呂松濤

(1.廣州大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 510006；2.商丘師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 476000)

平面向量的加法是向量的基本運(yùn)算，也是向量本質(zhì)屬性最直接的體現(xiàn).學(xué)生對(duì)向量加法運(yùn)算的理解直接影響著向量理論體系的學(xué)習(xí).然而，在實(shí)際教學(xué)中，向量的加法并沒有受到應(yīng)有的重視.據(jù)筆者了解，很多老師都是根據(jù)物理學(xué)中運(yùn)動(dòng)的合成，直接給出向量加法的三角形與平行四邊形法則，然后側(cè)重加法法則的使用，并沒有給出向量加法的本質(zhì)分析.

向量加法與數(shù)的加法有什么本質(zhì)異同？向量加法三角形或平行四邊形法則蘊(yùn)含著什么樣的數(shù)學(xué)思想？在向量理論體系中起著什么樣的作用？很多老師對(duì)這些問題似乎不甚明確.鑒于此，本文對(duì)平面向量加法運(yùn)算的教學(xué)進(jìn)行一些探討，不當(dāng)之處敬請(qǐng)批評(píng)指正.

1 對(duì)教材“向量加法運(yùn)算”編寫內(nèi)容的思考

圖1

圖2

從物理學(xué)中位移和力的合成引入向量的加法運(yùn)算，能讓學(xué)生直觀感知向量的加法運(yùn)算不是直接將向量的大小相加，而是滿足三角形或平行四邊形法則.但是，歷史上用平行四邊形法則表示物理量合成的目的是讓物理運(yùn)動(dòng)問題的描述變得清楚，在向量產(chǎn)生前并沒有出現(xiàn)過將線段相加的思想[2].也就是說，向量的加法不是從物理的合成運(yùn)動(dòng)中抽象出來的概念，物理運(yùn)動(dòng)問題只是它產(chǎn)生的一個(gè)間接的因素.數(shù)學(xué)是一門嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科，數(shù)學(xué)結(jié)論的陳述應(yīng)該尊重?cái)?shù)學(xué)的科學(xué)性與嚴(yán)謹(jǐn)性.物理的實(shí)驗(yàn)結(jié)果僅僅是對(duì)設(shè)想的驗(yàn)證，并不一定正確.因此，在教學(xué)中就需要給出向量加法運(yùn)算法則的嚴(yán)格論證.

2 向量加法運(yùn)算產(chǎn)生溯源及其本質(zhì)分析

如果未加分析地由物理模型得出向量加法的運(yùn)算法則，學(xué)生只會(huì)機(jī)械地進(jìn)行向量的加法運(yùn)算，而不明白向量加法運(yùn)算本質(zhì)和蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想.要讓學(xué)生對(duì)向量加法有一個(gè)清楚的認(rèn)識(shí)，教師首先要弄清楚向量加法的來龍去脈，從整體上把握它在向量理論體系中的價(jià)值.

2.1 向量加法產(chǎn)生的動(dòng)因

挪威的測量員韋塞爾出于尋求如何解析地描繪方向的目的，在找到用有向線段表示復(fù)數(shù)的幾何意義之后，也是采取同樣的方法建立了有向線段的加法運(yùn)算規(guī)則.他認(rèn)為方向的變化可由代數(shù)運(yùn)算產(chǎn)生，也可以由它們的符號(hào)表達(dá).在得到反向的有向線段能被表示后，即BA=-AB，韋塞爾開始尋找傾斜直線的解析表示方法.1799年，在他的論文開頭部分，用文字描述了有向線段的加法，也就是向量加法的運(yùn)算規(guī)則：“兩條有向線段被稱作相加，如果我們采取下面的方式組合它們.將第二條有向線段的起點(diǎn)放置在第一條有向線段的終點(diǎn)，連接第一條有向線段的起點(diǎn)和第二條有向線段的終點(diǎn)所得到的有向線段，就是這兩條有向線段的和.”[4]

2.2 向量加法運(yùn)算的本質(zhì)

在代數(shù)運(yùn)算中，加號(hào)“+”只是一個(gè)運(yùn)算的形式表示，它所代表的規(guī)則才是加法運(yùn)算的本質(zhì)[5].代數(shù)運(yùn)算的規(guī)則由運(yùn)算對(duì)象的本質(zhì)屬性決定.例如，兩個(gè)只有大小的數(shù)量相加只需將這兩個(gè)數(shù)量的多少進(jìn)行累計(jì)，相加之后這兩個(gè)數(shù)量各自所體現(xiàn)的大小性質(zhì)不再保留，而轉(zhuǎn)化為另外一個(gè)具有不同大小的數(shù)量. 換句話說，相加的結(jié)果可看成在一個(gè)數(shù)量的基礎(chǔ)上多了另一個(gè)數(shù)量的個(gè)數(shù).這時(shí)，被加的數(shù)的大小發(fā)生了變化，而得到另外一個(gè)具有不同大小的數(shù).比如2+7=9，相當(dāng)于2多了7，變成了9.

圖3

向量不僅具有數(shù)量的大小屬性，又具有方向性的屬性.如果兩個(gè)向量具有相同或相反的方向，則可以把它們放置在一條直線上，如圖3.反方向的向量可以用大小的負(fù)值來表示.也就是說，這兩個(gè)向量的方向可視為已經(jīng)取定.這時(shí)兩個(gè)向量相加只需考慮它們的大小.在這種情形下，向量的加法類似于數(shù)的加法規(guī)則，相加后這兩個(gè)向量各自的特點(diǎn)不再保留，相加的結(jié)果可看成被加的向量在大小上發(fā)生了變化，而得到一個(gè)新的向量.如果兩個(gè)向量不是共線向量，盡管向量相加的方法也是將第二個(gè)向量的起點(diǎn)放置在第一個(gè)向量的終點(diǎn)，但不再是簡單的大小累計(jì)，而是這兩個(gè)向量的組合.相加得到一個(gè)新的向量后，這兩個(gè)向量并沒有改變各自體現(xiàn)的大小和方向，如圖4所示.這時(shí)，向量加法運(yùn)算滿足三角形法則或平行四邊形法則.這才是向量加法運(yùn)算的本質(zhì).

圖4

3 向量加法運(yùn)算法則的分析與證明

3.1 向量加法三角形法則的內(nèi)涵

向量加法的運(yùn)算規(guī)則具有豐富的數(shù)學(xué)內(nèi)涵，它體現(xiàn)了向量之間的關(guān)系.從幾何意義上，它描述了這兩個(gè)向量的共線或不共線的位置關(guān)系；從向量理論體系構(gòu)建的角度，向量加法運(yùn)算的三角形規(guī)則描述了向量之間重要的線性相關(guān)和線性無關(guān)的關(guān)系.

如果兩個(gè)向量相加的方式只是將兩個(gè)向量的大小相加，則說明這兩個(gè)向量是共線的關(guān)系.而且這兩個(gè)共線向量相加所得的向量仍然是與它們共線的向量.由此可知，每個(gè)向量都可以表示為共線單位向量的倍數(shù)，即任意兩個(gè)共線向量的其中一個(gè)可由另一個(gè)來表示，亦即這兩個(gè)向量線性相關(guān)[6]；如果兩個(gè)向量采取三角形法則相加，這說明這兩個(gè)向量不共線.也就是說，這兩個(gè)向量首尾放在一起時(shí)它們不在一條直線上.這兩個(gè)向量互相之間都不能由另外一個(gè)得到，即這兩個(gè)向量線性無關(guān).

由向量加法得到的向量之間線性相關(guān)和無關(guān)的關(guān)系，在向量理論體系中起著重要的作用，它不僅提供了一種利用代數(shù)研究幾何的方法，更拓寬了幾何研究的范圍.比如，同一平面上的三個(gè)向量線性相關(guān)，而不在同一平面的三個(gè)向量是線性無關(guān)的關(guān)系.進(jìn)而可按照這種方式將三維空間的性質(zhì)的研究擴(kuò)充到n維空間.

3.2 向量加法法則的分析與證明

向量加法三角形法則和平行四邊形法則是兩個(gè)形式不同的等價(jià)法則，這里只對(duì)三角形法則作出分析和論證.

圖5

按此方法，容易論證兩個(gè)以上非共線向量相加的規(guī)則，仍然是將這些向量的首尾相連，他們相加的和為連接第一個(gè)向量的起點(diǎn)與最后一個(gè)向量的終點(diǎn)所得到的向量.

4 平面向量加法教學(xué)設(shè)計(jì)的構(gòu)想

教材只是承載知識(shí)的半成品，需要教師在課堂上再發(fā)揮.知識(shí)本身也是一種載體，它承載著某種思想，教師課堂上的任務(wù)則是透過書本知識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)隱藏在知識(shí)背后的深刻思想[7].基于以上分析，筆者從問題驅(qū)動(dòng)的角度，采取啟發(fā)學(xué)生思維、引導(dǎo)學(xué)生積極主動(dòng)探究的教學(xué)方式，對(duì)向量加法運(yùn)算的教學(xué)作出以下設(shè)想和思考.

4.1 引入概念，明確新知價(jià)值

首先從向量運(yùn)算產(chǎn)生的本原問題出發(fā)，根據(jù)學(xué)生已有的知識(shí)設(shè)置啟發(fā)性問題，在復(fù)習(xí)向量概念的同時(shí)，讓學(xué)生明白為什么要學(xué)習(xí)向量加法運(yùn)算.

問題1三角形中位線定理是平面幾何中的一個(gè)重要定理.你能用上節(jié)課學(xué)習(xí)的向量概念來描述它嗎？

圖6

設(shè)計(jì)意圖利用三角形中位線定理引入，首先有效地復(fù)習(xí)了前面學(xué)習(xí)的向量概念、相等向量與共線向量等知識(shí)，為學(xué)習(xí)新知做好理論基礎(chǔ).

設(shè)計(jì)意圖教科書在章節(jié)起始指出：“如果沒有運(yùn)算，向量只是一個(gè)路標(biāo).因?yàn)橛辛诉\(yùn)算，向量的力量無限”[1].但是，學(xué)生已有關(guān)于運(yùn)算的認(rèn)識(shí)，并不能真正理解這句富有內(nèi)涵意義的話中的“力量”.通過這個(gè)設(shè)問不僅自然地引入向量的加法，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，也讓學(xué)生知道利用向量可以建立一種新的解決幾何問題的方法.明確學(xué)習(xí)向量加法運(yùn)算的意義和價(jià)值.

4.2 形成概念，揭示向量加法的本質(zhì)

問題3把2個(gè)蘋果，放入已有3個(gè)蘋果的箱子里，箱子里有幾個(gè)蘋果？你能根據(jù)這個(gè)例子描述2+3=5中的加法運(yùn)算規(guī)則嗎？

設(shè)計(jì)意圖當(dāng)學(xué)生看到這個(gè)問題時(shí)，會(huì)對(duì)老師提出如此簡單的問題充滿不解，甚至在課堂上會(huì)出現(xiàn)笑場.但是當(dāng)讓他們描述數(shù)的加法運(yùn)算規(guī)則時(shí)，才明白這個(gè)小問題蘊(yùn)含著大道理.求兩個(gè)數(shù)和的運(yùn)算叫做數(shù)的加法.只有大小屬性的數(shù)量相加的規(guī)則是數(shù)量多少的累計(jì). 當(dāng)把2個(gè)蘋果加上3個(gè)蘋果后，所得結(jié)果改變了3或2的特性，使得他們?cè)谠袀€(gè)數(shù)的基礎(chǔ)上增加了2或3，而得到兩數(shù)的和5.類比兩個(gè)數(shù)相加的定義，兩個(gè)向量和的運(yùn)算叫做向量的加法.同樣地，向量要滿足一定的運(yùn)算規(guī)則，進(jìn)而給出下面的問題.

問題4向量既有大小又有方向，兩個(gè)向量相加遵循什么樣的規(guī)則呢？

設(shè)計(jì)意圖強(qiáng)調(diào)向量的本質(zhì)屬性，提示學(xué)生向量加法的規(guī)則受大小和方向兩個(gè)條件約束.這個(gè)問題引發(fā)學(xué)生思考，學(xué)生首先想到的是從向量幾何表示上直觀探討，將兩個(gè)有向線段相加.可是由于有向線段的方向性，卻不能像只有大小的線段那樣累加.學(xué)生的認(rèn)知沖突，使得他們明白向量的加法與數(shù)的加法不同，應(yīng)有屬于自己的規(guī)則，進(jìn)而理解加法運(yùn)算的本質(zhì).

設(shè)計(jì)意圖如果直接利用物理運(yùn)動(dòng)的合成告訴給學(xué)生向量加法法則，學(xué)生只能被動(dòng)的接受，而不能真正理解向量加法的規(guī)則.這里遵循歷史上向量加法產(chǎn)生的過程，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)知識(shí)的思維過程，將學(xué)習(xí)知識(shí)的過程轉(zhuǎn)化為學(xué)生對(duì)知識(shí)的再創(chuàng)造過程.通過再創(chuàng)造獲得的知識(shí)與能力要比以被動(dòng)方式獲得者，理解得更好也更容易保持[8].

4.3 分析概念，探討向量加法運(yùn)算定律

問題7我們討論了兩個(gè)向量相加的規(guī)則，如果在同一個(gè)平面內(nèi)，當(dāng)多個(gè)向量相加時(shí)采取什么方式呢？

設(shè)計(jì)意圖學(xué)生已經(jīng)明白數(shù)的相加是個(gè)數(shù)的累計(jì)，最終成為一個(gè)數(shù).并且多個(gè)數(shù)相加具有結(jié)合律和交換律的特點(diǎn).這里給出平面內(nèi)多個(gè)向量相加的問題，可以讓學(xué)生探討出向量加法滿足的運(yùn)算規(guī)律.顯然當(dāng)多個(gè)向量共線時(shí)，其和仍為一個(gè)向量；當(dāng)多個(gè)向量不共線時(shí)，因?yàn)閮蓚€(gè)向量可以首尾相連相加而成一個(gè)向量，因此，平面內(nèi)多個(gè)向量相加最終轉(zhuǎn)化為兩個(gè)向量相加，如圖7.這里引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，無論采取什么樣的結(jié)合方式，其結(jié)果都是一樣的，由此推出向量加法滿足結(jié)合律，即(a+b)+c=a+(b+c).可進(jìn)一步提出兩個(gè)向量相加滿足交換律嗎？進(jìn)而得到向量加法的運(yùn)算律.

圖7

4.4 應(yīng)用概念，利用向量加法解決問題

例1利用向量法證明三角形中位線定理.

圖8

例2長江兩岸之間沒有大橋的地方，常常通過輪渡進(jìn)行運(yùn)輸.如圖8所示，一艘船從長江南岸A點(diǎn)出發(fā)，以5km/h的速度向垂直于對(duì)岸的方向行駛，同時(shí)江水的速度為向東2km/h.

(1)試用向量表示江水的速度、船速以及船實(shí)際航行的速度；

(2)求船實(shí)際航行的速度的大小(保留兩個(gè)有效數(shù)字)與方向(用與江水速度間的夾角表示，精確到度).

設(shè)計(jì)意圖通過對(duì)引例中的問題解決，進(jìn)一步強(qiáng)化學(xué)生對(duì)向量加法運(yùn)算的認(rèn)識(shí)，并能感受到向量法所帶來的直接利用代數(shù)運(yùn)算解決幾何問題的簡潔性.例2的設(shè)置，讓學(xué)生體會(huì)向量與向量加法運(yùn)算在實(shí)際生活中的應(yīng)用價(jià)值.

4.5 深化概念，揭示向量加法蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，為進(jìn)一步的學(xué)習(xí)做好鋪墊

問題8多個(gè)共線向量相加的結(jié)果是一個(gè)向量.而在同一平面內(nèi)的不共線向量相加，最終結(jié)果轉(zhuǎn)化為兩個(gè)向量相加，造成這種現(xiàn)象的原因是什么呢？

設(shè)計(jì)意圖數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)和掌握具有由易到難、連續(xù)性的特點(diǎn).盡管高中數(shù)學(xué)沒有線性相關(guān)和線性無關(guān)的概念，但是應(yīng)讓他們感悟這種思想. 有研究指出，在大學(xué)中很多學(xué)生認(rèn)為向量組的線性相關(guān)性是線性代數(shù)難點(diǎn)之一[9].如果在初始學(xué)習(xí)向量理論時(shí)，不關(guān)注這種思想的教學(xué)，當(dāng)學(xué)生以后進(jìn)入大學(xué)后，將很難理解高度抽象的n維向量組的線性關(guān)系.在教學(xué)時(shí)可以不給出概念，但可用通俗的語言將數(shù)學(xué)思想表達(dá)出來.共線向量相加得到一個(gè)結(jié)果，其本質(zhì)是因?yàn)楣簿€向量之間可以互相表示，而不共線的向量任意兩個(gè)之間都不能互相表示，所以它們的位置關(guān)系不能放置在同一直線上.基于這些原因的分析，就需要將向量的加法推廣到向量的數(shù)乘運(yùn)算上，這里可以先把結(jié)論告訴給學(xué)生，為向量數(shù)乘運(yùn)算的學(xué)習(xí)埋下伏筆.

5 總結(jié)

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，借助實(shí)證結(jié)論或生活情境有利于學(xué)生對(duì)抽象數(shù)學(xué)知識(shí)的認(rèn)識(shí)和理解.但是，無論采取什么樣的教學(xué)方式，都不能偏離了數(shù)學(xué)的本質(zhì).正如美國數(shù)學(xué)家赫思所說：“問題并不在于教學(xué)的最好方式是什么，而在于數(shù)學(xué)到底是什么；如果不正視數(shù)學(xué)的本質(zhì)問題，便解決不了關(guān)于教學(xué)的爭議”.[10]數(shù)學(xué)教學(xué)不只是簡單的知識(shí)講授或傳遞.數(shù)學(xué)教育的目的是通過對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生獲得蘊(yùn)含在知識(shí)背后的數(shù)學(xué)思想.這就要求教師首先真正理解數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，只有教師具有充分的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)知識(shí)，才能做到有效的數(shù)學(xué)教學(xué)[11].