張?bào)悻|，劉印哲

一、背景

圍繞立德樹人根本任務(wù)，教學(xué)要全員、全程、全方位育人，即把“三全育人”融入思想道德、文化知識(shí)、社會(huì)實(shí)踐等各環(huán)節(jié)教育中。復(fù)數(shù)的引入，經(jīng)歷了曲折的過程，通過問題情境的創(chuàng)設(shè)，類比從自然數(shù)到實(shí)數(shù)的擴(kuò)充過程，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)、數(shù)學(xué)創(chuàng)造的過程，掌握數(shù)系擴(kuò)充“規(guī)則”中蘊(yùn)含的方法論，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，培養(yǎng)創(chuàng)新思維能力。

二、教學(xué)設(shè)計(jì)的指導(dǎo)思想

依據(jù)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》（以下簡(jiǎn)稱“新課標(biāo)”）對(duì)課程內(nèi)容規(guī)劃，“復(fù)數(shù)”是必修“主題三幾何與代數(shù)”中的一章，本章學(xué)習(xí)內(nèi)容主要包括數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的幾何意義、復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算及其幾何意義、復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算以及復(fù)數(shù)的三角表示，重點(diǎn)提升學(xué)生的直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)抽象等素養(yǎng)[1]，突出幾何直觀與代數(shù)運(yùn)算的結(jié)合，融數(shù)學(xué)文化于課程內(nèi)容中[2]。

教學(xué)設(shè)計(jì)以HPM教學(xué)模式為理論指導(dǎo)，即按照歷史的順序教授數(shù)學(xué)，或從歷史視角呈現(xiàn)數(shù)學(xué)發(fā)生、發(fā)展過程，可以使學(xué)生看清數(shù)學(xué)的產(chǎn)生是有規(guī)律的，所有的數(shù)學(xué)知識(shí)最初都是以草創(chuàng)的形式出現(xiàn)，經(jīng)過長(zhǎng)期的改進(jìn)，才形成確定的方法[3]。這種設(shè)計(jì)符合學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律和心理特征，能夠從歷史的宏觀性上把握學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，通過“類比推理”，使學(xué)生在探究式學(xué)習(xí)的過程中產(chǎn)生認(rèn)知沖突，認(rèn)識(shí)到擴(kuò)充數(shù)系的重要性和必要性，體會(huì)數(shù)學(xué)的整體性。

復(fù)數(shù)單元知識(shí)結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1.復(fù)數(shù)單元知識(shí)結(jié)構(gòu)

“數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念”是“復(fù)數(shù)”一章中新概念形成的開端，也是本章的知識(shí)基礎(chǔ)，具有奠基性作用。復(fù)數(shù)的引入是中學(xué)階段對(duì)數(shù)系的最后一次擴(kuò)充，引導(dǎo)學(xué)生從自然數(shù)到實(shí)數(shù)的數(shù)系擴(kuò)充經(jīng)驗(yàn)中梳理出數(shù)系擴(kuò)充的“規(guī)則”，經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造過程，體會(huì)其中所蘊(yùn)含的理性思維，可重點(diǎn)提升學(xué)生的直觀想象、數(shù)學(xué)抽象以及邏輯推理等素養(yǎng)。

三、教學(xué)設(shè)計(jì)各環(huán)節(jié)

本文將從系統(tǒng)觀下教學(xué)設(shè)計(jì)各環(huán)節(jié)的視角分析基于核心素養(yǎng)養(yǎng)成教育。

（一）教學(xué)內(nèi)容分析

“數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念”選自人教版《普通高中教科書(A版):數(shù)學(xué)（必修第二冊(cè)）》中第七章第一節(jié)“復(fù)數(shù)的概念”，位于三角函數(shù)和向量學(xué)習(xí)之后，向量能作為復(fù)數(shù)學(xué)習(xí)的工具，復(fù)數(shù)的三角表示又能融合復(fù)數(shù)、三角函數(shù)與向量，從復(fù)數(shù)的幾何意義入手，讓學(xué)生理解復(fù)數(shù)本質(zhì)上是由實(shí)數(shù)（已有知識(shí)）構(gòu)成的有序數(shù)對(duì)，同時(shí)復(fù)數(shù)具有深厚的物理背景和應(yīng)用，對(duì)學(xué)科間的知識(shí)融合具有示范作用。

（二）學(xué)生學(xué)情分析

學(xué)生初中階段有數(shù)系從自然數(shù)擴(kuò)充到實(shí)數(shù)的學(xué)習(xí)體驗(yàn)，積累了一定的數(shù)系擴(kuò)充活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，能夠在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)求解一元二次方程，高中階段掌握了集合以及集合運(yùn)算，學(xué)習(xí)了三角函數(shù)和向量，為學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)完成數(shù)系的擴(kuò)充打下了知識(shí)與能力基礎(chǔ)，但并沒有系統(tǒng)學(xué)習(xí)數(shù)系擴(kuò)充的規(guī)則，缺乏對(duì)“為什么要擴(kuò)充數(shù)系”的深入思考。

（三）教學(xué)目標(biāo)確定

依據(jù)“新課標(biāo)”對(duì)課程內(nèi)容學(xué)習(xí)的要求，以“四基”、“四能”為培養(yǎng)目標(biāo)，教師應(yīng)從如何讓學(xué)生理解引入復(fù)數(shù)的必要性，了解數(shù)系擴(kuò)充的規(guī)則，理解復(fù)數(shù)的概念，掌握復(fù)數(shù)的表示等主要問題入手，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，幫助學(xué)生樹立敢于質(zhì)疑、善于思考、嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)精神，感悟?qū)W習(xí)后續(xù)內(nèi)容的價(jià)值和意義。

（四）教學(xué)重、難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：梳理數(shù)系擴(kuò)充的過程和“規(guī)則”，類比自然數(shù)到實(shí)數(shù)的擴(kuò)充引入復(fù)數(shù)，理解復(fù)數(shù)的概念。

學(xué)習(xí)難點(diǎn)：復(fù)數(shù)的引入，理解復(fù)數(shù)的概念，理解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示為兩項(xiàng)之和的形式。

關(guān)鍵在于引導(dǎo)學(xué)生掌握數(shù)系擴(kuò)充的方法，借助類比思想形成復(fù)數(shù)的概念。

（五）教學(xué)過程設(shè)計(jì)

基于教學(xué)目標(biāo)和教學(xué)重、難點(diǎn)的設(shè)置，采用探究式教學(xué)方式，在問題情境中體會(huì)社會(huì)實(shí)際需求與數(shù)學(xué)內(nèi)部矛盾對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展的推動(dòng)作用，使學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造過程，培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)，感悟理性思維。

【問題導(dǎo)入】

本題目的設(shè)計(jì)還原了早在五百多年前意大利數(shù)學(xué)家卡爾丹研究的問題“把分成兩部分，使其乘積為”這一問題，卡爾丹給出兩個(gè)“數(shù)是方程的解。我們?nèi)艏俣ㄟ@兩個(gè)數(shù)有意義，不難驗(yàn)證這兩個(gè)數(shù)滿足題目中的條件：

問題2：√- 15是“數(shù)”嗎？在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，負(fù)數(shù)不能開平方，而卡爾丹求得的解5+ √- 15和5- √-15又能滿足“把10分成兩部分，使其乘積為40”，存在這樣的數(shù)嗎？數(shù)學(xué)研究中需要這樣的數(shù)嗎？

【設(shè)計(jì)意圖】問題1,2以HPM教育思想為指導(dǎo)，設(shè)計(jì)中融入數(shù)學(xué)文化，重現(xiàn)經(jīng)典數(shù)學(xué)史問題，產(chǎn)生思想碰撞，引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，激發(fā)學(xué)生對(duì)復(fù)數(shù)的存在性進(jìn)行探究的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，是在復(fù)數(shù)概念導(dǎo)入中的運(yùn)用。

【探究發(fā)現(xiàn)】

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)：用geogebra軟件觀察函數(shù)（f x）=x3-15x-4的圖象，如圖2所示。

問題3：觀察圖2，給求出一元三次方程x3=15x+4實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)。

圖2.geogebra軟件繪制x3=15x+4局部圖

通過觀察試誤可以確定方程的一個(gè)解為4，則有一個(gè)因式為（x-4），由數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)知道方程還存在另外

兩個(gè)實(shí)數(shù)解，且三次項(xiàng)系數(shù)為1，就可以設(shè)另一個(gè)因式為（x2+ax+b）。這樣，由（x-4）（x2+ax+b）=x3-15x-4可以很方便地確定a、b的值，將原方程轉(zhuǎn)化為（x-4）（x2+4x+1）=0，求得方程的解為分解因式的方法很多，有興趣的讀者可

以思考求解這一問題其它方法。

問題4：一元三次方程求根公式

以微課程方式呈現(xiàn)以下內(nèi)容，卡爾丹推導(dǎo)形如x3+px+q=0的一元三次方程求根公式，得出其中一根在16世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家邦貝利用它求解一元三次方程x3=15x+4的一個(gè)解為這里又出現(xiàn)了的數(shù)（對(duì)負(fù)數(shù)開平方），而在問題3中已經(jīng)求出方程的三個(gè)實(shí)數(shù)解，是一個(gè)被證明存在的實(shí)數(shù)，間接證明了盡管不是實(shí)數(shù)，但它是有意義的。

問題5：在這些數(shù)中最簡(jiǎn)單的是哪一個(gè)呢？為什么覺得它是最簡(jiǎn)單的呢？

問題6：負(fù)數(shù)開平方實(shí)質(zhì)上可以簡(jiǎn)化為研究對(duì)開平方，從方程的角度表示探究方程x2+1=0的解。

【設(shè)計(jì)意圖】到此回歸教材，由于現(xiàn)實(shí)生活中沒有虛數(shù)的真實(shí)模型，所以引導(dǎo)學(xué)生從解方程的角度出發(fā)，體會(huì)“數(shù)不夠用”的緊迫感，將學(xué)生引向添加新數(shù)的創(chuàng)新性解題思路。

【建構(gòu)新知】

從求解方程的視角，看數(shù)域的擴(kuò)張，如圖3所示

圖3.數(shù)域的擴(kuò)張

對(duì)數(shù)系的擴(kuò)充過程進(jìn)行歸納，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到方程的解與取值范圍密切相關(guān)，同時(shí)數(shù)系擴(kuò)充的規(guī)則形成清晰的體現(xiàn)，體會(huì)數(shù)系擴(kuò)充過程中的理性思維，使學(xué)生自然而然地聯(lián)想到再次對(duì)數(shù)系進(jìn)行擴(kuò)充來求解方程，滲透類比思想，培養(yǎng)邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。類比從自然數(shù)到實(shí)數(shù)的擴(kuò)充過程，把新引進(jìn)的數(shù)i添加到實(shí)數(shù)集后，數(shù)i和實(shí)數(shù)之間仍能像實(shí)數(shù)那樣進(jìn)行加法和乘法運(yùn)算，對(duì)加法和乘法都滿足交換律、結(jié)合律，乘法對(duì)加法滿足分配律。

在實(shí)數(shù)集的基礎(chǔ)上再添加新數(shù)來表示方程x2+1=0的解。添加的這個(gè)新數(shù)應(yīng)該滿足這個(gè)數(shù)的平方等于-1。這個(gè)工作由數(shù)學(xué)家歐拉完成，他引入字母i來表示方程x2+1=0的解，即使得我們把i叫做虛數(shù)單位。

【生成新知】

我們把形如a+bi（a，b∈R）的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中i叫做虛數(shù)單位。全體復(fù)數(shù)所構(gòu)成的集合C={a+bi|a，b∈R}叫做復(fù)數(shù)集。

復(fù)數(shù)通常用字母z表示，即z=a+bi（a，b∈R），其中a與b分別叫做復(fù)數(shù)z的實(shí)部與虛部。把實(shí)數(shù)b與數(shù)i相乘的結(jié)果記作bi，bi的形式表明實(shí)數(shù)與i之間滿足乘法。又因?yàn)閿?shù)i與實(shí)數(shù)a，bi分別相乘得ai，-b，而x+yi可以涵蓋a（x=a，y=0，其它類同），bi，ai，-b，a+bi等情形，即把所有的實(shí)數(shù)以及新數(shù)i都可以寫成a+bi（a，b∈R）的形式，這樣實(shí)數(shù)和“新”數(shù)都在擴(kuò)充后的數(shù)集中。

學(xué)生經(jīng)歷復(fù)數(shù)概念的形成過程，最后由教師總結(jié)，形成復(fù)數(shù)的概念。

本節(jié)課的一個(gè)重難點(diǎn)就在于形成復(fù)數(shù)的概念以及對(duì)復(fù)數(shù)概念的理解，教師給出規(guī)范化的概念有助于學(xué)生的記憶和理解。

問題7：用集合的觀點(diǎn)來表示復(fù)數(shù)集、實(shí)數(shù)集、虛數(shù)集、純虛數(shù)集之間的關(guān)系。

問題8：在復(fù)數(shù)集C中任取兩個(gè)數(shù)a+bi，c+di（a，b，c，d∈R），它們?cè)谑裁辞闆r下是相等的呢？給出復(fù)數(shù)相等的充要條件。

【設(shè)計(jì)意圖】這里適當(dāng)調(diào)換復(fù)數(shù)相等的充要條件與復(fù)數(shù)的分類的先后位置，符合學(xué)生的認(rèn)知過程。結(jié)合思考題，引發(fā)學(xué)生繼續(xù)深入探究，間接向?qū)W生揭示復(fù)數(shù)的本質(zhì)是一對(duì)有序?qū)崝?shù)的事實(shí)，將復(fù)數(shù)與有序?qū)崝?shù)對(duì)、向量建立起自然的聯(lián)系，為下節(jié)課學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)的兩種幾何意義奠定知識(shí)和思想上的基礎(chǔ)。

【總結(jié)展望】

本節(jié)課圍繞“數(shù)不夠用”問題，引入新數(shù)將數(shù)系擴(kuò)充到復(fù)數(shù)集?！皬膶?shí)數(shù)到復(fù)數(shù)的數(shù)系擴(kuò)充”的學(xué)習(xí)過程，梳理了數(shù)系擴(kuò)充“規(guī)則”，運(yùn)用了分類討論、類比推理等數(shù)學(xué)思想方法，發(fā)展了理性思維。

復(fù)數(shù)的發(fā)現(xiàn)是一個(gè)曲折的過程，在數(shù)學(xué)史上，從古希臘丟番圖時(shí)代人們求一元二次方程的解時(shí)發(fā)現(xiàn)復(fù)數(shù)問題開始，到意大利數(shù)學(xué)家卡爾丹在1545年出版的《重要的藝術(shù)》中，在求解一元三次方程過程中無法回避虛數(shù)問題，再到18世紀(jì)末韋塞爾給出復(fù)數(shù)的幾何表示，人們才開始接受復(fù)數(shù)。1843年，英國(guó)數(shù)學(xué)家哈密頓在復(fù)數(shù)基礎(chǔ)上構(gòu)造了四元數(shù)，從而導(dǎo)致了物理學(xué)中著名的麥克斯韋方程的建立。復(fù)數(shù)看似虛無縹緲，但在現(xiàn)實(shí)生活中發(fā)揮著巨大作用，復(fù)數(shù)在系統(tǒng)分析、信號(hào)分析、量子力學(xué)、流體力學(xué)中都有十分重要的作用。

【作業(yè)布置】

（1）求解方程（x-3）（x+4）（3x-4）（x2-8）（x2+9）=0在不同數(shù)系中解的情況

（2）當(dāng)實(shí)數(shù)m取什么值時(shí)，復(fù)數(shù)（m2-5m+6）+（m2-3m）i是下列數(shù)？

（i）實(shí)數(shù)（ii）虛數(shù)（iii）純虛數(shù)

（3）求適合下列方程的實(shí)數(shù)x與y的值：（i）（3x+2y）+（5x-y）i=17-2i

（ii）（x+y-3）+（x-4）i=0

四、總結(jié)

（一）體現(xiàn)數(shù)系擴(kuò)充規(guī)則，滲透類比思想

從自然數(shù)到實(shí)數(shù)的每一次擴(kuò)充都源于實(shí)際問題的需要。與以往不同，現(xiàn)實(shí)生活中并沒有虛數(shù)的真實(shí)模型，“數(shù)”的新沖突產(chǎn)生后，從解方程的需求出發(fā)至為重要，期間滲透類比思想，引導(dǎo)學(xué)生拋開原有認(rèn)知觀念的束縛，創(chuàng)新性地引入新數(shù)。在基礎(chǔ)教育階段讓學(xué)生體會(huì)數(shù)系擴(kuò)充的規(guī)則，學(xué)習(xí)到蘊(yùn)含其中的數(shù)學(xué)思想方法，能提高學(xué)生從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的能力，學(xué)生的邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)抽象等素養(yǎng)得以提升，創(chuàng)新意識(shí)和理性思維得到發(fā)展。

（二）恰到好處把握數(shù)學(xué)史的引入

對(duì)于數(shù)學(xué)文化的體現(xiàn)，充分認(rèn)識(shí)到介紹數(shù)學(xué)史并不是本節(jié)課的重點(diǎn)，同時(shí)對(duì)于數(shù)學(xué)史的引入也不能完全照搬，要有選擇性地引入符合學(xué)生認(rèn)知發(fā)展和知識(shí)水平的具有代表性的數(shù)學(xué)問題，這樣才能調(diào)動(dòng)學(xué)生積極參與到課堂之中，否則對(duì)于數(shù)學(xué)史的介紹就會(huì)成為講故事，無法體現(xiàn)數(shù)學(xué)文化的育人價(jià)值。在單元課時(shí)要求下，“復(fù)數(shù)的概念”教學(xué)從“數(shù)”的單元主題來建構(gòu)復(fù)數(shù)概念的教學(xué)設(shè)計(jì)，凸顯“數(shù)系擴(kuò)充”發(fā)展脈絡(luò)，從數(shù)學(xué)史中看數(shù)系擴(kuò)充的規(guī)則，讓學(xué)習(xí)者從中體會(huì)理性思維、創(chuàng)新思維和數(shù)學(xué)文化。

本設(shè)計(jì)中，引入卡爾丹和邦貝利兩位數(shù)學(xué)家的經(jīng)歷，意義在于重現(xiàn)歷史經(jīng)典問題，產(chǎn)生思想碰撞，引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，激發(fā)學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，進(jìn)一步打破原有認(rèn)知觀念，培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)，為引入復(fù)數(shù)做好自然而然的鋪墊。在引入邦貝利的故事時(shí)考慮到在本節(jié)課中對(duì)于一元三次方程求根公式不適宜做深入介紹，所以采用微課程的方式簡(jiǎn)要介紹公式推導(dǎo)思想，重點(diǎn)突出一元三次方程求根公式本身，符合學(xué)生的認(rèn)知水平。當(dāng)學(xué)生體會(huì)到數(shù)系擴(kuò)充的必要性，理解了復(fù)數(shù)的概念之后，在課程的結(jié)尾簡(jiǎn)要介紹復(fù)數(shù)的發(fā)展歷程和應(yīng)用，使學(xué)生形成對(duì)復(fù)數(shù)較為全面的認(rèn)識(shí)，體會(huì)復(fù)數(shù)存在的意義。

（三）信息技術(shù)與課堂教學(xué)相融合

隨著信息技術(shù)的發(fā)展，繁瑣的運(yùn)算已能借助技術(shù)完成，數(shù)學(xué)素養(yǎng)也由強(qiáng)調(diào)快速準(zhǔn)確的運(yùn)算轉(zhuǎn)向更注重恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用信息技術(shù)建立模型、解決問題。把一些抽象的數(shù)學(xué)思維過程轉(zhuǎn)變?yōu)橹庇^可見的數(shù)量、空間變化過程，引導(dǎo)學(xué)生在信息技術(shù)手段下更好地理解數(shù)學(xué)本質(zhì)[4]。一方面是運(yùn)用geogebra進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)探索。geogebra軟件是當(dāng)今數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中應(yīng)用較為廣泛的一款適用于數(shù)學(xué)教學(xué)與學(xué)習(xí)的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件，能夠最大程度滿足教師對(duì)于優(yōu)化課堂教學(xué)的需求，其形象化、多樣化、直觀化的特點(diǎn)能夠更好地揭示數(shù)學(xué)概念的形成和發(fā)展過程，有助于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的發(fā)展。本設(shè)計(jì)中，合理運(yùn)用geogebra軟件，有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，同時(shí)體現(xiàn)了其方便、簡(jiǎn)潔的特點(diǎn)。

另一方面是微課程的嵌入。本設(shè)計(jì)中采用微課程的方式將一元三次方程求根公式以及邦貝利利用該公式求解一元三次方程的數(shù)學(xué)史進(jìn)行展示，主題突出、指向明確，這種真實(shí)的、具體的、典型案例化的教與學(xué)情景符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。微課程的嵌入以及PPT展示復(fù)數(shù)的發(fā)展歷程和應(yīng)用，在驗(yàn)證復(fù)數(shù)的存在性的基礎(chǔ)上進(jìn)一步使學(xué)生體會(huì)復(fù)數(shù)存在的意義，充分借助信息技術(shù)的多樣化向?qū)W生展示復(fù)數(shù)發(fā)展過程中數(shù)學(xué)家的想象力、創(chuàng)造力，以及不屈不撓、精益求精的精神，滲透數(shù)系擴(kuò)充過程中蘊(yùn)含的理性思維。

（四）作業(yè)布置具有層次性

作業(yè)的布置與課堂教學(xué)邏輯順序保持高度一致，作業(yè)（1）使學(xué)生再次體會(huì)數(shù)系擴(kuò)充的必要性，在復(fù)數(shù)集中求解方程，熟悉復(fù)數(shù)的表示；作業(yè)（2）是對(duì)復(fù)數(shù)的分類進(jìn)行練習(xí)；作業(yè)（3）強(qiáng)調(diào)復(fù)數(shù)相等的充要條件，學(xué)生在解題過程中進(jìn)一步體會(huì)復(fù)數(shù)的本質(zhì)是一對(duì)有序?qū)崝?shù)的事實(shí)，為下節(jié)課學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)的兩種幾何意義打下基礎(chǔ)。