謝志勇

數學符號是人們在研究現實世界的數量關系和空間形式的過程中產生的，經歷了從探索發(fā)明到應用再到統(tǒng)一的逐步完善的過程。教學中，教師應引導學生在探索中經歷符號化的抽象過程，更加深刻地感悟符號化思想。

《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出：“符號意識主要是指能夠理解并且運用符號表示數、數量關系和變化規(guī)律;知道使用符號可以進行運算和推理，得到的結論具有一般性。幫助學生建立符號意識有助于學生理解符號的使用是數學表達和進行數學思考的重要形式?！北疚慕Y合小學數學教學實例，探索符號意識的培養(yǎng)策略。

一、找準認知起點，培養(yǎng)符號意識

【教學片段一】“認識加法”（人教版一年級數學上冊）

師：（手指著教學板上貼的笑臉圖片）剛才二組的小朋友坐得端正、聽講認真、回答問題聲音響亮，老師表揚了二組，給他們獎勵3個笑臉，現在小敏又為二組獲得了1個笑臉。小朋友們知道二組共獲得了幾個笑臉嗎？

生（齊）：4個

師：能告訴老師，你是怎么知道的嗎？

生1：我全部數了一遍。

生2：3個和1個合起來就是4個。

師：能把你們的想法在紙上畫出來嗎？（學生獨立畫圖）

師：（板書3? 1? 4）小朋友們知道老師寫的“3”是指什么嗎？“1”和“4”呢？

生3：“3”是指二組先得的3個笑臉，“1”是指后來又得了1個笑臉，“4”是指二組一共得了4個笑臉。

師：你講得又清楚又準確！老師給你貼上1個笑臉。

師：（在3和1之間加上“+”號，在1和4之間加上“=”號）小朋友們猜一猜，老師添上兩個符號是什么意思呢？

生4：3個和1個合起來就是4個。

師：你猜得真準！“+”表示“合起來”，讀作“加”;這里的“=”表示“一共是”，讀作“等于”。

在低年級的課堂教學中，教師經常用貼笑臉、貼紅旗等方式對課堂表現優(yōu)秀的同學或小組進行獎勵，學生對這類符號已經形成認知表象，這是學生真實的認知起點。同時，在前面的學習中，學生已經會運用語言符號和圖形符號表達加法運算的意義。教師充分運用學生的已有認知，精心設計問題，引導學生認識“+”號和“=”號，感知抽象的運算符號能表達具體、實際的意義，明確用運算符號表達的便捷性，促進學生符號意識的生成。

二、緊扣知識生長點，滲透符號化思想

【教學片段二】“用字母表示數”（人教版五年級數學上冊）

師：1只青蛙1張嘴，2只眼睛4條腿（邊說邊動態(tài)呈現情境圖），誰能幫助老師繼續(xù)往下說？

生1：2只青蛙2張嘴，4只眼睛8條腿。

生2：3只青蛙3張嘴，6只眼睛12條腿。

生3：4只青蛙4張嘴，8只眼睛16條腿。

師：這個兒歌編下去，能編完嗎？

生（齊）：編不完。

師：有什么辦法嗎？

生4：可以用省略號。

生5：也可以用字母符號表示。

師：（出示板書1）

師：誰能用一句話來表達這首兒歌，并且把它編完呢？（板書2：選擇幾個學生的編法并進行對比）

師：大家都運用了字母符號來概括兒歌，觀察、比較一下，你想對哪種編法發(fā)表自己的看法呢？

生6：我認為第1種不對，都用x來表示不合適。假如x是1的話，就變成了一只青蛙一張嘴，一只眼睛一條腿，這就是一只畸形的青蛙了。

生7：我認為第2種也不行，因為青蛙的只數和嘴巴的張數是一樣的，所以這里的b要改成a。

師：把b改成a，你再沒有意見了吧？

生8：還不行，眼睛和腿還得改，因為用c、d不能表達他們之間的倍數關系，我認為第3種最好。

師：你們認為呢？

生9：是的，第3種能清晰地表達青蛙的只數、嘴巴、眼睛和腿之間的數量關系。

師：最后看著你們最喜歡的這種編法，我們再來唱一唱這首青蛙兒歌吧。

初次續(xù)編兒歌時，學生從已有的認知起點出發(fā)，將文字語言抽象成簡潔的數字符號，經歷了從“用文字表征規(guī)律”到“用數學符號表征規(guī)律”的轉化。層次分明的問題引導學生進行積極思考，實現了符號化過程的初步轉化。再次續(xù)編兒歌時，教師以“用一句話來表達這首兒歌”的問題為載體，引導學生對比三種編寫辦法，經歷用字母符號表示數和數量關系的過程，體會字母符號的概括性和簡潔性，實現了從“用數字符號表示數量關系”向“用字母符號表示數量關系”的第二次轉化。學生在對比和辨析中，既感受到不同編法的異同與優(yōu)劣，又體驗到用字母表示數的優(yōu)越性，有效滲透了符號化的思想方法，學生的符號化意識在經歷符號化的抽象過程中實現了質的飛躍。

三、巧用模型思想，發(fā)展符號意識

培養(yǎng)學生的符號意識不只是簡單地把符號介紹給學生，讓學生機械記憶。運用數學符號幫助學生建構數學模型是發(fā)展學生符號意識的有效途徑。

【教學片段三】“數與形”（人教版六年級數學上冊）

師：（動態(tài)呈現課本主題圖）你會用哪些形式把圖中小正方形的個數表示出來呢？

生1：1、4、9。

生2：12、22、32。

生3：1+3=4，1+3+5=9。

生4：1+3=22，1+3+5=32。

師：同學們的思維真活躍，能想到這么多種表達形式！老師最感興趣的是第4組，因為根據它們之間暗藏的規(guī)律，我可以直接寫出1+3+5+7=42。請同學們先驗證一下老師寫得對不對，并說一說你是用什么方法驗證的。

生5：對，我是直接計算的。

生6：對，我是在老師出示的第3個圖外側再添7個小正方形就拼成了4行4列的大正方形（如下圖）。

師：你能找到其中的規(guī)律嗎？

生7：等式左邊的加數都是奇數。

生8：等式左邊的加數都是連續(xù)的奇數，而且是從1開始的。

生9：等式右邊的數都是平方數，而且左邊有幾個加數，右邊就是幾的平方。

師：同學們只要善于觀察，就能揭開規(guī)律的面紗！請根據發(fā)現的規(guī)律填一填：

1+3+5+7+9+11+13=（??? ）2;（?????? ）=92。

師：如果從1開始有n個連續(xù)的奇數相加，那結果是多少呢？

生（齊）：n2。

（師板書：[1+3+5+7+9+11+13+……n個=n2]）

教師從直觀的圖形變化出發(fā)，引導學生用算式表達圖形變化的規(guī)律，在此基礎上發(fā)現算式表達的變化規(guī)律，從而推理出“從1開始有n個連續(xù)奇數相加的和是n2”。從直觀圖形到算式表達，再到字母表征，學生經歷了從特殊到一般的歸納過程。借助這個過程，使學生體會到引入字母符號可以表示任意一個數字，并參與推理和運算的優(yōu)勢。

在小學階段，鍛煉學生從具體的情境中抽象出數量關系和變化規(guī)律并用符號表示，是符號意識的具體體現。例如，通過列舉幾組兩個數相加的算式，交換加數的位置，和不變，歸納出加法的交換律，并用符號“a+b=b+a”表示。又如，在長方形內部通過拼擺單位面積的小正方形，歸納出長方形的面積計算公式，并用符號“S=ab”表示。上述例子都是符號化的過程，也是模型化的過程。通過以數解形、以形助數，讓復雜問題簡單化、抽象問題具體化，從而使“運用符號表征數量關系和變化規(guī)律”水到渠成。

四、注重實踐運用，強化符號意識

引導學生在實踐中靈活運用符號解決問題，表示公式、性質等，是強化學生符號意識的重要方法。

【教學片段四】“圓錐的體積”（人教版六年級數學下冊）

師：一個圓錐的體積是72cm3，底面積是24cm2。這個圓錐有多高？

生1：72÷24×[13]=1cm。

生2：不對！如果按照這個結果檢驗，圓錐的體積=24×1×[13]=8cm3，與題目的已知條件相矛盾。

師：老師給你點贊！你運用圓錐的體積公式檢驗，發(fā)現結果不正確。那么，問題出在哪兒呢？

生3：圓錐的體積公式是V=[13]Sh，現在已知底面積和體積，要求圓錐的高，也就是求h，就相當于求因數。因此，要把公式變換一下，V=[13]Sh，Sh=3V，h=3V÷S。所以，正確結果是72×3÷24=9cm。

生4：從上面的計算我還發(fā)現，求底面積可以用公式“S=3V÷h”計算。

生5：如果已知圓錐的體積，無論是已知底面積求高還是已知高求底面積，都要先把體積V乘3，轉化成與它等底等高的圓柱的體積，才能計算出正確結果。

教師引導學生在辨析過程中很自然地選擇用字母公式進行推理，沒有用煩瑣的文字語言進行描述，體現了運用符號進行交流和表達的簡潔性。字母公式簡明直觀地揭示了圓錐體積、底面積、高之間的關系，不但使學生明確了符號可以像數字一樣參與運算和推理，而且?guī)椭麄兏羁痰仡I悟了其中蘊含的數學邏輯。學生在逐步地推導過程中認識到“如果已知圓錐的體積，無論是已知底面積求高，還是已知高求底面積，都要先把體積V乘3，轉化成與它等底等高的圓柱的體積，才能計算出正確結果?！边@樣的學習過程，不僅增強了學生的符號意識，更激發(fā)了學生的探究興趣，讓數學課堂散發(fā)出智慧的光芒。

有研究表明，義務教育階段學生的數學符號意識由數學符號的感知與識別、數學符號的理解與運算、數學符號的聯(lián)想與推理和數學符號的抽象與表達四個層次構成。這就是說，培養(yǎng)小學生數學符號意識要遵循數學符號發(fā)展的規(guī)律。隨著學生數學學習的不斷深入，知識的建構對符號意識的要求也會越來越高，教師要善于運用學生對數學符號的認知起點，善于溝通數學思想與數學符號之間的聯(lián)系，善于引導學生靈活運用數學符號解決問題，強化學生數學符號意識的培養(yǎng)，為學生的終生學習奠基。

（作者單位：武漢市新洲區(qū)教學研究室）

見習編輯? 劉佳