劉生貴

[摘 要]數(shù)學(xué)概念是建構(gòu)數(shù)學(xué)理論大廈的基石，是學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思維的核心和基礎(chǔ)。學(xué)生在解決計(jì)算、證明、作圖等具體數(shù)學(xué)問題中無時(shí)無刻不用到數(shù)學(xué)概念。在課堂教學(xué)中，以“變易理論”為教學(xué)設(shè)計(jì)的理論指導(dǎo)，對(duì)于那些對(duì)學(xué)生難于理解的大學(xué)數(shù)學(xué)概念，運(yùn)用變易圖式設(shè)計(jì)教學(xué)，可以有效達(dá)到對(duì)數(shù)學(xué)概念關(guān)鍵屬性的辨析，幫助學(xué)生掌握學(xué)習(xí)內(nèi)容，提高教學(xué)質(zhì)量。

[關(guān)鍵詞]變易理論;概念教學(xué);大學(xué)數(shù)學(xué)

[中圖分類號(hào)] G642 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 2095-3437（2020）12-0108-03

一、變易理論簡(jiǎn)介

變易理論理論的研究始于是世界著名教學(xué)專家、瑞典哥德堡大學(xué)的馬飛龍（Ference Marton）教授所提出的現(xiàn)象圖式學(xué)[1]?，F(xiàn)象圖式學(xué)認(rèn)為，學(xué)習(xí)一定有其內(nèi)容， 而每一個(gè)體對(duì)學(xué)習(xí)內(nèi)容的認(rèn)識(shí)都有其個(gè)別的獨(dú)特視野。在這些視野中，有一些能夠體現(xiàn)事物本質(zhì)的關(guān)鍵屬性，高明的看法能夠辯識(shí)這些關(guān)鍵特征：而所謂學(xué)習(xí)困難就是學(xué)習(xí)者難以辨識(shí)這些關(guān)鍵特征[2]。

變易理論認(rèn)為我們不能在不變狀態(tài)中去感知事物的存在價(jià)值和性質(zhì)。沒有某方面的變動(dòng)，事物特性只會(huì)是潛在隱藏，這對(duì)于認(rèn)識(shí)事物的存在意義并沒有幫助[3]。近些年，變易理論得到廣泛的傳播和研究，在全球享有很高的聲譽(yù)。目前，已有眾多教育工作者將變易理論作為設(shè)計(jì)教學(xué)的指導(dǎo)工具，進(jìn)行教學(xué)的研究和改革，取得了豐碩的成果。但這些研究大多是針對(duì)中小學(xué)的教學(xué)，目前對(duì)于大學(xué)的教學(xué)方面的研究甚少[4-7]。筆者在實(shí)際教學(xué)中研究發(fā)現(xiàn)，變易理論同樣可以應(yīng)用于大學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)設(shè)計(jì)，并取得很好的教學(xué)效果。

數(shù)學(xué)概念是建構(gòu)數(shù)學(xué)理論大廈的基石，是學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思維的核心和基礎(chǔ)。學(xué)生在處理計(jì)算、證明、作圖等具體數(shù)學(xué)問題中無時(shí)無刻不用到數(shù)學(xué)概念。學(xué)習(xí)概念性知識(shí)有助于發(fā)展更高層次的數(shù)學(xué)思維以解決數(shù)學(xué)問題。數(shù)學(xué)概念是比較抽象的，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的思考過程大多是把抽象的概念與生活經(jīng)驗(yàn)相聯(lián)系，用他們的生活經(jīng)驗(yàn)去解讀抽象的數(shù)學(xué)概念。為讓學(xué)生獲得清晰的數(shù)學(xué)概念，教學(xué)時(shí)應(yīng)把抽象的數(shù)學(xué)概念具體化呈現(xiàn)，讓學(xué)生經(jīng)驗(yàn)變易圖式及反思學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念。所以說，數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)是基于變易的。

在大學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，很多老師都會(huì)覺得，只要把問題講得很詳細(xì)、很清楚，學(xué)生便會(huì)得到跟老師一樣的理解。然而事實(shí)上的結(jié)果常常與假設(shè)相差甚遠(yuǎn)，這讓老師們感到非常困惑。老師們常常會(huì)把這些歸因于學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)或數(shù)學(xué)基礎(chǔ)、天賦能力。

下面是筆者在給工科學(xué)生上高數(shù)的不定積分的概念時(shí)，遇到的一個(gè)小插曲。

定義：定義在區(qū)間I上，[f（x）]的帶有任意常數(shù)項(xiàng)的原函數(shù)，稱為[f（x）]在區(qū)間I上的不定積分，記作[ f（x）dx]。即，如果[F（x）]為I的一個(gè)原函數(shù)，則

其中記號(hào)[ ]稱為積分號(hào)，[f（x）]稱為被積函數(shù)， [f（x）dx]稱為被積表達(dá)式，[x]稱為積分變量。

筆者還是按常規(guī)的方法進(jìn)行這個(gè)概念的教學(xué)，但在講完后續(xù)課程分部積分后的一次學(xué)生交流，讓我意識(shí)到了教學(xué)中的問題。學(xué)生問我：“老師，我按下面這樣做，結(jié)果對(duì)不對(duì)？”

最初一看到這個(gè)問題我感覺很不可思議，但我還是耐下性子問學(xué)生為什么會(huì)這樣想呢？學(xué)生回答說：“因?yàn)閇（tanx）=sec2x。]”我的天，學(xué)生竟然是這樣想的！

“變易理論”認(rèn)為，老師之所以難于明白學(xué)生學(xué)習(xí)的真正困難所在，不了解學(xué)生如何思考的和如何學(xué)習(xí)的，主要原因在于忽略了教學(xué)內(nèi)容的某些關(guān)鍵特征，而這些經(jīng)常“視而不見”關(guān)鍵特征卻是教師習(xí)以為常以至于不會(huì)特別去處理的東西，這些處于老師盲點(diǎn)的關(guān)鍵特征恰恰便是造成學(xué)生學(xué)習(xí)困難的主要原因[8]。

二、基于變易理論指導(dǎo)下大學(xué)數(shù)學(xué)概念的教學(xué)設(shè)計(jì)

變易理論認(rèn)為，要認(rèn)識(shí)某個(gè)事物，就必須注意到這個(gè)事物與其他事物之間的不同之處。為了注意這個(gè)事物與其他事物在某個(gè)屬性上的不同，這個(gè)屬性就必須在某個(gè)維度上發(fā)生變化。在所有其他屬性都保持不變的情況下，這個(gè)差異才可以被識(shí)別出來[3]。將這一理論應(yīng)用于課堂教學(xué)實(shí)踐，通過設(shè)計(jì)適合學(xué)生學(xué)習(xí)的變易圖式進(jìn)行教學(xué)，幫助學(xué)習(xí)掌握學(xué)習(xí)內(nèi)容的關(guān)鍵特征，對(duì)于提升學(xué)生學(xué)習(xí)素質(zhì)，尊重學(xué)習(xí)過程中的個(gè)體差異具有非常重要的意義。

變易理論應(yīng)用于課堂教學(xué)，主要體現(xiàn)為對(duì)學(xué)科教學(xué)內(nèi)容的處理，而不是教學(xué)活動(dòng)形式的選擇與組織[9]。在運(yùn)用變異理論設(shè)計(jì)教學(xué)過程中，教師首先必須清楚學(xué)生應(yīng)區(qū)分哪些關(guān)鍵屬性，能辨出是哪些特征有可能導(dǎo)致學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中出現(xiàn)困難。但很多時(shí)候，教師跟學(xué)生一樣，還未能對(duì)教材有足夠的認(rèn)識(shí)，也未能區(qū)分出這些關(guān)鍵特征，或者某些關(guān)鍵屬性對(duì)于教師來說并不困難，或由于太習(xí)以為常而把它忽略。只有診斷學(xué)習(xí)困難并確認(rèn)學(xué)習(xí)內(nèi)容的關(guān)鍵屬性，才能為教學(xué)設(shè)計(jì)提供有效的依據(jù)。常見的方法是對(duì)學(xué)生進(jìn)行訪談，以了解學(xué)生的想法，或設(shè)計(jì)一個(gè)前測(cè)問卷調(diào)查，借以診斷該群學(xué)生的學(xué)習(xí)難點(diǎn)[10]。只有對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)困難所在以及教學(xué)內(nèi)容的關(guān)鍵屬性有深入的了解，運(yùn)用變易圖式進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)才具有針對(duì)性。

運(yùn)用變易理論設(shè)計(jì)教學(xué)的一般過程如右圖。下面分別以函數(shù)的連續(xù)性和不定積分的概念為例，簡(jiǎn)要介紹一下變易理論在數(shù)學(xué)概念教學(xué)設(shè)計(jì)上的應(yīng)用。

（一）連續(xù)函數(shù)概念的變易教學(xué)設(shè)計(jì)

函數(shù)是高等數(shù)學(xué)的主要研究對(duì)象，而極限作為其主要的研究方法，連續(xù)性則作為研究函數(shù)的橋梁，由此可見連續(xù)性概念對(duì)高數(shù)學(xué)習(xí)的重要性。很多時(shí)候，老師雖然自認(rèn)為把這個(gè)概念講得非常清楚了，但從課后訪談和作業(yè)情況來看，仍有很多這個(gè)學(xué)生對(duì)理解并不透徹，掌握不好。

定義 設(shè)函數(shù)[y=f（x）]在點(diǎn)[x0]的某個(gè)領(lǐng)域有定義，如果函數(shù)[f（x）]當(dāng)[x→x0]的極限存在，且

則稱函數(shù)[y=f（x）]在點(diǎn)[x0]處連續(xù)。

在進(jìn)行研究前期，為了更好地了解學(xué)生狀況，筆者所帶的課題組對(duì)該問題進(jìn)行了前測(cè)與訪談。測(cè)試對(duì)象主要是已學(xué)過該內(nèi)容的大一與大二學(xué)生，其中既有數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生，也包含非數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生。前測(cè)問卷如下：

A. 完全理解這個(gè)概念，能結(jié)合實(shí)際判斷函數(shù)的連續(xù)性;

B. 有些理解，但不透徹，對(duì)一些復(fù)雜些的函數(shù)難于判斷函數(shù)的連續(xù)性;

C. 似懂非懂，不大明白函數(shù)連續(xù)應(yīng)具備的三個(gè)條件;

D. 完全不理解這個(gè)概念。

課題組共收回有效問卷123份（人次），其中數(shù)學(xué)專業(yè)99份（人次），非數(shù)學(xué)專業(yè)24份（人次）;這123人中有大一的學(xué)生55人，有大二的學(xué)生68人。收回的問卷情況如下。

由上表可知，雖然學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過函數(shù)連續(xù)的概念，但僅有13.8%的對(duì)這個(gè)概念有比較透徹的理解，而似懂非懂或理解比較模糊占比超過了百分之八十，這個(gè)結(jié)果大大出乎老師的意外。

通過對(duì)教學(xué)內(nèi)容的分析與討論，結(jié)合與學(xué)生訪談情況，研究小組確定連續(xù)函數(shù)的關(guān)鍵特征如下。

關(guān)鍵特征1：函數(shù)在點(diǎn)[x0]的某個(gè)領(lǐng)域有定義。

關(guān)鍵特征2：函數(shù)[f（x）]當(dāng)[x→x0]的極限存在。

關(guān)鍵特征3：函數(shù)[f（x）]的極限[limx→x0f（x）]必須等于[f（x0）]。

為讓學(xué)生更好地突出和辨析這些關(guān)鍵特征，依次設(shè)計(jì)如下變易圖式。

變易圖式1：

變式例題1 考察下列函數(shù)在[x=0]處的連續(xù)性。

變易圖式2：

變式例題2 考察下列函數(shù)在[x=0]處的連續(xù)性。

變易圖式3：

[變 不變 審辨的關(guān)鍵屬性 函數(shù)在某點(diǎn)的值 函數(shù)的部分表達(dá)式 函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)，在該點(diǎn)的極限必須與該點(diǎn)的函數(shù)值相等. ]

在用變易圖式對(duì)兩個(gè)實(shí)驗(yàn)班完成教學(xué)后，對(duì)該部分學(xué)生進(jìn)行了后測(cè)，問卷如前。課題組共收回有效問卷98份（人次），結(jié)果如下。

由后測(cè)結(jié)果可以看到，選擇A（理解這個(gè)概念，能結(jié)合實(shí)際判斷函數(shù)的連續(xù)性）的人數(shù)所占百分比大幅提升至79.7%; 而問卷回答選B、C、D，即不能很好理解這個(gè)概念的人數(shù)所占百分比大幅下降至21.3%?？梢?，運(yùn)用變式（變易）教學(xué)效果顯著。

（二）不定積分概念變易的教學(xué)設(shè)計(jì)

[被積函數(shù)][積分變量]

這是個(gè)非常重要也非常基礎(chǔ)的概念，如果這個(gè)概念理解不透徹，不僅會(huì)導(dǎo)致后繼的換元積分法和分部積分法產(chǎn)生學(xué)習(xí)困難，還將影響整個(gè)大學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)。這個(gè)概念表面看起來并不難懂，多數(shù)老師在講這個(gè)概念時(shí)都會(huì)熟視無睹輕易帶過，認(rèn)為學(xué)生也能很容易弄懂，但事實(shí)上并非如此。學(xué)生在學(xué)習(xí)積分法時(shí)感覺很難，很大原因就是對(duì)不定積分概念的理解并不透徹，關(guān)鍵屬性被忽略，前面筆者所介紹的教學(xué)交流小插曲正印證了這一點(diǎn)。

據(jù)與學(xué)生訪談與分析，研究小組認(rèn)為不定積分的關(guān)鍵屬性有下面兩個(gè)：

關(guān)鍵屬性1：積分函數(shù)。

關(guān)鍵特征2：積分變量。

在設(shè)計(jì)教學(xué)時(shí)，為讓學(xué)生更好辨析關(guān)鍵屬性，依次作如下變易圖式。

變易圖式1：

變式例題4 求下列函數(shù)的不定積分。

為了幫助學(xué)生克服忽視積分變量，更好地辨析關(guān)鍵屬性2，為后面換元積分掃清障礙，設(shè)計(jì)了如下變易圖式2：

變式例題5 求下列函數(shù)的不定積分。

由例5，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)，被積函數(shù)一樣，當(dāng)積分變?cè)兓瘯r(shí)，求得的原函數(shù)是不一樣的，學(xué)生對(duì)不定積分的定義會(huì)有新的認(rèn)識(shí)，為后繼課程的學(xué)習(xí)打下良好的基礎(chǔ)。

三、結(jié)語

學(xué)習(xí)離不開對(duì)事物差異的感知。沒有事物屬性的差異變化，則學(xué)習(xí)者很難獲得對(duì)事物屬性真正全面且深刻的理解。變化事物不同的屬性組合，可以有意突出事物中處于學(xué)習(xí)者“盲點(diǎn)”的某些屬性，并與其他屬性區(qū)分開，引導(dǎo)學(xué)習(xí)者關(guān)注同一事物的各方面的特點(diǎn)，從而學(xué)會(huì)從不同的角度來認(rèn)識(shí)同一事物。

有別于其他教學(xué)理論，變易理論應(yīng)用于課堂教學(xué)，主要體現(xiàn)為針對(duì)學(xué)科教學(xué)內(nèi)容的加工，而不是教學(xué)方法的選擇或教學(xué)的組織。以“變易理論”為理論指導(dǎo)，在教學(xué)中通過設(shè)計(jì)變易圖式來幫助學(xué)生克服困難掌握學(xué)習(xí)內(nèi)容，可以有效改善我們的教與學(xué)。盧敏玲教授和孫旭花教授在實(shí)證研究中發(fā)現(xiàn)，運(yùn)用變易理論指導(dǎo)教學(xué)可以簡(jiǎn)單概括為：找出教與學(xué)之間的關(guān)系，抓重點(diǎn)，找難點(diǎn)，用變易圖式突顯學(xué)習(xí)內(nèi)容的關(guān)鍵特征，是行之有效的教學(xué)手段[11]。

[ 參 考 文 獻(xiàn) ]

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[責(zé)任編輯：林志恒]