葉旭山

摘要：數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)是邏輯和直覺、分析和結(jié)構(gòu)、共性和個性。初中數(shù)學(xué)有4個典型特點：從“數(shù)”到“式”，從“算術(shù)數(shù)”到“有理數(shù)”，從“算術(shù)解法”到“代數(shù)解法”，從“實驗幾何”到“論證幾何”。初中數(shù)學(xué)教學(xué)，要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會同構(gòu)、學(xué)會轉(zhuǎn)化、學(xué)會類比，養(yǎng)成多想、多做、多問、多總結(jié)、多復(fù)習(xí)等良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí) 學(xué)習(xí)習(xí)慣

一、 理解數(shù)學(xué)——什么是初中數(shù)學(xué)

（一） 數(shù)學(xué)是什么

數(shù)學(xué)到底是什么？這個問題的答案，版本眾多。大家普遍認(rèn)為，數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)。它從量的側(cè)面去探索和研究客觀世界的普遍規(guī)律，通過對物體的空間形式和數(shù)量關(guān)系的研究，不僅極大地推動了生產(chǎn)實際和科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，同時還給予人們?nèi)绾伟l(fā)現(xiàn)并提出問題、分析和解決問題以及總結(jié)與深化問題的思維方法。

下面兩個故事，有助于更好地理解數(shù)學(xué)的特點。

第一個故事“兩只羊的描述”：

草地上有兩只羊，藝術(shù)家、生物學(xué)家、物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家卻有不同的感受與理解，下面是他們的描述：

藝術(shù)家：藍(lán)天、碧水、綠草、白羊，美哉自然。

生物學(xué)家：雄雌一對，生生不息。

物理學(xué)家：大羊靜臥，小羊漫步。

數(shù)學(xué)家：1+1=2。

從不同職業(yè)的人對兩只羊的描述，我們能感受到藝術(shù)家對自然美的關(guān)注，生物學(xué)家對生命的關(guān)注，物理學(xué)家對運動與靜止的關(guān)注，而數(shù)學(xué)家從色彩、性別、狀態(tài)中抽象出數(shù)量關(guān)系“1+1=2”，這是數(shù)學(xué)高度抽象性的體現(xiàn)。

學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要經(jīng)歷“具體—表象—抽象”的過程，因此，要在直觀物體和抽象概念之間建構(gòu)橋梁，引導(dǎo)學(xué)生把握事物最主要、最本質(zhì)的數(shù)學(xué)屬性。抽象要有經(jīng)歷的過程，而不是直接告訴抽象的結(jié)果。數(shù)學(xué)抽象本身又是一個不斷提高的過程，這一過程永無止境。

第二個故事“小行星的發(fā)現(xiàn)”：

這是一個用數(shù)學(xué)解決天文學(xué)的實例。1781年以前，人們只知道太陽系有六大行星，水星、金星、地球、火星、木星和土星。設(shè)地球與太陽的平均距離（以天文距離為單位）是10，那么，各行星與太陽的距離分別是水星3.9，金星7.2，火星15.2，木星52，土星95.4。1766年，提丟斯對各個行星與太陽的距離進行了數(shù)學(xué)化的分析，發(fā)現(xiàn)水星的3.9≈4+0，金星的7.2≈4+3，地球的10=4+6，火星的15.2≈4+12，木星的52≈4+48，土星的95.4≈100=4+96。這種近似對于天文距離而言是常見的，由此歸納出一個經(jīng)驗公式：各行星與太陽的距離分別是4依次與數(shù)列0，3，6，12，24，…（此數(shù)列自第二項起，后一項都是前一項的2倍）各項的和。進而，推測與太陽的距離約為28（=4+24）的位置可能會有行星的存在，與太陽的距離約為196（=4+192）的位置也可能會有行星的存在。

1781年3月13日，赫歇爾發(fā)現(xiàn)天王星，在與太陽的距離為196的位置。這再次激發(fā)大家尋找其他位置可能存在行星的興趣和信心。

1801年1月1日晚，皮亞齊在意大利西西里島的巴勒莫天文臺，為了核對星圖，觀察金牛座一帶的星體時，發(fā)現(xiàn)一顆8等星與星圖不合。第二夜再觀察時，發(fā)現(xiàn)它已向西移動。皮亞齊連續(xù)觀測了40天，一直到2月11日。皮亞齊因為勞累過度而病倒，但他將觀測的結(jié)果寫信告訴了歐洲大陸的天文學(xué)家。因為當(dāng)時正值拿破侖遠(yuǎn)征埃及，英國艦隊封鎖了地中海，所以直到1801年9月，歐洲大陸的天文學(xué)家才知道這件事。這個結(jié)果引起了轟動。但那時這顆星已被陽光所掩，無法尋得蹤跡，似乎它已在無數(shù)群星之中永遠(yuǎn)消逝了。

時年24歲的高斯經(jīng)過幾個星期的不懈努力，克服了重重困難，終于創(chuàng)立了“行星橢圓軌道法”，成功地解決了這一問題。這一年的年底，天氣晴朗，天文學(xué)家在預(yù)測的位置上，重新找到了這顆星（后定名為“谷神星”）。這顯示了數(shù)學(xué)理論的巨大威力，充分展現(xiàn)了高斯非凡的才能。谷神星與太陽的距離為27.7，與28基本相符。但新的問題又產(chǎn)生了：谷神星的直徑僅有770公里，是火星直徑的6%，是木星直徑的0.55%;位置處在火星與木星之間，它的大小極不相稱。于是，天文學(xué)家在這個空間帶里繼續(xù)尋找并發(fā)現(xiàn)了許多小星體，后來這些小星體統(tǒng)稱為小行星，形成一個小行星帶。

這個故事告訴我們：數(shù)學(xué)，作為人類智慧的一種表達(dá)形式，反映了生動活潑的意念、深入細(xì)致的思考以及完美和諧的愿望。它的基礎(chǔ)是邏輯和直覺、分析和結(jié)構(gòu)、共性和個性。

（二） 初中數(shù)學(xué)是什么

初中數(shù)學(xué)有4個典型特點，簡稱“4條線”。

1. 從“數(shù)”到“式”，即“數(shù)的運算→用字母表示數(shù)→式的運算”。這是“字母線”。

下面來完成一個小游戲：測出心中的偶像，感受一下字母的魅力。游戲規(guī)則：從1—9中選一個你喜歡的數(shù)字，乘3加3，再把得到的數(shù)乘3，然后

把個位與十位的數(shù)字相加，在心里記住所得到的結(jié)果;稍后查看表1中對應(yīng)數(shù)字代表的人物，就知道內(nèi)心崇拜的偶像了。根據(jù)活動的需要，我將數(shù)字9對應(yīng)的人物設(shè)置為我本人，是為了增加神奇感和趣味性。教師可以根據(jù)具體活動的需要調(diào)整數(shù)字9對應(yīng)的人物，以達(dá)到相應(yīng)的目標(biāo)。

這個游戲的最后結(jié)果都是一致的（數(shù)字9），也就是說，崇拜的偶像都是同一個人。很神奇吧！解決這個問題，主要有兩種思路：

思路一：把1—9這9個數(shù)字全部算了一遍，發(fā)現(xiàn)結(jié)果都是9（如表2）。

思路二：把心里想的那個數(shù)字設(shè)為a，那么依據(jù)規(guī)則，將這個數(shù)字乘3加3，再把得到的數(shù)乘3，就是3（3a+3）=9a+9=10a+（9-a），因此，十位上的數(shù)字是a，個位上的數(shù)字是9-a;再依據(jù)規(guī)則把個位與十位的數(shù)字相加，也就是a+（9-a）=9，所以結(jié)果都是9。

這個游戲的目的，是為了切實感受“用字母表示數(shù)”的必要性和優(yōu)越性。思路一運用完全歸納法，說理很嚴(yán)密，但需要計算9次，比較麻煩;思路二在本質(zhì)上屬于嚴(yán)格代數(shù)推理范疇，要求學(xué)生先自覺運用“符號表示”，然后依據(jù)規(guī)則“操作符號”來揭示這個游戲背后的數(shù)學(xué)本質(zhì)。通過這個游戲活動，可以幫助學(xué)生認(rèn)識到“用字母表示數(shù)”的優(yōu)越性，初步形成運用符號表達(dá)的意識，進而發(fā)展有序思考的習(xí)慣，積累數(shù)學(xué)思考的基本經(jīng)驗。

從上述過程可以看出，和小學(xué)數(shù)學(xué)相比，初中數(shù)學(xué)最大的特點是抽象程度的提高，簡單地說，就是從“算術(shù)”跨越到“代數(shù)”。小學(xué)數(shù)學(xué)中主要出現(xiàn)的是具體的數(shù)，而到了初一接觸到的是“用字母表示數(shù)”，是數(shù)的概念的發(fā)展，建立了代數(shù)概念，研究的是有理式的運算。這種由“數(shù)”到“式”的過渡，是由特殊的、具體的、確定的數(shù)，到一般的、抽象的、不確定的字母和代數(shù)式。這是數(shù)學(xué)思想上的一個飛躍，是形象思維向抽象思維的轉(zhuǎn)變。我們要努力幫助學(xué)生過好“抽象關(guān)”。

2. 從“算術(shù)數(shù)”到“有理數(shù)”，即“非負(fù)有理數(shù)→初步認(rèn)識負(fù)數(shù)→有理數(shù)→實數(shù)”。這是“數(shù)系線”。

小學(xué)數(shù)學(xué)中出現(xiàn)的數(shù)一般屬于非負(fù)有理數(shù)，一般稱之為“算術(shù)數(shù)”。進入中學(xué)后，首先接觸到的就是負(fù)數(shù)，把數(shù)的范圍擴大到了有理數(shù)。負(fù)數(shù)似乎不難，卻攪亂了學(xué)生原有的數(shù)的觀念。這實際上是一種質(zhì)的飛躍。很多學(xué)生有些不適應(yīng)。比如，0是“算術(shù)數(shù)”中最小的數(shù)，但在有理數(shù)中卻沒有最小的數(shù);在非負(fù)有理數(shù)中，被減數(shù)必須大于減數(shù)，但在有理數(shù)中，減法總是可以實施的。由于數(shù)的擴充，引入了負(fù)數(shù)、有理數(shù)、絕對值、相反數(shù)等新的概念，使小學(xué)階段數(shù)學(xué)概念的外延和內(nèi)涵都發(fā)生了變化。這些變化會使剛進入初一的學(xué)生有些不適應(yīng)。運算是學(xué)好數(shù)學(xué)的基本功。初中階段是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運算能力的黃金時期。初中運算涉及的核心板塊，包括有理數(shù)的運算、整式的運算、因式分解、分式的運算、根式的運算、解方程與不等式，等等。

提高運算能力，就是要求能準(zhǔn)確、簡捷地進行運算。正確理解概念，掌握運算法則，運用轉(zhuǎn)化的思想方法，能準(zhǔn)確、合理、熟練、靈活地運用運算法則和運算律，是提高運算能力的關(guān)鍵。保證做題的數(shù)量和質(zhì)量是學(xué)好數(shù)學(xué)的必由之路。我們要努力幫助初中階段的學(xué)生過好“計算關(guān)”，保證計算的數(shù)量和質(zhì)量。

如何保證數(shù)量？選準(zhǔn)一本與教材同步的輔導(dǎo)書或練習(xí)冊，做完一節(jié)的全部練習(xí)后，對照答案進行批改;選擇有思考價值的題，與同學(xué)、老師交流，并把心得記在記錄本上;每天保證30分鐘左右的練習(xí)時間。

如何保證質(zhì)量？題不在多，而在于精，要學(xué)會“解剖麻雀”;不僅要落實思維過程，而且要落實解答過程;注重復(fù)習(xí)，“溫故而知新”，把一些比較“經(jīng)典”的題重做幾遍，把做錯的題當(dāng)作一面“鏡子”進行自我反思，也是一種高效率的、針對性較強的學(xué)習(xí)方法。

3. 從“算術(shù)解法”到“代數(shù)解法”，即“算術(shù)解法→簡易方程→列方程解應(yīng)用題”。這是“方程線”。

在小學(xué)，解題主要采用算術(shù)解法，而中學(xué)需用代數(shù)解法（列方程）。算術(shù)解法是將未知量處于完全被動的特殊地位，只允許已知量參加運算，總是“等待”由已知量計算出它的數(shù)值，把已知量與未知量處于對立狀態(tài)，采用的是逆向思維;而代數(shù)解法則承認(rèn)未知量也是數(shù)，把所求的量與已知量放在平等的地位，找出各個量之間的等量關(guān)系，建立方程而求出未知量，采用的是正向思維。當(dāng)然，小學(xué)數(shù)學(xué)也涉及簡易方程，但其數(shù)量之間是用和、差、積、商等數(shù)量關(guān)系來說明的，而一元一次方程在理論上有了同解原理，有關(guān)解方程的一些步驟也提高到了理論上的理解。例如，有這樣一道題：比一個數(shù)的4倍小3的數(shù)是13，求這個數(shù)。算術(shù)解法的特點是逆推求解，列出算式（13+3）÷4;而代數(shù)解法則是順向推導(dǎo)，設(shè)所求數(shù)為x，只要直譯原題，即4x-3=13，便可求解。算術(shù)解法強調(diào)套類型，代數(shù)解法則重視靈活運用知識，培養(yǎng)分析和解決問題的能力，這是思維方法上的一大轉(zhuǎn)折。

又如，經(jīng)典的“雞兔同籠”問題：籠子里有若干只雞和兔，雞和兔共有3個頭、8條腿，共幾只雞、幾只兔？小學(xué)生采用猜測每一種情況并進行檢驗的策略，得到問題的最終答案，即有2只雞、1只兔;而初中生還可以用解二元一次方程組的方法。不同學(xué)段有不同的學(xué)習(xí)策略。要鼓勵學(xué)生體會解決問題的不同方法，學(xué)習(xí)評價不同的策略，并豐富和擴充自己的策略。初中階段需要承認(rèn)未知量也是數(shù)，把未知量與已知量放在平等的地位，找出各個量之間的等量關(guān)系，建立方程而求出未知量。因此，在初中階段，我們要努力幫助學(xué)生過好順向“思維關(guān)”和“計算關(guān)”。

4. 從“實驗幾何”到“論證幾何”，即“直觀感知，操作確認(rèn)→合情推理（說一點理）→推理”。這是“論證線”。

學(xué)生在小學(xué)已經(jīng)學(xué)過幾何的初步知識，對一些常見圖形有了基本了解，比如線、角、三角形、平行四邊形、梯形、圓等，側(cè)重于認(rèn)識圖形。計算長度、面積等，屬于實驗幾何的范疇，主要是讓學(xué)生自己動手量一量、折一折、剪一剪、拼一拼，通過實踐活動增長知識，重計算不重邏輯推理。而中學(xué)幾何是在小學(xué)幾何基礎(chǔ)上的進一步認(rèn)識，對學(xué)生提出了更高的要求——對圖形的屬性進行分析、綜合、抽象、概括、推理證明，不僅要全面掌握各圖形的性質(zhì)與識別方法，掌握幾何的基礎(chǔ)知識和基本技能，進一步培養(yǎng)運算能力，而且要運用演繹的方法證明有關(guān)平面圖形的性質(zhì)，進行嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评碚撟C，發(fā)展邏輯思維能力和空間觀念。這個領(lǐng)域的內(nèi)容，初一學(xué)生普遍感到不適應(yīng)，也是出現(xiàn)分化最嚴(yán)重的學(xué)習(xí)板塊。初一的幾何學(xué)習(xí)，主要包括《走進圖形的世界》《平面圖形的認(rèn)識（一）》《平面圖形的認(rèn)識（二）》《證明》這四章（蘇科版七年級數(shù)學(xué)教材），內(nèi)容已涉及概念、推理論證、作圖等幾何教學(xué)的基本問題。這些內(nèi)容既是幾何入門教學(xué)的重點，又是難點。初中幾何入門難的主要原因：一是學(xué)科內(nèi)容從代數(shù)到幾何發(fā)生了由數(shù)到形、由計算到推理的轉(zhuǎn)變;二是幾何入門概念多。因此，在初中階段，我們要努力幫助學(xué)生過好“推理關(guān)”，熟練掌握文字語言、圖形語言、符號語言之間的轉(zhuǎn)換。

二、 理解學(xué)習(xí)——初中數(shù)學(xué)怎么學(xué)

由于數(shù)學(xué)有其突出的特點，所以數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)也必將表現(xiàn)出一些特殊性。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動本質(zhì)上是數(shù)學(xué)思維活動，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一個“數(shù)學(xué)化”的過程，也是一個邏輯推理的過程，需要嚴(yán)密的邏輯推理能力。

有這樣一個故事：

三位科學(xué)家由倫敦去蘇格蘭參加會議，越過邊境不久，發(fā)現(xiàn)了一只黑羊。

“啊！”天文學(xué)家說，“原來蘇格蘭的羊是黑色的。”

“得了吧，僅憑一次觀察你可不能這么說?！蔽锢韺W(xué)家道，“你只能說那只黑色的羊是在蘇格蘭邊境發(fā)現(xiàn)的?！?/p>

“也不對?！睌?shù)學(xué)家說，“由這次觀察，你只能說：在這一時刻，這只羊，從我們觀察的角度看過去，有一側(cè)表面是黑色的?！?/p>

這里，數(shù)學(xué)家對蘇格蘭羊的描述，就充分體現(xiàn)出數(shù)學(xué)的嚴(yán)密性。數(shù)學(xué)是思維的體操，語言是思維的外殼，數(shù)學(xué)的理性思維是建立在數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)定理等數(shù)學(xué)語言的嚴(yán)密界定之上的。數(shù)學(xué)語言的簡潔、精煉、嚴(yán)密的特性，要求我們在平時的數(shù)學(xué)教育教學(xué)中不斷地錘煉數(shù)學(xué)教學(xué)語言，進而通過數(shù)學(xué)語言的訓(xùn)練提升學(xué)生的思維品質(zhì)。

根據(jù)學(xué)習(xí)的認(rèn)知理論，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程是新的學(xué)習(xí)內(nèi)容與學(xué)生原有的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)相互作用，形成新的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過程。下面著重介紹幾種初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本方法。

（一） 學(xué)會同構(gòu)

大家先來看這樣的一則消息：圖同構(gòu)問題（graph isomorphism problem）獲得重大進展。美國數(shù)學(xué)學(xué)會2015年評出當(dāng)年美國數(shù)學(xué)界10件大事，其中之一就是圖同構(gòu)問題的進展。

圖同構(gòu)問題，即圖1與圖2是否屬于同構(gòu)（點之間一一對應(yīng)）的問題。這在復(fù)雜性理論中一直是一個特殊問題。芝加哥大學(xué)的László Babai教授在2015年11月的研討會上提交了有關(guān)論文，并描述了他的最新工作。

我們暫且不去討論圖同構(gòu)問題的深層次學(xué)術(shù)問題，只討論一下圖1、圖2為什么本質(zhì)上是同一張圖。這兩張圖，其實都是這樣完成的：平面上有A、B、C、D、E五個點，然后依次按順序首尾連接AB、BC、CD、DE，EA。這兩張圖中，無論是點還是線段都是一一對應(yīng)的。

再來看圖3、圖4。E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點，四邊形EFGH一定是平行四邊形。對于圖3，結(jié)論的推理大部分學(xué)生處理起來絕對輕松;但是對于圖4，結(jié)論的推理有相當(dāng)一部分學(xué)生顯得束手無策。究其原因，就是沒能真正理解這兩張圖其實本質(zhì)上是一樣的，也是圖同構(gòu)問題。理解了圖同構(gòu)問題的本質(zhì)，便會發(fā)現(xiàn)這兩張圖相關(guān)結(jié)論的推理過程完全一樣。

再看圖5、圖6、圖7。乍一看，這三張圖之間似乎沒啥聯(lián)系。其實，這三張圖從某種意義上看也是同構(gòu)的：圖5中，從左側(cè)到達(dá)右側(cè)共有8種不同的路徑;圖6中，從左側(cè)到達(dá)右側(cè)共有8種不同的路徑;圖7中，從迷宮的入口到達(dá)中間也有8種不同的路徑。

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，要善于找出不同事物之間的共同屬性進行概括歸納，并加以應(yīng)用。這三張圖其實也就是初中數(shù)學(xué)要學(xué)習(xí)的概率的基本模型：一只不透明的袋子中裝有顏色分別為黑、白的球各一個，連續(xù)摸3次（放回），摸到某種顏色的球的概率是多少。

下面是一道2013年南京市中考數(shù)學(xué)試題：

（1）? 一只不透明的袋子中裝有顏色分別為紅、黃、藍(lán)、白的球各一個，這些球除顏色外都相同。求下列事件的概率：

① 攪勻后從中任意摸出1個球，恰好是紅球;

② 攪勻后從中任意摸出1個球，記錄下顏色后放回袋子中并攪勻，再從中任意摸出1個球，兩次都是紅球。

（2）? 某次考試有6道選擇題，每道題所給出的4個選項中，恰有一項是正確的。如果小明從每道題的4個選項中隨機地選擇1個，那么他6道選擇題全部選擇正確的概率是（）

這個問題中的第（1）題與第（2）題是“同構(gòu)”的。第（2）題中的“每道題所給出的4個選項”，可以看作是第（1）題中的“一只不透明的袋子中裝有顏色分別為紅、黃、藍(lán)、白的球各一個”。如此看來，問題也就迎刃而解了。

（二） 學(xué)會轉(zhuǎn)化

先看一則故事“燒水的問題”。

有人提出這樣一個問題：“假如你面前有煤氣灶、水龍頭、水壺和火柴，你想燒些水，應(yīng)當(dāng)怎樣去做？”

被提問者答道：“在壺中倒入水，點燃煤氣，再把水壺放到煤氣灶上?！?/p>

提問者肯定了這一回答，接著追問：“如其他條件不變，只是水壺中已有了足夠的水，那你又應(yīng)當(dāng)怎樣去做？”

這時被提問者很有信心地答道：“點燃煤氣，再把水壺放到煤氣灶上?！?/p>

但是提問者說：“物理學(xué)家通常都這么做，而數(shù)學(xué)家則會倒去壺中的水，并聲稱已把后一問題轉(zhuǎn)化成先前的問題?！?/p>

數(shù)學(xué)家“倒去壺中的水”似乎是多此一舉，不過，故事的編創(chuàng)者不是要我們?nèi)ァ暗谷刂械乃?，而是引?dǎo)我們感悟數(shù)學(xué)家獨特的思維方式——轉(zhuǎn)化。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，不是問題解決方案的累積記憶，而是要學(xué)會把未知的問題轉(zhuǎn)化成已知的問題，把復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化成簡單的問題，把抽象的問題轉(zhuǎn)化成具體的問題。數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想簡化了我們的思維狀態(tài)，提升了我們的思維品質(zhì)。轉(zhuǎn)化不是就事論事、一事一策，而是發(fā)掘出問題中最本質(zhì)的內(nèi)核和原型，再把新問題轉(zhuǎn)化成已經(jīng)能夠解決的問題。

比如，學(xué)習(xí)多邊形內(nèi)角和，就是將多邊形內(nèi)角和問題轉(zhuǎn)化為三角形內(nèi)角和問題，可以通過圖8的方式轉(zhuǎn)化，也可以通過圖9的方式轉(zhuǎn)化。

又如，公式（a-b）2=a2-2ab+b2是由公式（a+b）2=a2+2ab+b2推導(dǎo)得出的，該推導(dǎo)過程的第一步是（a-b）2=[a+（-b）]2，其本質(zhì)就是將減法轉(zhuǎn)化為加法。再看這樣一個問題：已知公式（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4，請直接寫出（a-b）4的展開式。知道轉(zhuǎn)化，這個問題也就非常簡單了。

再如，在一個3×3的方格表（如圖10）中，填入9個不同的正整數(shù)，使得排在一條直線上的3個數(shù)的積都相等。

使得排在一條直線上的3個數(shù)的積都相等，這屬于積的幻方的范疇，難度還是比較高的，但如果懂得靈活轉(zhuǎn)化的話，就很簡單了。觀察圖11，是一個最基本的和的幻方問題，即使得排在一條直線上的3個數(shù)的和都相等。如何將和的幻方問題轉(zhuǎn)化為積的幻方問題呢？再觀察圖12，也許就迎刃而解了。

轉(zhuǎn)化思想是數(shù)學(xué)的基本思想，它應(yīng)貫穿數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的始終。因為，數(shù)學(xué)問題的求解都是運用已知條件，對問題進行恰當(dāng)轉(zhuǎn)化，進而達(dá)到解題目的的一個探索過程?？梢?，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程實際上是由一連串的轉(zhuǎn)化所組成的。轉(zhuǎn)化的目標(biāo)，就是將復(fù)雜問題向簡單問題轉(zhuǎn)化，具體表現(xiàn)為：當(dāng)解決生疏、復(fù)雜的問題不易入手時，必須變換思考的角度，利用發(fā)散性思維，產(chǎn)生新的聯(lián)想，將問題轉(zhuǎn)化為熟悉的簡單問題。