陳 飛

(商丘職業(yè)技術(shù)學(xué)院，河南 商丘 476100)

微積分學(xué)習(xí)中,廣義積分的概念比較抽象,與定積分的求法差異較大，是微積分學(xué)習(xí)的一個(gè)難點(diǎn).無窮限廣義積分計(jì)算的方法多種多樣,合理的運(yùn)用計(jì)算方法可以降低求解問題的難度.本文就無窮限廣義積分常用的求解方法進(jìn)行分析探討,并結(jié)合具體例題進(jìn)行講解.

1 無窮限廣義積分的概念

2 幾種計(jì)算方法的解析

2.1 運(yùn)用定義進(jìn)行求解

無窮限廣義積分的求解可以借助其定義,按照求定積分的方法求出原函數(shù),然后取極限,進(jìn)而判斷其斂散性及求值.

為了書寫簡(jiǎn)便,廣義積分的計(jì)算過程可仿照牛頓—萊布尼茲公式簡(jiǎn)記為

其中F(x)是f(x)的一個(gè)原函數(shù).

按照這種簡(jiǎn)便書寫格式，例1的計(jì)算過程可寫為

2.2 運(yùn)用等量代換進(jìn)行求解

在運(yùn)用定義法求廣義積分時(shí),有時(shí)被積函數(shù)不容易求得,這時(shí),可以借助等量代換的方法.在等量代換時(shí),要注意被積函數(shù)和積分上下限的變換.

2.3 運(yùn)用二重積分進(jìn)行求解

對(duì)于一些類型的廣義積分,可以通過變換，把廣義積分巧妙地化為一個(gè)二重積分.然后,計(jì)算二重積分,從而間接地計(jì)算出廣義積分的值[2]19-22.

再轉(zhuǎn)化為二重積分的極坐標(biāo)進(jìn)行計(jì)算

2.4 積分號(hào)下求導(dǎo)法計(jì)算無窮限廣義積分

這種方法是對(duì)被積函數(shù)引入一個(gè)收斂因子,因子中有一個(gè)參數(shù),對(duì)參數(shù)求導(dǎo),有時(shí)可求得原積分的值.在此情況下引入的收斂因子加強(qiáng)了原積分的收斂性.這樣使積分號(hào)下求導(dǎo)條件得以滿足.一般采用e-kx(k>0)作為收斂因子[3]84-86.

2.5 積分號(hào)下求積分法計(jì)算無窮限廣義積分

這種方法是將被積函數(shù)中某一因子表示為一個(gè)適當(dāng)?shù)姆e分.于是將原積分化成二次積分，交換這兩個(gè)積分的順序,就可求出所給的積分.

所以I=Ce-β，為了確定C,令β=0.

2.6 運(yùn)用Laplace變換進(jìn)行求解

由Laplace變換的定義及積分性質(zhì)可得

2.7 運(yùn)用級(jí)數(shù)展開法進(jìn)行求解

對(duì)于一些類型的廣義積分,可以通過將被積函數(shù)展成級(jí)數(shù),或者將無窮區(qū)間上的廣義積分表示成級(jí)數(shù)的形式進(jìn)行求解[5]67-69.

2.8 運(yùn)用概率密度函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行求解

設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X,服從參數(shù)μ,σ2(σ>0)的正態(tài)分布[5]67-69.

其概率密度函數(shù)為

2.9 運(yùn)用留數(shù)計(jì)算進(jìn)行求解

由于被積函數(shù)為偶函數(shù),故

3 結(jié)語

無窮限廣義積分是積分知識(shí)的一個(gè)難點(diǎn).針對(duì)不同形式的無窮限廣義積分,在求解過程中,我們可以借助相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí),采用多種方法進(jìn)行求解.本文介紹了幾種常用的求解方法,對(duì)解決相同類型的無窮限廣義積分具有現(xiàn)實(shí)意義.