朱立明

2017年9月，中共中央辦公廳、國務(wù)院辦公廳印發(fā)的《關(guān)于深化教育體制機(jī)制改革的意見》強(qiáng)調(diào)要培養(yǎng)學(xué)生的關(guān)鍵能力。21世紀(jì)的教育既要考慮學(xué)科核心知識(shí)，更要關(guān)注學(xué)科思想及其思維方式，旨在使學(xué)生形成像學(xué)科專家一樣思考問題時(shí)所具備的能力。關(guān)鍵能力的培養(yǎng)需要滲透在各個(gè)學(xué)科之中，借助學(xué)科關(guān)鍵能力產(chǎn)生的“合力”效應(yīng)，促進(jìn)學(xué)生關(guān)鍵能力的養(yǎng)成。數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力是綜合考慮數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)，從學(xué)科視角對(duì)接學(xué)生關(guān)鍵能力中的認(rèn)識(shí)能力、合作能力以及創(chuàng)新能力。數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力終將從頂層理念走向?qū)嵺`場(chǎng)域，與之相關(guān)的課程、教學(xué)、測(cè)評(píng)等問題成為當(dāng)前爭(zhēng)論的焦點(diǎn)。因此，數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的價(jià)值是什么？數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力具有哪些特質(zhì)？數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的操作性定義是什么？這些都是亟待解決的問題。

一、高中生數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的價(jià)值

（一）數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力是數(shù)學(xué)教育在新時(shí)代的基本訴求

數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的提出，彰顯了數(shù)學(xué)教育目標(biāo)的轉(zhuǎn)變，強(qiáng)調(diào)了“以人為本”教育理念下的能力取向。數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力是在深化數(shù)學(xué)教育改革背景下“孕育而生”的，旨在幫助學(xué)生適應(yīng)新時(shí)代的發(fā)展與國際競(jìng)爭(zhēng)。一方面，隨著“互聯(lián)網(wǎng)+教育”、信息技術(shù)、人工智能的興起與發(fā)展，“知識(shí)大爆炸”的時(shí)代已經(jīng)來臨，原來以傳授數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能為主的教育已經(jīng)不能適應(yīng)新時(shí)代的要求，因?yàn)闊o論學(xué)生怎么學(xué)，知識(shí)是學(xué)不完的，而且人類的學(xué)習(xí)速度遠(yuǎn)遠(yuǎn)跟不上知識(shí)的更新速度，有的時(shí)候甚至知識(shí)還沒有學(xué)完就已經(jīng)過時(shí)，技能還沒有掌握就已經(jīng)淘汰[1]。另一方面，世界各國都開始尋求數(shù)學(xué)教育改革的出路，試圖找到引領(lǐng)數(shù)學(xué)教育教學(xué)的理論框架與實(shí)踐路徑，從國際數(shù)學(xué)教育發(fā)展趨勢(shì)與經(jīng)驗(yàn)來看，各國均把數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力作為數(shù)學(xué)教育改革的育人理念，極力開展數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力取向的教育教學(xué)，數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力已經(jīng)成為信息時(shí)代數(shù)學(xué)教育的基本訴求。

（二）數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力培養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程深度學(xué)習(xí)的重要任務(wù)

數(shù)學(xué)課程深度學(xué)習(xí)是以數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力為任務(wù)驅(qū)動(dòng)，涉及數(shù)學(xué)課程與學(xué)生認(rèn)知的邏輯順序，強(qiáng)調(diào)課程目標(biāo)與教學(xué)主題的聯(lián)結(jié)關(guān)系，注重學(xué)習(xí)內(nèi)容與教學(xué)反思的相互融合，旨在促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)高階思維能力的提升。深度學(xué)習(xí)強(qiáng)調(diào)學(xué)生從學(xué)科本質(zhì)上理解所學(xué)內(nèi)容、所習(xí)技能，強(qiáng)化解決問題能力，這種高質(zhì)量的學(xué)習(xí)型導(dǎo)向教學(xué)可以在一定程度上改變學(xué)習(xí)者的學(xué)習(xí)習(xí)慣，從學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)到愛上學(xué)習(xí)。數(shù)學(xué)課程深度教學(xué)在提升學(xué)生數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力時(shí)，通過整體探析與理解學(xué)科本質(zhì)，凝練教學(xué)目標(biāo)與主題，借助精心設(shè)計(jì)的問題，引發(fā)學(xué)生認(rèn)知沖突，注重學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中的動(dòng)機(jī)生成、情感激發(fā)、問題解決、知識(shí)建構(gòu)、方法遷移和思維提升。因此，數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的培養(yǎng)并非在于考查學(xué)生能否解決某一個(gè)具體問題，而是在面臨問題時(shí)，學(xué)生知道該做什么，如何去做，做到什么程度，從數(shù)學(xué)學(xué)科視角或?qū)W科融合視角去分析問題，尋求學(xué)生思考與問題解決策略的一致性。

（三）數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的必備成分

2018年1月，教育部頒布《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》（以下簡(jiǎn)稱“新課標(biāo)”），此次課程標(biāo)準(zhǔn)的修訂融合了中國數(shù)學(xué)教育經(jīng)驗(yàn)與世界數(shù)學(xué)教育趨勢(shì)，加強(qiáng)了數(shù)學(xué)的邏輯體系、內(nèi)容主線、知識(shí)之間的聯(lián)系，重視數(shù)學(xué)能力與數(shù)學(xué)文化[2]。其中形成了數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的概念及其水平要求，明確指出數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是具有數(shù)學(xué)基本特征的數(shù)學(xué)思維、關(guān)鍵能力及情感、態(tài)度與價(jià)值觀的綜合體現(xiàn)。[3]4從數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的定義來看，數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的必備成分，不可或缺，數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力確保數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)在內(nèi)涵上實(shí)現(xiàn)了知識(shí)與能力的統(tǒng)一，如果將數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)劃分為內(nèi)隱與外顯兩部分內(nèi)容，數(shù)學(xué)思維品質(zhì)、情感、態(tài)度與價(jià)值觀屬于內(nèi)隱部分，而數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力具有外顯行為，可以用學(xué)生的行為來描述。數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的新宗旨，是數(shù)學(xué)課程教學(xué)的新內(nèi)容，是數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)落實(shí)的新指標(biāo)。

二、高中生數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的特質(zhì)

數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力是最中心、最基本、最重要的數(shù)學(xué)能力，其中蘊(yùn)含三個(gè)信息：數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的本質(zhì)、地位與取向，如圖1所示，借助“循名責(zé)實(shí)”的思想[4]，可以從“數(shù)學(xué)”“關(guān)鍵”“能力”三個(gè)方面闡釋數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的特質(zhì)。

圖1.數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的特質(zhì)分析框架

（一）數(shù)學(xué)：數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力蘊(yùn)含數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)

數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)是數(shù)學(xué)學(xué)科區(qū)別于其他學(xué)科的根本屬性，具體表現(xiàn)在數(shù)學(xué)基本問題、數(shù)學(xué)基本思想、數(shù)學(xué)學(xué)科價(jià)值三個(gè)方面。在數(shù)學(xué)基本問題上，總得來講學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問題或現(xiàn)實(shí)問題的解決能力，就是數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力，表現(xiàn)為用數(shù)學(xué)的眼光發(fā)現(xiàn)問題、用數(shù)學(xué)的思想分析問題、用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)問題，只是在問題解決過程中需要借助具體的數(shù)學(xué)知識(shí)與技能。在數(shù)學(xué)基本思想上，史寧中教授將數(shù)學(xué)基本思想劃分為抽象、推理與模型，可以看出，數(shù)學(xué)基本思想也指向數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力，特別是由知識(shí)轉(zhuǎn)化而來的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模等能力。在數(shù)學(xué)學(xué)科價(jià)值上，數(shù)學(xué)具有抽象性、嚴(yán)謹(jǐn)性與應(yīng)用性三大特征，因此，它既是訓(xùn)練學(xué)生思維的學(xué)科，也是培養(yǎng)學(xué)生關(guān)鍵能力的學(xué)科。在四大關(guān)鍵能力中，有三個(gè)能力與數(shù)學(xué)直接相關(guān)，例如，可以借助數(shù)學(xué)問題解決、數(shù)學(xué)論證、數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)等培養(yǎng)學(xué)生的認(rèn)知能力；借助數(shù)學(xué)建模培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力、實(shí)踐能力與合作能力。

（二）關(guān)鍵：數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力具有領(lǐng)域核心地位

數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的領(lǐng)域核心地位體現(xiàn)在三個(gè)層面：首先，從范圍層面來看，“關(guān)鍵”是針對(duì)某個(gè)領(lǐng)域或者體系而言的，以孤立形態(tài)的對(duì)象不存在關(guān)鍵與否，這體現(xiàn)了關(guān)鍵的基礎(chǔ)性，數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力是其他數(shù)學(xué)能力發(fā)展的基礎(chǔ)，先于其他數(shù)學(xué)能力發(fā)生。其次，從時(shí)間層面來看，“關(guān)鍵”對(duì)事物或事情存在的不間斷地支持，并且支持作用不會(huì)消失，這體現(xiàn)了關(guān)鍵的持續(xù)性，數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力是其他數(shù)學(xué)能力的本源，指向?qū)W生的數(shù)學(xué)終身學(xué)習(xí)，為學(xué)生數(shù)學(xué)或其他學(xué)科的學(xué)習(xí)提供支撐，是學(xué)生發(fā)展的持續(xù)性動(dòng)力。最后，從功能層面來看，“關(guān)鍵”是不可或缺的，是一個(gè)領(lǐng)域或體系存在的前提，這體現(xiàn)了數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的必要性，數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力是其他數(shù)學(xué)能力的內(nèi)核，一方面，這些數(shù)學(xué)能力本身是必要的，從量的角度來看，必備表現(xiàn)為“少一則缺，多一則余”，從質(zhì)的角度來看，必備表現(xiàn)為精華，某一數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的缺失會(huì)給學(xué)生數(shù)學(xué)發(fā)展帶來致命傷害。另一方面，數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的形成具有必要的節(jié)點(diǎn)，在固定的時(shí)期著重培養(yǎng)學(xué)生固定的數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力。抓住節(jié)點(diǎn)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力事半功倍；錯(cuò)過節(jié)點(diǎn)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力事倍功半。[4]

（三）能力：數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力追求能力價(jià)值取向

數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力是通過數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，在學(xué)生內(nèi)心沉淀而成的，能夠處理學(xué)習(xí)、生活、工作中的問題的能力，即教育過后，所剩之物。與人的某些先天素質(zhì)相比，數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力是可以通過后天的教育培養(yǎng)獲得的。因此，從屬性上看，數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力是屬于個(gè)性的范疇，具有個(gè)體差異性，不同學(xué)生之間數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力有高低之分，這與學(xué)生的基本素質(zhì)、教育環(huán)境、家庭背景有關(guān)；從作用上看，數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力表現(xiàn)為學(xué)生在數(shù)學(xué)問題解決或數(shù)學(xué)任務(wù)完成過程中的具體反映，有高低之分，這也受到數(shù)學(xué)問題或任務(wù)層次的影響，具體包括問題情境是否能夠反映問題本質(zhì)、知識(shí)與問題之間能否建立關(guān)聯(lián)、問題解決策略是否具有多樣性特征等方面；從目的上看，數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力旨在縱向聯(lián)結(jié)數(shù)學(xué)核心內(nèi)容與數(shù)學(xué)學(xué)科思想，橫向凝聚一般數(shù)學(xué)學(xué)科能力，表現(xiàn)為在“數(shù)學(xué)化”的活動(dòng)中，通過對(duì)數(shù)學(xué)核心知識(shí)的探索與創(chuàng)造，對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用與內(nèi)化，對(duì)數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的體驗(yàn)與積累，從而形成的以解決問題為指向的心理特征?？傊瑪?shù)學(xué)關(guān)鍵能力是以數(shù)學(xué)知識(shí)為載體，數(shù)學(xué)思想為靈魂，數(shù)學(xué)方法為手段的動(dòng)態(tài)發(fā)展能力系統(tǒng)。

三、高中生數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的定義

1923年，布里奇曼（P.W.Bridgman）指出，概念的定義不能全部依賴于屬性的描述，更重要的是給予其一套可行的、科學(xué)的操作[5]。1971年，布里奇曼操作性定義被美國《科學(xué)》雜志視為世界五大哲學(xué)成就之一[6]。操作性定義理論強(qiáng)調(diào)概念的可觀察、可測(cè)量、可操作的特征，實(shí)現(xiàn)了從屬性化到操作化的轉(zhuǎn)變，可以通過條件描述、指標(biāo)描述、行為描述來界定變量。因此，界定高中生數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的操作性定義是對(duì)其實(shí)施精準(zhǔn)測(cè)評(píng)的基本前提。

（一）數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力定義的研究基礎(chǔ)

關(guān)于數(shù)學(xué)能力內(nèi)涵、構(gòu)成要素或結(jié)構(gòu)屬性的研究較多，在內(nèi)涵上集中在心理特征、能力表現(xiàn)與數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)三個(gè)方面，例如鮑建生認(rèn)為數(shù)學(xué)能力是一種心理特征，可以指導(dǎo)數(shù)學(xué)活動(dòng)的完成并影響其效率[7]，溫特（Winter）認(rèn)為數(shù)學(xué)能力是通過各種情境而獲得理解、判斷與使用數(shù)學(xué)的經(jīng)驗(yàn)[8]。

在構(gòu)成要素或?qū)傩陨?，從?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)層面來看，我國數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中強(qiáng)調(diào)了計(jì)算能力、邏輯推理能力與空間想象能力[9]。德國以PISA測(cè)評(píng)框架為基礎(chǔ)，構(gòu)建了六大數(shù)學(xué)能力，其中包含數(shù)學(xué)論證、問題解決、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)表征、數(shù)學(xué)符號(hào)、公式以及技巧運(yùn)用、數(shù)學(xué)交流[10]。《美國共同核心州數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)》（Common Core State Standards for Mathematics）指出了八大數(shù)學(xué)能力，即問題解決能力、推理能力、論證與互相評(píng)價(jià)、數(shù)學(xué)建模、使用合適的工具、精確化、數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)獲取與運(yùn)用以及探求規(guī)律[11]。澳大利亞與其他國家不同，首先共同提出七大能力，然后再從數(shù)學(xué)學(xué)科對(duì)其進(jìn)行闡釋[12]。從個(gè)人研究層面來看，克魯切茨基（Kruteskil）的數(shù)學(xué)能力構(gòu)成對(duì)學(xué)者們的影響較大，尼斯（Niss）提出“數(shù)學(xué)能力之花”模型[13]，喻平將數(shù)學(xué)能力分為三類，其中蘊(yùn)含11種數(shù)學(xué)能力[14]，這與塞克瑞等在數(shù)學(xué)能力方面加入數(shù)學(xué)元認(rèn)知、數(shù)學(xué)記憶等成分是一致的。此外，也有其他學(xué)者基于課堂教學(xué)對(duì)數(shù)學(xué)能力進(jìn)行概括[15]。無論是國家層面，還是個(gè)人層面，對(duì)數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力構(gòu)成要素的界定上均包含數(shù)學(xué)推理、數(shù)學(xué)交流、問題解決等關(guān)鍵詞，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的內(nèi)隱性、外顯性、生成性以及經(jīng)驗(yàn)性。

（二）高中生數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力及其相關(guān)概念的關(guān)系

界定高中生數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的定義，還要明確數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力與數(shù)學(xué)高階能力、數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)、數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)技能等相關(guān)概念之間的關(guān)系。它們之間既有區(qū)別又有聯(lián)系，數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力與數(shù)學(xué)高階能力強(qiáng)調(diào)心理層面，是學(xué)生的個(gè)性心理特征，但是兩者之間又有區(qū)別；數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)強(qiáng)調(diào)素養(yǎng)層面，是學(xué)生的個(gè)體的綜合體現(xiàn)，具有融合性；數(shù)學(xué)知識(shí)強(qiáng)調(diào)內(nèi)容層面，是學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)載體，具有實(shí)在性；數(shù)學(xué)技能強(qiáng)調(diào)操作層面，是學(xué)生的個(gè)體操作技術(shù)，具有技巧性。

首先，與數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力關(guān)系最密切的是數(shù)學(xué)高階能力，兩者同屬能力范疇，是數(shù)學(xué)能力的下位概念，具有數(shù)學(xué)能力的基本屬性與特征，但兩者側(cè)重點(diǎn)又各不相同。與數(shù)學(xué)高階能力相對(duì)的是數(shù)學(xué)低階能力，這在很大程度上相當(dāng)于布盧姆分類學(xué)中的前三個(gè)層次：知識(shí)、理解和應(yīng)用，數(shù)學(xué)高階能力一般包括布盧姆分類學(xué)的后三個(gè)層次：分析、綜合和評(píng)價(jià)[16]；其次，按照“新課標(biāo)”關(guān)于數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)水平的劃分，數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力與數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)之間具有包含與繼承的關(guān)系；再次，數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力與數(shù)學(xué)知識(shí)之間不再是完全對(duì)立的關(guān)系，當(dāng)數(shù)學(xué)教育回歸能力取向的教育理念中時(shí)，也不是完全摒棄對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的傳授，沒有數(shù)學(xué)知識(shí)的數(shù)學(xué)能力如“無源之水”，缺失數(shù)學(xué)能力的數(shù)學(xué)知識(shí)似“無的之矢”，數(shù)學(xué)知識(shí)是數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的實(shí)在抓手，數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力是數(shù)學(xué)知識(shí)所蘊(yùn)含的培養(yǎng)目標(biāo)；最后，數(shù)學(xué)技能在一定程度上可以展現(xiàn)數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的技巧性，兩者的主要區(qū)別在于數(shù)學(xué)技能更多指向?qū)W生的記憶水平，是對(duì)學(xué)生的群體要求，以獲取正確的數(shù)學(xué)結(jié)果為出發(fā)點(diǎn)，而數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力更關(guān)注學(xué)生個(gè)體在解決問題中的表現(xiàn)。

（三）高中生數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力操作性定義的結(jié)構(gòu)

厘清數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的維度劃分，是給出數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力操作性定義的前提條件。“新課標(biāo)”指出要培養(yǎng)學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，會(huì)用數(shù)學(xué)思維思考世界，會(huì)用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界（簡(jiǎn)稱“三會(huì)”）[3]2。“三會(huì)”既在一定程度上詮釋了數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，也體現(xiàn)了學(xué)生從數(shù)學(xué)的視角提出問題、分析問題、解決問題的能力?；谝陨涎芯炕A(chǔ)，構(gòu)建高中生數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力操作性定義的基本結(jié)構(gòu)，如圖2所示，以數(shù)學(xué)觀察、數(shù)學(xué)思考、數(shù)學(xué)表達(dá)作為一級(jí)維度。其中數(shù)學(xué)觀察維度包括數(shù)學(xué)抽象能力、直觀想象與化歸能力；數(shù)學(xué)思考維度包括數(shù)學(xué)猜想與論證能力、數(shù)學(xué)運(yùn)算能力；數(shù)學(xué)表達(dá)維度包括數(shù)據(jù)分析與預(yù)測(cè)能力、數(shù)學(xué)建模能力。

1.數(shù)學(xué)抽象能力

數(shù)學(xué)是以抽象的形式反映客觀世界，這種反映方式表現(xiàn)為抽象與現(xiàn)實(shí)、主觀與客觀的辯證統(tǒng)一，數(shù)學(xué)抽象本身體現(xiàn)著現(xiàn)實(shí)世界與數(shù)學(xué)世界的轉(zhuǎn)化關(guān)系。數(shù)學(xué)抽象能力強(qiáng)調(diào)學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)對(duì)象的內(nèi)化與應(yīng)用，焦點(diǎn)開始從數(shù)學(xué)抽象的本體轉(zhuǎn)向人的能力。從數(shù)學(xué)學(xué)科發(fā)展來看，現(xiàn)代數(shù)學(xué)體系的構(gòu)建依賴于數(shù)學(xué)家們的數(shù)學(xué)抽象能力。從學(xué)生發(fā)展來看，學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的生成同樣依賴于學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力，這是因?yàn)閷W(xué)生數(shù)學(xué)抽象能力有利于幫助學(xué)生排除概念的物理屬性干擾，形成符號(hào)化、形式化的數(shù)學(xué)語言，所以，學(xué)生數(shù)學(xué)抽象能力的形成是數(shù)學(xué)家數(shù)學(xué)抽象能力發(fā)展的縮影。按照抽象程度的不同，學(xué)生數(shù)學(xué)抽象能力包含兩個(gè)層面：第一個(gè)層面是從實(shí)物中抽象出“數(shù)”與“形”，并用數(shù)學(xué)符號(hào)予以表征，例如，從七橋問題到歐拉定理；第二個(gè)層面是從其他數(shù)量關(guān)系或運(yùn)算中抽象出“數(shù)”與“形”，例如虛

數(shù)單位“i”，它并非從現(xiàn)實(shí)情境中獲得，而是在運(yùn)算過程中形成以后，才在現(xiàn)實(shí)世界找到其模型。無論哪個(gè)層面的數(shù)學(xué)抽象能力，都能夠幫助學(xué)生脫離經(jīng)驗(yàn)意義的存在，形成一般性數(shù)學(xué)概念、規(guī)律和結(jié)構(gòu)。

圖2 高中生數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力操作性定義的基本結(jié)構(gòu)

2.直觀想象與化歸能力

直觀想象與化歸是基于客觀事物的空間形式（形狀、大小、結(jié)構(gòu)、位置關(guān)系）及其數(shù)學(xué)符號(hào)表征創(chuàng)造性想象的能力，是學(xué)生根據(jù)數(shù)學(xué)語言（文字、符號(hào)、圖像）的闡述而聯(lián)想到與之相似或相反的數(shù)學(xué)對(duì)象，進(jìn)而對(duì)數(shù)學(xué)問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，形成直觀模型。高中數(shù)學(xué)課程中包含兩種形式的空間想象能力，一種是從平面到立體，一種是從靜止到運(yùn)動(dòng)[17]，例如利用空間向量解決立體幾何的問題，動(dòng)點(diǎn)軌跡問題等。直觀想象可以強(qiáng)化學(xué)生利用圖形進(jìn)行的數(shù)學(xué)思考與想象的意識(shí)，構(gòu)建代數(shù)概念、公式、法則的幾何意義及其圖形表征，形成數(shù)學(xué)直覺，例如，利用圖形解決最值問題、數(shù)列問題等?；瘹w可以幫助學(xué)生在解決問題中完成對(duì)問題的重新審視，實(shí)現(xiàn)問題由繁到簡(jiǎn)、由難到易、由未知到已知、由陌生到熟悉的轉(zhuǎn)化，進(jìn)而解決問題。例如，在直角坐標(biāo)系中，兩點(diǎn)之間的距離與復(fù)數(shù)域中復(fù)數(shù)的模可以相互轉(zhuǎn)化，因此，可以借助不同的數(shù)學(xué)語言去表達(dá)、解釋、解決各種問題。

3.數(shù)學(xué)運(yùn)算能力

數(shù)學(xué)運(yùn)算能力在我國數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域一直備受關(guān)注，從1978年2月頒布的《全日制十年制中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱（試行草案）》中首次提出數(shù)學(xué)運(yùn)算，（在1963年5月頒布的《全日制中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱（草案）》中被稱為計(jì)算能力）如今數(shù)學(xué)運(yùn)算已經(jīng)成為高中數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。所謂數(shù)學(xué)運(yùn)算能力是指在理解運(yùn)算對(duì)象的基礎(chǔ)上，確定運(yùn)算的方向，并根據(jù)法則、公式、定理，合理計(jì)算或估計(jì)運(yùn)算結(jié)果的能力。在運(yùn)算中，理解運(yùn)算對(duì)象與運(yùn)算規(guī)律是進(jìn)行運(yùn)算的基本條件，隨著代數(shù)學(xué)的產(chǎn)生與發(fā)展，運(yùn)算對(duì)象也逐漸從“數(shù)”擴(kuò)充到“式”，包括對(duì)字母、函數(shù)以及各種抽象符號(hào)的運(yùn)算，運(yùn)算也成為處理從一個(gè)或多個(gè)量中得到一個(gè)量的變換方式[18]。因此，高中生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力關(guān)鍵在于通性通法的理解以及算理的把握。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力不只是精確的運(yùn)算，還包括估算，例如，在“函數(shù)與方程”中涉及“二分法”，這就是一種借助信息技術(shù)求解方程近似解的一種運(yùn)算。

4.數(shù)學(xué)猜想與論證能力

數(shù)學(xué)猜想與論證能力涵蓋了歸納與演繹，高中生數(shù)學(xué)推理能力主要包括兩類，即合情推理與演繹推理。合情推理指向猜想，通過類比與歸納，發(fā)現(xiàn)數(shù)量或者圖形的性質(zhì)及其關(guān)系，由特殊案例猜想一般規(guī)律；而演繹推理指向論證，借助命題中條件與結(jié)論之間的聯(lián)系，從數(shù)學(xué)事實(shí)出發(fā)，通過科學(xué)的推演，得出結(jié)論，進(jìn)而驗(yàn)證猜想的真?zhèn)?。因此，合情推理能力是基于“?jīng)驗(yàn)”的推理，演繹推理是基于“理念”的推理[19]。數(shù)學(xué)猜想與論證能力具有一定的構(gòu)造性，是學(xué)生獲得數(shù)學(xué)結(jié)論、構(gòu)建命題結(jié)構(gòu)體系的重要方式，命題結(jié)構(gòu)體系包含具有內(nèi)在聯(lián)系的命題網(wǎng)絡(luò)，這些命題按照等價(jià)關(guān)系與抽象關(guān)系進(jìn)行建立，當(dāng)學(xué)生形成命題結(jié)構(gòu)體系時(shí)[20]，將有助于學(xué)生在復(fù)雜的情境“抽絲剝繭”，梳理知識(shí)之間的邏輯關(guān)系，洞察數(shù)量或圖形之間的變化規(guī)律，進(jìn)而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)理性思維。

5.數(shù)學(xué)建模能力

數(shù)學(xué)建模能力集中體現(xiàn)為用數(shù)學(xué)眼光發(fā)現(xiàn)與提出問題、用數(shù)學(xué)語言分析與表達(dá)問題、用數(shù)學(xué)方法解決與交流問題。從F·克萊因呼吁重視數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，到弗萊登塔爾強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)教育的現(xiàn)實(shí)意義，數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)與創(chuàng)新能力越來越得到重視，而數(shù)學(xué)建模能力就是指向培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題，體現(xiàn)了應(yīng)用與創(chuàng)新。數(shù)學(xué)建模能力是需要基于對(duì)問題情境中的相關(guān)信息進(jìn)行提取、加工、分析，在實(shí)際問題中抽象出數(shù)學(xué)問題，通過對(duì)該數(shù)學(xué)問題的求解，來回答現(xiàn)實(shí)世界中的實(shí)際問題，是從現(xiàn)實(shí)世界到數(shù)學(xué)世界，再回歸現(xiàn)實(shí)世界的過程。數(shù)學(xué)建模能力所解決的問題具有實(shí)際背景，從對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的現(xiàn)象進(jìn)行概括與分析，抽象出與數(shù)學(xué)內(nèi)容相關(guān)的信息，構(gòu)建知識(shí)、問題和方法之間的相互聯(lián)系，形成數(shù)學(xué)模型，并對(duì)模型進(jìn)行求解，這是一個(gè)動(dòng)態(tài)的思維過程[21]。

6.數(shù)據(jù)分析與預(yù)測(cè)能力

數(shù)據(jù)分析能力側(cè)重于對(duì)學(xué)生隨機(jī)思維與推斷思維的培養(yǎng)，培養(yǎng)中的關(guān)鍵在于發(fā)現(xiàn)隨機(jī)現(xiàn)象中的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。隨著人工智能的發(fā)展，數(shù)據(jù)分析已經(jīng)深入科學(xué)、工程、技術(shù)以及現(xiàn)代生活的各個(gè)領(lǐng)域，成為“互聯(lián)網(wǎng)+”相關(guān)領(lǐng)域的重要方法。因此，數(shù)據(jù)分析能力是大數(shù)據(jù)時(shí)代學(xué)生必須具備的一種數(shù)學(xué)能力，通過調(diào)查收集整理相關(guān)數(shù)據(jù)，并對(duì)數(shù)據(jù)所蘊(yùn)含的有價(jià)值的信息進(jìn)行分析、提取，借助信息完成合理的預(yù)測(cè)與推斷。通過數(shù)據(jù)的收集與整理，學(xué)生能夠在相互關(guān)聯(lián)的情境中，識(shí)別隨機(jī)變量，選取適切的抽樣方法獲得數(shù)據(jù)，例如隨機(jī)抽樣、分層抽樣、系統(tǒng)抽樣等。借助信息的提取與分析，能夠?qū)π畔⑦M(jìn)行篩選、加工，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)其中蘊(yùn)含的統(tǒng)計(jì)知識(shí)與規(guī)律，依據(jù)結(jié)論的預(yù)測(cè)與推斷，結(jié)合數(shù)據(jù)得出的規(guī)律，對(duì)隨機(jī)變量的發(fā)展趨勢(shì)進(jìn)行科學(xué)合理的估計(jì)與推斷。

二級(jí)子維度的水平劃分也同樣是高中生數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力操作性定義的重要構(gòu)成部分，專家認(rèn)為，可以基于“新課標(biāo)”數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的水平劃分，對(duì)高中生數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的二級(jí)子維度進(jìn)行水平劃分，形成高中生數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的操作性定義，具體內(nèi)容如表1所示[22]。

表1.高中生數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力操作性定義