朱勝?gòu)?qiáng)

(南京外國(guó)語(yǔ)學(xué)校 210008)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》(以下簡(jiǎn)稱(chēng)《標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》)將數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)與數(shù)學(xué)探究活動(dòng)作為課程內(nèi)容的四條主線之一，貫穿于必修、選擇性必修和選修課程之中.與《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))》(以下簡(jiǎn)稱(chēng)《標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))》)的要求相比，數(shù)學(xué)探究活動(dòng)在課程中的重要性又有了新的提升，相應(yīng)地對(duì)教師的要求也定會(huì)更高.課題的選擇是有效開(kāi)展探究活動(dòng)的關(guān)鍵，而如何獲得適合學(xué)生探究的課題也是教師的困擾所在.

與《標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))》配套的教材中都設(shè)計(jì)了一定數(shù)量的探究問(wèn)題或背景材料，這是開(kāi)展探究活動(dòng)的重要參考.在具體的教學(xué)實(shí)踐中，教學(xué)活動(dòng)往往受諸多因素影響，因此課本配備的探究資源未必總能很好地契合教學(xué)需求，這勢(shì)必影響探究活動(dòng)的實(shí)效.面對(duì)這一問(wèn)題，筆者嘗試了對(duì)問(wèn)題進(jìn)行再設(shè)計(jì)，靈活運(yùn)用課本探究資源，使之能更好地服務(wù)于數(shù)學(xué)探究活動(dòng).下面談一點(diǎn)做法體會(huì)，供大家參考.

1 課本探究素材簡(jiǎn)析

如圖1(1)，一個(gè)四面體木塊ABCD，在△ABC的面內(nèi)有一點(diǎn)P，要經(jīng)過(guò)點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)畫(huà)一條直線l，使l⊥AD，怎樣畫(huà)？寫(xiě)出作法，并給予證明.

該問(wèn)題背景比較直觀，易與學(xué)生生活實(shí)際建立起聯(lián)系.學(xué)生童年時(shí)期一般都有玩積木的體驗(yàn)，立幾模型與直觀圖相比，更容易引發(fā)學(xué)生對(duì)空間幾何關(guān)系的感知與想象.因而，學(xué)生對(duì)這樣的問(wèn)題比較感興趣，愿意自覺(jué)地用所學(xué)立體幾何知識(shí)進(jìn)行思考.但問(wèn)題涉及的立體幾何知識(shí)較為基礎(chǔ)，且應(yīng)用方式不很復(fù)雜，因此，對(duì)于生源質(zhì)量良好的學(xué)校學(xué)生來(lái)說(shuō)，探究的難度不會(huì)很大.

圖1

下面是配套的教學(xué)參考書(shū)提供的解答：

如圖1(1)，在AD上任取異于A，D的一點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)Q分別在平面ACD和平面ABD內(nèi)作QE⊥AD，QF⊥AD，并分別交AC，AB于E，F(xiàn)兩點(diǎn).連結(jié)EF，過(guò)點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)作直線l，使l∥EF，則l即為所求直線.

已有的教學(xué)實(shí)踐表明，學(xué)生想到的方案與上述答案大體相仿.由于問(wèn)題的探究過(guò)程沒(méi)遇太多曲折，所以探索后學(xué)生總覺(jué)得該問(wèn)題作為“探究拓展”題少了點(diǎn)探究的味道.

教材的編寫(xiě)須顧及使用者的整體情況，所以不能苛求教材設(shè)計(jì)總能適合任一群體的學(xué)生.作為教學(xué)活動(dòng)主導(dǎo)者的教師在如何用好教材上則應(yīng)發(fā)揮自己的作用.

2 對(duì)課本問(wèn)題的再設(shè)計(jì)

為使課本探究資源能更好地符合教學(xué)需求，可考慮對(duì)相關(guān)問(wèn)題進(jìn)行再設(shè)計(jì).如何再設(shè)計(jì)呢?《標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)解讀》關(guān)于數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)探究選題的幾個(gè)注意點(diǎn)值得參考:

(1)有研究?jī)r(jià)值和現(xiàn)實(shí)可行性.考慮到學(xué)生年齡特征、知識(shí)水平和實(shí)際能力；

(2)盡可能結(jié)合學(xué)生的生活實(shí)際和學(xué)生們關(guān)注興趣點(diǎn)；

(3)求解過(guò)程有利于學(xué)生理解數(shù)學(xué)，有利于綜合利用所學(xué)知識(shí)，有利于學(xué)生個(gè)性和不同特長(zhǎng)的發(fā)揮，有利于培養(yǎng)學(xué)生的合作精神和創(chuàng)新意識(shí)；

(4)可以給學(xué)生一個(gè)學(xué)習(xí)和體驗(yàn)“做研究”的過(guò)程，幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

因此，本題的再設(shè)計(jì)應(yīng)保留能引發(fā)學(xué)生興趣的因素；考慮到學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較好的現(xiàn)狀，及讓學(xué)生有機(jī)會(huì)綜合運(yùn)用立幾知識(shí)，可讓問(wèn)題在原有基礎(chǔ)上增加一定的難度；為讓不同層次的學(xué)生都能有所收獲，可讓問(wèn)題有一定的梯度；為讓學(xué)生獲得較完整的探究體驗(yàn)，可增加動(dòng)手操作的環(huán)節(jié).

為此，再設(shè)計(jì)后的問(wèn)題仍以“在四面體模型指定面中畫(huà)某棱垂線”的形式出現(xiàn)；針對(duì)圖1(1)所示四面體ABCD中，∠BAD與∠CAD是否為銳角，將問(wèn)題分為不同的類(lèi)別，既提高挑戰(zhàn)性，又凸顯層次差異；考慮到活動(dòng)過(guò)程的完整性，設(shè)計(jì)了模型制作環(huán)節(jié).再設(shè)計(jì)后的問(wèn)題如下：

分別制作如下三類(lèi)不同的四面體模型ABCD.又P為面ABC內(nèi)的一點(diǎn)P，試經(jīng)過(guò)點(diǎn)P在面ABC內(nèi)畫(huà)一條直線l，使l⊥AD，怎樣畫(huà)？寫(xiě)出作法，并給予證明.

第一類(lèi):∠BAD與∠CAD均為銳角;

第二類(lèi):∠BAD與∠CAD均為鈍角;

第三類(lèi):∠BAD與∠CAD中一個(gè)是銳角,另一個(gè)是鈍角.

為盡可能保證探究效果，還給出了探究的一些建議與要求：可按自愿的原則組成活動(dòng)小組，每組都需針對(duì)三類(lèi)不同的模型進(jìn)行制作與作圖研究；四面體模型可用硬紙板、橡皮泥或泡沫塑料制作，但不宜用鐵絲等制成四面體的框架；在模型上作圖時(shí)，僅限用尺規(guī)法，不得借助其它的測(cè)量?jī)x器與工具.

3 探究成果展示

經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的自主探究后，探究活動(dòng)順利結(jié)束.教師組織學(xué)生以適當(dāng)?shù)男问竭M(jìn)行成果展示，并進(jìn)行評(píng)價(jià).下面?zhèn)戎亟榻B學(xué)生獲得的主要探究成果.

3.1 第一類(lèi)模型的新作法

對(duì)于第一類(lèi)四面體模型，學(xué)生想到的除了與教學(xué)參考書(shū)相同的方法外，還有學(xué)生想到了依據(jù)三垂線定理來(lái)作圖.其思路是這樣:先作出AD在面ABC內(nèi)的射影，然后過(guò)點(diǎn)P在面ABC內(nèi)作射影的垂線.

對(duì)于第一類(lèi)四面體，如何作得AD在平面ABC內(nèi)的射影呢?

因?yàn)椤螧AD與∠CAD均為銳角，所以，在棱AD上取異于A，D的一點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)Q分別在面ACD和平面ABD內(nèi)，作QE⊥AC，QF⊥AB，并分別交AC，AB于E，F(xiàn)兩點(diǎn).

在面ABC內(nèi)，作EG⊥AC，F(xiàn)G⊥AB.

易知，AC⊥平面QEG，所以，平面QEG⊥平面ABC；

同理可知，平面QFG⊥平面ABC. 注意到，平面QEG∩平面QFG=QG.所以，AC⊥QG，AB⊥QG，所以,QG⊥平面ABC.

因此，G是Q在平面ABC內(nèi)的射影，即AG是AD在平面ABC內(nèi)的射影(如圖2). 這樣,只要過(guò)點(diǎn)P作直線AG的垂線，便得所求直線l.

圖2

上述探究中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)并提出如下命題：

已知平面α，β，γ，α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l，則l⊥γ.

3.2 第二類(lèi)模型的探究

對(duì)于第二類(lèi)模型，因?yàn)椤螧AD與∠CAD均為鈍角，若在棱AD上任取異于A，D的一點(diǎn)Q，過(guò)Q在平面ABD內(nèi)作AD的垂線，應(yīng)與棱BD相交，記交點(diǎn)為F；同理，過(guò)Q在平面ACD內(nèi)作AD的垂線，應(yīng)與棱CD相交，記交點(diǎn)為E.由于E，F(xiàn)兩點(diǎn)不在AC與AD上，所以教學(xué)參考書(shū)提供的方法不再適用(如圖3).

圖3

如果過(guò)Q點(diǎn)在平面ACD內(nèi)作AC的垂線，因?yàn)椤螩AD是鈍角，所以垂足在CA的延長(zhǎng)線上.因此，試圖作出AD在平面ABC內(nèi)射影的方法似乎也行不通了，只得另尋他法.

圖3中由QE，QF兩條相交直線確定的平面是與AD垂直的平面，平面QEF內(nèi)任一條直線都與AD垂直.如果將平面QEF平移至與平面ABC相交，則交線必與AD垂直.

為此，在AC上取一點(diǎn)G，過(guò)G在平面ACD內(nèi)作QE的平行線交CD于H.過(guò)H在平面BCD內(nèi)作EF的平行線.

若平行線與BD相交，記交點(diǎn)為K，過(guò)K在平面ABD內(nèi)作QF的平行線交AB于L.連結(jié)LG,則LG便是平面ABC內(nèi)與AD垂直的直線(如圖4(1)).

若平行線與BC相交，記交點(diǎn)為K，連結(jié)KG，則KG便是平面ABC內(nèi)與AD垂直的直線(如圖4(2)).

圖4

上述探究中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)并提出如下立幾命題：

如圖5，已知平面α∥β，A∈α，A∈a，b?β，a∥b，則a?α.

真的無(wú)法作出AD在面ABC內(nèi)的射影嗎？有人做出了成功的嘗試.

圖5

為直觀起見(jiàn)，這里將圖4中的幾何體的面ABC朝下放置(如圖6).在AD上適當(dāng)位置取一點(diǎn)Q，過(guò)Q在平面ACD內(nèi)作AC的平行線交CD于E；在平面ABD內(nèi)，過(guò)Q作AB的平行線交BD于F.其中∠AQE與∠AQF均為銳角.

圖6

過(guò)A作QE的垂線，交QE于G；過(guò)A作QF的垂線，交QF于H.過(guò)G作AD平行線交AC于K，過(guò)H作AD平行線交AB于L.在平面ABC內(nèi)，作KM⊥AC，作LM⊥AB，則AM便是直線AD在平面ABC內(nèi)的射影.

事實(shí)上，在圖6中有一個(gè)以AKML為底面，以AQ為側(cè)棱的四棱柱.不妨假設(shè)平面QGH內(nèi)，過(guò)G垂直于QG的直線與過(guò)H垂直于QH的直線的交點(diǎn)為N，該四棱柱便是四棱柱AKML-QGNH(如圖7).

圖7

上述探究中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)并提出如下立幾命題：

在四棱柱AKML-QGNH中，已知AG⊥QG，AH⊥QH，KM⊥AK，LM⊥AL，則平面AQMN⊥平面AKML.

3.3 第三類(lèi)模型的探究

此類(lèi)四面體模型中，∠BAD與∠CAD一個(gè)為銳角，一個(gè)為鈍角，不妨設(shè)∠CAD為銳角，∠BAD為鈍角.此時(shí)，若在棱AD上任取異于A，D的一點(diǎn)Q,在面ABD內(nèi)，過(guò)Q作AD的垂線，則必與棱BD交于點(diǎn)F.在面ACD內(nèi)，過(guò)Q作AD的垂線，則垂線可能與棱CD相交，也可能與棱AC相交.

若所作垂線與棱CD相交，便可得到過(guò)Q與AD垂直的截面.此時(shí)，仿照第二類(lèi)四面體解決問(wèn)題的辦法，平移AD的垂面便可解決問(wèn)題.

若所作垂線與棱AC相交，記交點(diǎn)為E. 則平面QEF與平面ABC的交線便是平面ABC內(nèi)與AD垂直的直線.

如果作圖不局限于模型表面，還是有辦法的.許多立體幾何教材中都有類(lèi)似于這樣的命題：

三個(gè)平面兩兩相交，有三條交線，則這三條交線交于一點(diǎn)或互相平行.

依據(jù)給定公理不難證得此命題.該命題可用來(lái)確定交線.

考慮三個(gè)兩兩相交的平面，即平面ABC，平面ABD，平面QEF.其中平面ABC∩平面ABD=BA，平面ABD∩平面EFQ=FQ.E是平面ABC與平面QEF的一個(gè)公共點(diǎn)(如圖8).

圖8

若FQ與AB相交，記交點(diǎn)為T(mén)，則平面ABC∩平面QEF=ET.

設(shè)ET與BC的交點(diǎn)為G，則平面EFQ∩平面ABC=EG.

若FQ∥AB，這時(shí)平面EFQ與平面ABC的交線也必與AB平行.因此，過(guò)E作AB的平行線，可得平面EFQ與面ABC的交線.

當(dāng)然，這種作法不是最終解決問(wèn)題的方法.應(yīng)考慮到在四面體模型上作圖的局限性，是否可以對(duì)這種作法進(jìn)行改進(jìn)呢？

考慮以B為放縮中心，將四面體ABCD適當(dāng)縮小，縮小到圖8中所畫(huà)的這些線都可以在模型表面作出.下面僅以FQ與AB相交為例加以說(shuō)明.

連結(jié)BE交A1C1于點(diǎn)E1，連結(jié)AE1并延長(zhǎng)交BC于G(如圖9).

圖9

易知平面AF1G∥平面QEF.所以AG⊥AD，因此AG即為平面ABC內(nèi)與AD垂直的直線.

這一作法本質(zhì)上是通過(guò)放縮變換平移平面QEF，得到AD的垂面與平面ABC的交線.

上述探究中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)并提出如下命題：

已知三棱錐S-ABC，A′，B′，C′是側(cè)棱SA，SB，SC上的點(diǎn).若SA′∶SA=SB′∶SB=SC′∶SC，則平面ABC∥平面A′B′C′(如圖10).

圖10

4 探究問(wèn)題再設(shè)計(jì)后的思考

《標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))》指出，數(shù)學(xué)探究即數(shù)學(xué)探究性課題學(xué)習(xí)，是指學(xué)生圍繞某個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，自主探究學(xué)習(xí)的過(guò)程.因此，數(shù)學(xué)探究是以一類(lèi)問(wèn)題為載體、以學(xué)生自主參與為主的學(xué)習(xí)活動(dòng).所以活動(dòng)組織和設(shè)計(jì)的核心是“問(wèn)題”或“問(wèn)題串”.尋找好的問(wèn)題、把求解問(wèn)題的過(guò)程設(shè)計(jì)成學(xué)生便于理解、參與的形式，自然成為數(shù)學(xué)探究設(shè)計(jì)的首要工作.

作為探究載體的“問(wèn)題”來(lái)源可能多樣，但教材、教學(xué)參考書(shū)等現(xiàn)有的與日常教學(xué)相伴的資源卻是不應(yīng)忽視的.這就要求教師在教學(xué)中要有“問(wèn)題”意識(shí)，合理用好問(wèn)題資源.通過(guò)自己的再度加工，將課本的探究資源設(shè)計(jì)成學(xué)生感興趣，與能力水平相適應(yīng)，能夠獲得豐富體驗(yàn)的“好問(wèn)題”.事實(shí)上，這些取自于日常教學(xué)的問(wèn)題資源，更有利于調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性和參與度，更能提升探究活動(dòng)的實(shí)效.

多數(shù)情況下信手得來(lái)的“問(wèn)題”并非最理想的探究素材，需要教師根據(jù)實(shí)際情況進(jìn)行雕琢.但這項(xiàng)工作與教學(xué)例題或考試試題的設(shè)計(jì)又不同，要考慮學(xué)生自主探索的可行性與探索之后可能的收獲，這對(duì)教師自然是一種考驗(yàn).一個(gè)理想的探究“問(wèn)題”也不是僅憑教師頭腦中的想像就自然形成的，往往還需經(jīng)教學(xué)實(shí)踐的反復(fù)檢驗(yàn).所以，教師要更好地適應(yīng)新課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，就應(yīng)努力成為數(shù)學(xué)探究課題的創(chuàng)造者，有比較開(kāi)闊的數(shù)學(xué)視野，了解與中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)有關(guān)的擴(kuò)展知識(shí)和內(nèi)在的數(shù)學(xué)思想，認(rèn)真思考其中一些問(wèn)題，加深對(duì)數(shù)學(xué)的理解，提高數(shù)學(xué)能力，為指導(dǎo)學(xué)生一進(jìn)行數(shù)學(xué)探究做好充分準(zhǔn)備，并在教學(xué)實(shí)踐中不斷積累指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)探究的資源.這樣，開(kāi)展數(shù)學(xué)探究活動(dòng)時(shí)其效果便有了基本保障.