加工和處理，與從客體情境中獲取的新信息（新經(jīng)驗）相互作用，獲得對新經(jīng)驗的認(rèn)識、理解并納入主體已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，完成意義建構(gòu)。

（3）互動性

建構(gòu)主義強(qiáng)調(diào)，學(xué)習(xí)是通過某種社會文化的參與而內(nèi)化相關(guān)的知識技能、掌握有關(guān)工具的過程，這一過程常常要通過一個學(xué)習(xí)共同體共同參與。因此，小學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不僅表現(xiàn)為學(xué)習(xí)個體對知識內(nèi)容的加工與建構(gòu)，還表現(xiàn)為學(xué)習(xí)共同體的合作與互助。尤其是小學(xué)課堂上的數(shù)學(xué)活動，絕非僅是學(xué)生的個體認(rèn)知加工過程，而是群體、共享性的知識建構(gòu)過程，是學(xué)習(xí)共同體為同一目標(biāo)，在有意義的、合作性的探究、對話與交往中，進(jìn)行智慧共享、認(rèn)知整合和思想進(jìn)步的過程。

二、核心素養(yǎng)視域下數(shù)學(xué)活動的組織結(jié)構(gòu)

盡管課堂上數(shù)學(xué)活動是以人類獲取的間接經(jīng)驗為主要認(rèn)知對象，但讓學(xué)生經(jīng)歷“數(shù)學(xué)化”的過程，對培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)有著積極的作用。荷蘭數(shù)學(xué)教育家弗萊登塔爾認(rèn)為，數(shù)學(xué)化就是人們在觀察、認(rèn)識和改造客觀世界的過程中，運(yùn)用數(shù)學(xué)的思想和方法來分析和研究客觀世界的種種現(xiàn)象并加以整理和組織的過程[5]。學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)化過程有兩種方式：一種是從生活到數(shù)學(xué)，再回到生活中（解決實際問題）；另一種方式是“從數(shù)學(xué)到數(shù)學(xué)”，以已有的數(shù)學(xué)知識為基礎(chǔ)進(jìn)行綜合、演繹、整理，從而生成、抽象為高一級的數(shù)學(xué)知識（或形成內(nèi)部之間的聯(lián)系）[6]。因此，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)化的學(xué)習(xí)過程就是組織架構(gòu)數(shù)學(xué)活動（如圖3）的核心宗旨。

現(xiàn)實情境——蘊(yùn)含數(shù)學(xué)信息。所謂現(xiàn)實情境就是學(xué)生賴以發(fā)現(xiàn)、研究數(shù)學(xué)的背景、情境。無論是將書本上抽象的數(shù)學(xué)知識還原為現(xiàn)實原型，還是純數(shù)學(xué)問題（問題即情境），都蘊(yùn)含豐富信息。讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)始于情境，為學(xué)生提供從數(shù)學(xué)視角觀察生活，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題的機(jī)會，不僅可引發(fā)思考、探尋問題的本能欲望，還可以基于情境的意義理解與遷移應(yīng)用，使學(xué)生切身感受數(shù)學(xué)在生活中的價值。值得注意的是，情境創(chuàng)設(shè)需關(guān)注以下問題：要貼近學(xué)生生活實際，是學(xué)生熟悉的、亦或是在認(rèn)知最近發(fā)展區(qū)內(nèi)的情境；要蘊(yùn)含有效的問題，具有研究價值和探索意義；要承載知識本質(zhì)，指向數(shù)學(xué)的本質(zhì)內(nèi)涵。

圖3.數(shù)學(xué)活動的組織結(jié)構(gòu)

獲取信息——引發(fā)思考。情境創(chuàng)設(shè)的價值在于為學(xué)生提供用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實生活的機(jī)會，為學(xué)生提供發(fā)現(xiàn)、提出數(shù)學(xué)問題的可能。但需要明確，獲取的信息不僅包括發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題，而且還包括獲取與問題相關(guān)的、有價值的數(shù)學(xué)信息，這需要學(xué)生具備數(shù)學(xué)的洞察力，能透過生活現(xiàn)象洞察數(shù)學(xué)信息與問題。這是學(xué)生認(rèn)識現(xiàn)實世界、引發(fā)數(shù)學(xué)思考、展開數(shù)學(xué)活動的起點(diǎn)。

信息加工——建構(gòu)認(rèn)知。信息加工包含信息接收、存儲、操作、分析、推理、提煉等活動過程。因此，數(shù)學(xué)認(rèn)知建構(gòu)有兩種基本形式：一種是以已有經(jīng)驗為基礎(chǔ)，通過觀察、實驗、推理、驗證等活動，歸納、發(fā)現(xiàn)、提煉出新經(jīng)驗；另一種是運(yùn)用已有經(jīng)驗（或認(rèn)知結(jié)構(gòu)）解釋、論證新經(jīng)驗，溝通新舊經(jīng)驗的聯(lián)系，并最終納入原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)，補(bǔ)充、完善認(rèn)知體系[7]。這一環(huán)節(jié)是數(shù)學(xué)活動的核心，是自主形成數(shù)學(xué)結(jié)論的關(guān)鍵。

解釋應(yīng)用——形成結(jié)論。解釋與應(yīng)用指對新知識經(jīng)驗的意義理解與遷移應(yīng)用。正如布魯姆目標(biāo)分類學(xué)中的高級認(rèn)知水平所示，人們獲得理解之后就能夠分析、綜合并獨(dú)立評估不同信息和情境，并且在面對涉及知能和理解的新智力挑戰(zhàn)與情境時，能夠準(zhǔn)確提取所學(xué)知識并有效運(yùn)用[8]。因此，當(dāng)學(xué)生將新知識經(jīng)驗理解內(nèi)化到已有知識結(jié)構(gòu)，并遷移應(yīng)用到新的情境中，新知識經(jīng)驗方可作為結(jié)論而被學(xué)習(xí)者悅納。

以上四個環(huán)節(jié)作為一個完整的數(shù)學(xué)活動的結(jié)構(gòu)要素，蘊(yùn)含著發(fā)現(xiàn)、提出、分析、解決問題的全過程。在此過程中，依托具體情境，為學(xué)生搭建探索、思考、交流的平臺，實現(xiàn)學(xué)生認(rèn)識的自主建構(gòu)。同時在這個過程中不僅讓學(xué)生積累寶貴的研究問題的經(jīng)驗，而且促其數(shù)學(xué)相關(guān)能力及品格的形成與提升。

三、核心素養(yǎng)視域下小學(xué)課堂數(shù)學(xué)活動的設(shè)計與實施

數(shù)學(xué)活動除必備上述四個結(jié)構(gòu)要素外，在設(shè)計實施時，還要依據(jù)知識內(nèi)容及核心素養(yǎng)培養(yǎng)目標(biāo)，關(guān)注以下方面：活動目標(biāo)確定、活動任務(wù)設(shè)計、活動方式呈現(xiàn)、認(rèn)知分享推進(jìn)等，達(dá)成小學(xué)課堂數(shù)學(xué)活動兼顧認(rèn)知建構(gòu)與數(shù)學(xué)素養(yǎng)培養(yǎng)的目標(biāo)任務(wù)。

（一）以適切的學(xué)習(xí)目標(biāo)為引領(lǐng)

學(xué)習(xí)目標(biāo)是學(xué)生經(jīng)歷學(xué)習(xí)活動之后預(yù)期達(dá)成的結(jié)果。它是數(shù)學(xué)活動設(shè)計的價值定位，也是評估學(xué)業(yè)水平的直接依據(jù)。好的活動設(shè)計是以目標(biāo)為導(dǎo)向，思考與之匹配的活動任務(wù)與方式。盡管《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱“標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）”）中，已從三個維度四個方面明確了義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)課程培養(yǎng)目標(biāo)，但聚焦具體內(nèi)容的學(xué)習(xí)目標(biāo)，還需依據(jù)課程目標(biāo)進(jìn)行分解與細(xì)化，需要將宏觀的課程目標(biāo)轉(zhuǎn)化為具體的、可操作的課時目標(biāo)，且目標(biāo)定位符合學(xué)生認(rèn)知水平，能促進(jìn)學(xué)生發(fā)展。適切的學(xué)習(xí)目標(biāo)具備以下五個特性：

主體性——突出學(xué)生“學(xué)”的主體活動。一方面，目標(biāo)描述是以學(xué)生為活動主體，呈現(xiàn)學(xué)生學(xué)了什么、怎么學(xué)的、學(xué)的程度及能力發(fā)展表現(xiàn)；另一方面，目標(biāo)定位要站在學(xué)生“學(xué)”的角度，思考符合學(xué)生認(rèn)知水平，易于認(rèn)知建構(gòu)的活動方式。

整體性——促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展。相對于課程目標(biāo)，盡管數(shù)學(xué)活動目標(biāo)為短期、具體的學(xué)習(xí)目標(biāo)，但核心素養(yǎng)視域下的學(xué)習(xí)目標(biāo)，仍要立足促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展，關(guān)注知識技能、數(shù)學(xué)思考、問題解決及情感態(tài)度等目標(biāo)的整體思考，這是落實數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)的根基。

層次性——關(guān)注目標(biāo)的層次落實。無論是單元目標(biāo)，還是課時目標(biāo)，均是由總目標(biāo)、學(xué)段目標(biāo)逐級分解而來。一節(jié)課的數(shù)學(xué)活動，也是由若干小的環(huán)節(jié)活動組合而成。因此，課時目標(biāo)的有效達(dá)成，需要依靠各環(huán)節(jié)目標(biāo)的落實程度。反之，如若確保環(huán)節(jié)目標(biāo)的落實質(zhì)量，亦需要依據(jù)課時目標(biāo)進(jìn)行科學(xué)合理地逐級分解，有層次、梯度地落實?？梢哉f，關(guān)注目標(biāo)層次性的落實，是課時目標(biāo)、單元目標(biāo)等達(dá)成的有力保證。

針對性——基于真實學(xué)情定位目標(biāo)。當(dāng)下學(xué)生學(xué)習(xí)途徑很多，未學(xué)先會的現(xiàn)象并不稀奇?；谡鎸崒W(xué)情，調(diào)整、定位適切的學(xué)習(xí)目標(biāo)，使其滿足學(xué)生學(xué)習(xí)進(jìn)取需求，符合學(xué)生認(rèn)知水平，關(guān)注學(xué)生能力發(fā)展，將聚焦知識技能目標(biāo)轉(zhuǎn)化為關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)活動的設(shè)置，以體現(xiàn)數(shù)學(xué)活動對促進(jìn)學(xué)生能力與素養(yǎng)提升的價值。

操作性——凸顯目標(biāo)的指導(dǎo)性和評估價值。學(xué)習(xí)目標(biāo)的操作性體現(xiàn)在兩個方面：一是將學(xué)習(xí)目標(biāo)具化為學(xué)生學(xué)習(xí)行為，指導(dǎo)教學(xué)實施。目標(biāo)描述除明確行為主體（學(xué)生）、行為表現(xiàn)（學(xué)什么）、表現(xiàn)程度（學(xué)的程度）外，還要明確描述行為條件（怎樣學(xué)），以此體現(xiàn)學(xué)習(xí)過程、方式與途徑，為教師實施教學(xué)提供抓手。二是將抽象的認(rèn)知水平具化為評量的標(biāo)尺，使教師對目標(biāo)中“了解、理解、掌握、應(yīng)用”等認(rèn)知維度建立起清晰、豐富的認(rèn)識。

以人教版五年級“三角形的面積”一課為例，本節(jié)課的學(xué)習(xí)目標(biāo)如下所示：

（1）經(jīng)歷三角形面積公式的猜想、發(fā)現(xiàn)、推理、驗證過程，理解三角形面積的計算方法，并能運(yùn)用面積公式解決生活中的實際問題。

（2）在計數(shù)面積單位的活動中，自主生成、優(yōu)化拼組轉(zhuǎn)化方法，進(jìn)一步認(rèn)識、理解轉(zhuǎn)化思想在研究問題過程中的價值與作用。

（3）在有數(shù)據(jù)支持到無數(shù)據(jù)支持的探究中，將合情推理與演繹推理有效蘊(yùn)含于數(shù)學(xué)活動之中，讓學(xué)生經(jīng)歷由特殊到一般的認(rèn)知過程。

（4）以認(rèn)知生成為核心，經(jīng)歷研究問題的過程，感悟事物是相互聯(lián)系的辯證唯物主義觀點(diǎn)，積累活動經(jīng)驗，發(fā)展數(shù)學(xué)推理能力、空間觀念，提升自主學(xué)習(xí)能力，養(yǎng)成會思善問的習(xí)慣，獲得積極的情感體驗。

上述學(xué)習(xí)目標(biāo)中呈現(xiàn)了學(xué)生建構(gòu)三角形面積計算方法所經(jīng)歷的過程——由特殊到一般的數(shù)學(xué)化認(rèn)知活動；呈現(xiàn)了學(xué)生建構(gòu)認(rèn)知的方法與途徑——在探究活動中經(jīng)歷拼組轉(zhuǎn)化的優(yōu)化過程；呈現(xiàn)了學(xué)生的發(fā)展與成長——不僅掌握知識，而且感悟數(shù)學(xué)思想方法，積累活動經(jīng)驗，促進(jìn)學(xué)生形成數(shù)學(xué)能力與品格。以突出學(xué)生學(xué)習(xí)行為的外化表現(xiàn)，體現(xiàn)學(xué)習(xí)活動的主體性、整體性、操作性。同時明確目標(biāo)中的“理解”的評量標(biāo)準(zhǔn)，即目標(biāo)描述“在計數(shù)面積單位的活動中，自主生成、優(yōu)化拼組轉(zhuǎn)化方法”“經(jīng)歷由特殊到一般的認(rèn)知過程”。正如“標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）”中對“理解”的界定那樣，它指向圖形要素與關(guān)系，指向數(shù)學(xué)思想的領(lǐng)悟與運(yùn)用，指向知識的本質(zhì)內(nèi)涵。

當(dāng)然基于目標(biāo)的層次性，上述課時目標(biāo)還可分解細(xì)化為本課各個環(huán)節(jié)目標(biāo)。如對于目標(biāo)2的落實和達(dá)成，分如下三個環(huán)節(jié)進(jìn)行：第一個環(huán)節(jié)，借助方格圖，研究直角三角形的面積，喚醒已有的研究面積問題的兩種經(jīng)驗方法，即剪拼法和拼組法；第二個環(huán)節(jié)，運(yùn)用剪拼與拼組方法研究銳角三角形的面積，對比體驗、感悟兩種方法的價值與作用；第三個環(huán)節(jié)，研究鈍角三角形的面積，完成拼組轉(zhuǎn)化方法的自主優(yōu)化。三個環(huán)節(jié)基于問題解決的深入，體現(xiàn)了目標(biāo)的逐級落實，最終達(dá)成對轉(zhuǎn)化思想的深刻領(lǐng)悟。

（二）以有效的活動任務(wù)為統(tǒng)領(lǐng)

學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)在某種程度上可以稱之為任務(wù)（項目）學(xué)習(xí)，即以完成某一學(xué)習(xí)任務(wù)而開展的學(xué)習(xí)活動。盡管學(xué)生發(fā)現(xiàn)、探究的對象是人類已有的認(rèn)知成果，但讓課堂成為濃縮人類文明衍生的舞臺，使學(xué)生切身經(jīng)歷數(shù)學(xué)結(jié)論的發(fā)現(xiàn)、猜想、實驗、驗證的過程，對形成學(xué)生綜合性能力與素養(yǎng)有著重要的意義。因此，設(shè)置貼近學(xué)生生活、具有開放性和探究性的學(xué)習(xí)任務(wù)統(tǒng)領(lǐng)學(xué)生的學(xué)習(xí)活動，可提高學(xué)習(xí)質(zhì)量和活動質(zhì)量。

如，“三角形的面積”一課，理解三角形面積計算公式的由來，必然要有一個核心任務(wù)統(tǒng)領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷面積公式的猜想、發(fā)現(xiàn)、推理、驗證的過程。為此，本節(jié)課的學(xué)習(xí)活動圍繞如下核心任務(wù)展開思考和探究。

核心任務(wù)：現(xiàn)在請大家從圖4任選一個三角形，弄清楚它的面積有多大，你能想到辦法嗎？你可以先選定一個三角形，可以畫一畫、算一算，爭取讓其他同學(xué)能看懂自己的想法。

圖4.學(xué)習(xí)材料

活動的設(shè)置，一方面充分尊重學(xué)生，讓其按照自己的意愿，自主選擇圖形作為研究起點(diǎn)。另一方面，僅提供方格圖作為學(xué)生研究問題的工具，不做其他提示與限定，以此提高探索、思考空間，讓學(xué)生基于已有經(jīng)驗，自主建構(gòu)面積公式，理解知識本質(zhì)，發(fā)展數(shù)學(xué)思考與能力。當(dāng)然，此問題任務(wù)是貫通整節(jié)課的主線問題，而要達(dá)成最終學(xué)習(xí)目標(biāo)的多項要求，還需要設(shè)置具體學(xué)習(xí)活動逐層落實。

為此，本節(jié)課以上述核心任務(wù)為統(tǒng)領(lǐng)，以認(rèn)知生成為核心，設(shè)置了如下三個數(shù)學(xué)活動，分級落實課時學(xué)習(xí)目標(biāo)（如表1）。

活動一，體驗思想方法。這是學(xué)生探究、建構(gòu)三角形面積計算方法的開始。活動中，學(xué)生研究直角三角形、銳角三角形，借助方格紙確定三角形的底、高及面積，同時將底、高乘積與其對應(yīng)圖形建立聯(lián)系，到研究鈍角三角形面積時計數(shù)方法費(fèi)力，進(jìn)而想象底乘高的積與相對應(yīng)圖形，進(jìn)一步體驗拼組轉(zhuǎn)化的意義與作用。這個過程學(xué)生的認(rèn)知不斷生成，從研究直角三角形時的不成熟的剪拼或拼組方法，到用剪拼和拼組的方法研究銳角三角形面積的思維作品，乃至學(xué)生的奇思妙想，無一不是把學(xué)生當(dāng)堂生成的思維成果作為進(jìn)一步研究和探索的基礎(chǔ)。這樣的過程讓我們看到了學(xué)生的成長：從起初研究三角形束手無策，到有法可依，再到方法的優(yōu)化，體現(xiàn)了學(xué)生研究問題方法、經(jīng)驗的提升，是思維水平的發(fā)展和心智的成長。除此之外，隨之研究過程中所形成的克服困難的意志、獲得成功的自信以及嚴(yán)謹(jǐn)求實的科學(xué)態(tài)度等都是實現(xiàn)學(xué)生自主發(fā)展不可或缺的必備品格和動力。

表1.活動設(shè)計及目標(biāo)

活動二，理解計算方法。經(jīng)歷由特殊到一般的數(shù)學(xué)化過程。活動中，學(xué)生經(jīng)歷了借助方格，以“快速得到一組三角形的面積”的任務(wù)驅(qū)動，體驗感受三角形面積與什么有關(guān)系，有怎樣的關(guān)系；到“沒有方格如何計算三角形的面積”的思考，不僅催生學(xué)生自主優(yōu)化生成拼組轉(zhuǎn)化的思想方法，而且獲得的是對“用兩個完全一樣的三角形可以拼成一個平行四邊形”的認(rèn)識，獲得對三角形面積計算公式的理解。更為重要的是讓學(xué)生經(jīng)歷體驗一個數(shù)學(xué)結(jié)論嚴(yán)謹(jǐn)科學(xué)的論證過程及理性精神，這是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的必然過程。

活動三，關(guān)注本質(zhì)，貫通聯(lián)系。對于平面圖形面積的計算，其本質(zhì)就是計數(shù)其所含面積單位的多少。這也是將長方形面積、平行四邊形面積和三角形面積緊密聯(lián)系的內(nèi)核。本環(huán)節(jié)以方格紙作為研究工具，借助學(xué)生研究長方形面積的經(jīng)驗（擺面積單位），將同是底為3個單位長度，高為4個單位長度的長方形、平行四邊形和三角形，通過擺面積單位的方式，使學(xué)生發(fā)現(xiàn)三種圖形面積計算方法的背后聯(lián)系，并在比較辨析的過程中認(rèn)識、理解平行四邊形的底乘高的結(jié)果就是一個長方形（區(qū)域）含有面積單位的數(shù)量，而這個長方形的面積通過剪拼恰好是平行四邊形；同樣三角形的底乘高結(jié)果也是一個長方形（區(qū)域）含有的計數(shù)單位的數(shù)量，它的面積就是用兩個完全一樣的三角形拼組而成的平行四邊形的面積，所以三角形面積也是這個長方形面積的一半。在貫通知識聯(lián)系的同時，為學(xué)生日后探究其他的平面圖形面積積累了經(jīng)驗，在整個過程中學(xué)生的自主轉(zhuǎn)化意識在探究過程中得到二次提升。

總之，三個活動構(gòu)成了學(xué)生對三角形面積計算方法的完整認(rèn)知，不僅在經(jīng)歷計算公式的形成過程中，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)推理能力、抽象概括能力，并不失時機(jī)地借助拼組想象發(fā)展學(xué)生的空間觀念，且通過貫通知識聯(lián)系，使學(xué)生對三角形面積計算公式的認(rèn)知建立在大的知識背景下，理解其本質(zhì)，獲得積極的學(xué)習(xí)體驗。

（三）以凸顯數(shù)學(xué)思考為核心

數(shù)學(xué)自身的抽象性、邏輯性及應(yīng)用性決定了數(shù)學(xué)思維活動是數(shù)學(xué)活動的核心。因此，好的數(shù)學(xué)活動不僅僅體現(xiàn)在是否具有操作探究的外在行為表現(xiàn)，更重要的體現(xiàn)在是否具備抽象的思維含量，引發(fā)學(xué)生深刻的數(shù)學(xué)思考。可以說，數(shù)學(xué)思考是數(shù)學(xué)活動的核心本質(zhì)。所謂思考，就是認(rèn)知加工，是學(xué)生發(fā)現(xiàn)、提出問題，分析、解決問題時大腦的活動過程，是學(xué)生獨(dú)立認(rèn)識世界的途徑。因此，數(shù)學(xué)活動應(yīng)充分彰顯數(shù)學(xué)思考，促進(jìn)學(xué)生對知識深入持久理解，并能遷移應(yīng)用。

如上述課例中的數(shù)學(xué)活動，學(xué)生在探究三角形的面積過程中，無論是從已有經(jīng)驗中喚醒、尋求研究方法，解決直角三角形的面積問題，亦或研究鈍角三角形面積時，兩種方法適用性的對比體驗，還是沒有方格時，通過想象拼組，將三角形與長方形、平行四邊形面積建立聯(lián)系，推理論證得到三角形面積的計算方法，都是在學(xué)生的不斷分析、加工、推理的思維活動中達(dá)成認(rèn)知生成、獲得結(jié)論的發(fā)現(xiàn)、驗證與應(yīng)用。由此可見，提高數(shù)學(xué)活動的思考性，需要創(chuàng)設(shè)主動內(nèi)生性的探索活動，通過降低活動的提示引領(lǐng)性，讓學(xué)生在問題驅(qū)動下，主動關(guān)聯(lián)已有經(jīng)驗，進(jìn)行認(rèn)知加工與建構(gòu)?？梢哉f，數(shù)學(xué)活動的思考性是評價學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)真實發(fā)生的重要指標(biāo)。

（四）以多樣化的活動方式為途徑

課堂上的數(shù)學(xué)活動在核心任務(wù)的統(tǒng)領(lǐng)下，可由2-4個具有邏輯遞進(jìn)關(guān)系的系列活動組成（如上活動示例），且活動方式亦可結(jié)合具體內(nèi)容靈活確定。尤其隨著課改深入，在動手實踐、自主探究、合作交流等教學(xué)理念倡導(dǎo)下，大家對探究式、體驗式的學(xué)習(xí)情有獨(dú)鐘。在小學(xué)數(shù)學(xué)知識體系中，確實有許多知識內(nèi)容需要學(xué)生親身經(jīng)歷探究過程，也存在如“克與千克”建立量感的內(nèi)容，需要依賴于學(xué)生的親身體驗。然而探究式、體驗式學(xué)習(xí)方式并不是學(xué)生進(jìn)行意義建構(gòu)的唯一途徑，而是需要結(jié)合知識內(nèi)容以及學(xué)情，靈活運(yùn)用恰當(dāng)方式促進(jìn)學(xué)生的自主建構(gòu)。

如，人教版四年級“平行與垂直”一課，“平行”與“垂直”概念，屬于描述型，通俗易懂，加之學(xué)生有大量的、豐富的生活經(jīng)驗，所以，學(xué)習(xí)活動可以通過“對話+思辨”的方式，讓學(xué)生在表達(dá)、閱讀、思辨的過程中，完成對概念的理解與認(rèn)識。

首先，通過畫出生活中的平行與垂直現(xiàn)象的活動，給學(xué)生自主表達(dá)抽象的機(jī)會，盡管不完善、不成熟，甚至不正確，但這是學(xué)生理解、形成概念的基礎(chǔ)。學(xué)生在經(jīng)歷圖形表達(dá)之后，緊隨其后的看書學(xué)習(xí)，就是其直觀經(jīng)驗與數(shù)學(xué)概念對話的過程，從而引發(fā)元認(rèn)知與數(shù)學(xué)概念的認(rèn)知沖突。盡管概念還未被學(xué)生完全接納和認(rèn)可，但卻是啟動對概念本質(zhì)認(rèn)知的開始?？磿蟮脑佼嬘譃閷W(xué)生提供認(rèn)知加工的機(jī)會，盡管還是以模仿為主，但學(xué)生在畫中的觀察、對比已是聚焦概念本質(zhì)的認(rèn)知活動。緊隨其后的交流、思辨，“你還看到了什么？”的二次對話文本的思考發(fā)現(xiàn)，都是剝離非本質(zhì)屬性，聚焦本質(zhì)內(nèi)涵，建構(gòu)概念的關(guān)鍵。學(xué)生從書中找答案，表達(dá)自己的理解、交流各自的思考是逼近本質(zhì)的思辨活動，為概括、抽象、理解概念提供了豐厚的認(rèn)知基礎(chǔ)。可以說，本節(jié)課的概念建構(gòu)是在對話文本與交流思辨相互交融的活動中達(dá)成。

（五）以思辨性的認(rèn)知分享為助力

在具有開放性、探究性的任務(wù)統(tǒng)領(lǐng)下，學(xué)生開展自主性的學(xué)習(xí)活動，必然會產(chǎn)生多樣化的思維成果。展示交流學(xué)生的認(rèn)知成果可以極大促進(jìn)學(xué)生反思、完善原認(rèn)知，促進(jìn)數(shù)學(xué)結(jié)論的獲得，這是數(shù)學(xué)活動中的重要組成部分，需要教師做充分預(yù)設(shè)。當(dāng)然，依據(jù)活動目標(biāo)不同，其分享交流的呈現(xiàn)方式亦有不同。

推進(jìn)式呈現(xiàn)。即線性展示學(xué)生的作品，通過對每一幅作品的評價、分析，提出新的問題，推進(jìn)活動的進(jìn)程，使學(xué)生的思考與認(rèn)知逐步深入與提升。如，人教版五年級“分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)”一課，學(xué)生嘗試通過舉例、畫圖的方式說明為什么分?jǐn)?shù)的分子、分母發(fā)生變化，但分?jǐn)?shù)的大小不變時，出現(xiàn)了豐富多樣的思維成果，如何用好這些思維成果呢？采用推進(jìn)式呈現(xiàn)方式（如圖5）使其成為推進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展的有效資源。如下面作品呈現(xiàn)，由用兩幅圖明理到用一幅圖論證說明過程，聚焦知識本質(zhì)，體現(xiàn)了學(xué)生的思維進(jìn)階的提升與深入。作品1直觀形象具體，作品2需要表象表征，在頭腦中想象將每一份平均分成兩份（或每兩份合成一份），所得到的分?jǐn)?shù)與原分?jǐn)?shù)相同；作品3開放性的思維呈現(xiàn)，通過將每一份分成2份、3份、4份……（或?qū)⒚繋追莺铣?份）得到的新分?jǐn)?shù)都與等。這種推進(jìn)方式的作品呈現(xiàn)，引導(dǎo)學(xué)生逐步深入到知識的內(nèi)部結(jié)構(gòu)中，以理解分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，彰顯了教師的智慧。

圖5.推進(jìn)式呈現(xiàn)成果分享

分類式呈現(xiàn)。學(xué)生在活動過程中，教師巡視搜集學(xué)生作品，并將作品進(jìn)行分類呈現(xiàn)，便于學(xué)生進(jìn)行對比評價，達(dá)成統(tǒng)一認(rèn)知，積累豐富的活動經(jīng)驗。如，“三角形的面積”課例，面對學(xué)生探究銳角三角形面積計算的方法成果，教師挑選三類不同思維方式的作品為代表，分類呈現(xiàn)：第一類，通過剪拼轉(zhuǎn)化為長方形；第二類，通過添加兩個小三角形，拼組為長方形；第三類，用兩個完全一樣的三角形拼組為一個平行四邊形。三類作品體現(xiàn)了學(xué)生的思維進(jìn)階，分類呈現(xiàn)便于學(xué)生對比思辨，發(fā)現(xiàn)其共性與不同，為后續(xù)優(yōu)化拼組方法做了充足的準(zhǔn)備。

辯論式呈現(xiàn)。在學(xué)生的思維成果存在本質(zhì)區(qū)別且有矛盾沖突時，將具有代表性的作品并列呈現(xiàn)，讓學(xué)生開展辯論式的思維碰撞和交流，以達(dá)成認(rèn)知的統(tǒng)一和建構(gòu)。如，“三角形的認(rèn)識”一課，究竟什么是三角形？學(xué)生提出了兩種定義方式：①“有三條邊、三個角、三個頂點(diǎn)的封閉圖形叫做三角形”；②“由3條邊圍成的圖形叫做三角形”。究竟采用哪種定義方式？讓各持己見的學(xué)生開展辯論，辯中促進(jìn)思考，辯中提升認(rèn)識，辯中深化理解，學(xué)生在思辨中，深刻領(lǐng)悟到第二種定義的充分必要性，即只要由3條邊圍成，必然有三條邊、三個角、三個頂點(diǎn)，必然是封閉圖形，理解本質(zhì)，感受數(shù)學(xué)的簡潔之美。

總之，數(shù)學(xué)活動是小學(xué)課堂上學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要方式，讓學(xué)生在活動中經(jīng)歷數(shù)學(xué)結(jié)論的發(fā)現(xiàn)、猜想、探究過程，是發(fā)展學(xué)生“四基”“四能”的必然過程。核心素養(yǎng)視域下的小學(xué)課堂數(shù)學(xué)活動，是以培養(yǎng)學(xué)生綜合能力與素養(yǎng)為追求，讓學(xué)生的學(xué)習(xí)真實發(fā)生在課堂的高質(zhì)量的學(xué)習(xí)活動。