安學(xué)保

(濟(jì)南市教育教學(xué)研究院 250002)

1 背景分析

2020年1月，教育部考試中心發(fā)布《中國高考評(píng)價(jià)體系》，意味著發(fā)軔于2014年的新高考綜合改革正式落地生根，高考評(píng)價(jià)體系成為了“后考試大綱”時(shí)期的命題和考試的實(shí)踐指南.

《中國高考評(píng)價(jià)體系》包含“一核”、“四層”、“四翼”.“一核”為核心功能：“立德樹人、服務(wù)選材、引導(dǎo)教學(xué)”，回答了“為什么考”的問題；“四層”為考查內(nèi)容：“基礎(chǔ)知識(shí)、關(guān)鍵能力、學(xué)科素養(yǎng)、核心價(jià)值”，回答“考什么”的問題；“四翼”為考查要求：“基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用型、創(chuàng)新性”，回答了“怎么考”的問題.而情境是高考考查的載體，承載考查內(nèi)容，實(shí)現(xiàn)考查要求.其中“一核”作為“金線”貫穿始終，能力素養(yǎng)取向?yàn)椤般y線”，常做常新，“四層”、“四翼”則以情境作為考查的載體，是“金線”和“銀線”的“串聯(lián)線”，緊守“金線”和“銀線”思維.

2019年11月，教育部考試中心依據(jù)新高考評(píng)價(jià)體系的指標(biāo)，為山東省命制了適應(yīng)性考試的試題，傳遞了重要的信號(hào)：新高考試題命制將更加重視試題情境的設(shè)計(jì)和創(chuàng)新，増加試題的開放性和探究性，加強(qiáng)獨(dú)立思考能力的考査.創(chuàng)新試題呈現(xiàn)方式，設(shè)置多選題、邏輯題、數(shù)據(jù)分析題、結(jié)構(gòu)不良試題、開放題、填空題的一題兩空等新題型，突出數(shù)學(xué)應(yīng)用、滲透數(shù)學(xué)文化內(nèi)涵、培養(yǎng)核心價(jià)值觀.

2 試題分析

2.1 整體分析

2020年的新高考I卷數(shù)學(xué)試題落實(shí)立德樹人、服務(wù)選材和引導(dǎo)教學(xué)的根本任務(wù)，在2019年全國卷的基礎(chǔ)上，從考查內(nèi)容、題型結(jié)構(gòu)、試題情境以及難度等多個(gè)角度繼續(xù)進(jìn)行了科學(xué)調(diào)控和改革創(chuàng)新，推進(jìn)試題的價(jià)值引領(lǐng)和素養(yǎng)導(dǎo)向.更加重視數(shù)學(xué)本質(zhì)，突出理性思維、數(shù)學(xué)應(yīng)用、數(shù)學(xué)探索、數(shù)學(xué)文化等的引領(lǐng)作用.著重突出對(duì)關(guān)鍵數(shù)學(xué)能力的考查，充分體現(xiàn)了高考數(shù)學(xué)的科學(xué)選拔和育人導(dǎo)向的雙重作用.

2.2 新理念、新突破

在《中國高考評(píng)價(jià)體系》的指導(dǎo)之下，新高考I卷呈現(xiàn)出新的命題理念——價(jià)值引領(lǐng)、素養(yǎng)導(dǎo)向、能力為重、知識(shí)為基，在“四層”“四翼”的考查內(nèi)容和考查要求上都進(jìn)行了有效的嘗試和突破.

2.2.1 新內(nèi)容

過渡時(shí)期的數(shù)學(xué)科考試依據(jù)《新高考過渡期數(shù)學(xué)科考試范圍說明》，重點(diǎn)關(guān)注實(shí)驗(yàn)版高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)和2017年版數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中的公共內(nèi)容，并將這些內(nèi)容確定為過渡時(shí)期的數(shù)學(xué)科考試的重點(diǎn)內(nèi)容.全面考查基礎(chǔ)知識(shí)，注重對(duì)主干知識(shí)，特別是對(duì)與大學(xué)教學(xué)相銜接內(nèi)容的考查，助推了教、學(xué)、考的有機(jī)銜接.同時(shí)關(guān)注文理同卷的特點(diǎn)，關(guān)注高校對(duì)人才的選拔要求和數(shù)學(xué)在人才培養(yǎng)中的作用.

2.2.2 新結(jié)構(gòu)

與山東省新高考模擬試卷提供給我們的信息一致，本次試卷創(chuàng)新了題型設(shè)計(jì)，優(yōu)化了試題結(jié)構(gòu)，采用8個(gè)單選題40分，4個(gè)多選題20分，4個(gè)填空題20分，再加6個(gè)解答題70分的結(jié)構(gòu)，總題量22個(gè)題，取消了選考題，設(shè)置了開放式的解答題.

多選題的引入，為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和能力在不同層次的學(xué)生提供了發(fā)揮空間，可以更好地體現(xiàn)區(qū)分選拔功能；結(jié)構(gòu)不良試題具有很好的開放性，對(duì)數(shù)學(xué)理解能力、數(shù)學(xué)探究能力的考查能夠起到積極的作用，引導(dǎo)學(xué)生更加注重思維的靈活性及策略選擇.

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．

本題設(shè)計(jì)了條件開放，同時(shí)結(jié)論也開放，增強(qiáng)試題的探究性，考查學(xué)生熟練運(yùn)用正弦定理和余弦定理求解三角形的基本方法，考查學(xué)生運(yùn)算能力.試題難度不高，注重對(duì)學(xué)生探索精神和自主學(xué)習(xí)品質(zhì)的考查，優(yōu)化學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的能力.

2.2.3 新調(diào)控

由于是山東新高考、文理合卷的第一年，過渡時(shí)期的試題命制整體顯現(xiàn)了“低起點(diǎn)、多層次、高落差”等特點(diǎn).“低起點(diǎn)”體現(xiàn)為試卷在選擇題、填空題、解答題部分分別進(jìn)行了系統(tǒng)設(shè)計(jì)，起始題起點(diǎn)低、入口寬，面向全體學(xué)生.“多層次”體現(xiàn)為試題的難度設(shè)計(jì)上重視難度和思維的層次性，給學(xué)生提供多種分析問題和解決問題的途徑.“高落差”體現(xiàn)為重視數(shù)學(xué)科高考的綜合性、創(chuàng)新性，在試題的難度設(shè)計(jì)上不僅有層次性，而且在思維的靈活性、深刻性，方法的綜合性、探究性和創(chuàng)造性等方面，科學(xué)把握試題的區(qū)分度，發(fā)揮數(shù)學(xué)科高考的選拔性功能.

這是《中國高考評(píng)價(jià)體系》指導(dǎo)新高考數(shù)學(xué)試題命制進(jìn)行的初步嘗試，試題較好地把握了穩(wěn)定與創(chuàng)新、穩(wěn)定與改革的關(guān)系，發(fā)揮了高考數(shù)學(xué)的選拔功能和良好的導(dǎo)向作用.

例2(解答題21題)已知函數(shù)f(x)=aex-1-lnx+lna．

(1)當(dāng)a=e時(shí)，求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成三角形的面積；

(2)若f(x)≥1，求a的取值范圍．

本題第(1)問給定參數(shù)a的值，考查學(xué)生對(duì)函數(shù)的求導(dǎo)法則和導(dǎo)數(shù)四則運(yùn)算法則及導(dǎo)數(shù)的幾何意義等基本知識(shí)和方法的掌握程度，數(shù)“低起點(diǎn)”、“低層次”的命題設(shè)計(jì).第(2)問要求考生利用恒成立的條件求出參數(shù)a的取值范圍，可以考慮直接對(duì)a進(jìn)行分類討論，必要條件探路，構(gòu)造同構(gòu)式，利用指數(shù)、對(duì)數(shù)切線不等式進(jìn)行放縮，或者利用隱值代換等多個(gè)角度進(jìn)行分析、論證.方法靈活，綜合性強(qiáng)，對(duì)學(xué)生運(yùn)用函數(shù)和導(dǎo)數(shù)知識(shí)尋求正確的運(yùn)算途徑并進(jìn)行合理論證的的能力提出了較高的要求.綜合考查邏輯推理、運(yùn)算求解等關(guān)鍵能力，是“多層次”、“高落差”的命題設(shè)計(jì)，彰顯試題區(qū)分和選拔的功能.

2.2.4 新情境

新高考I卷將“四層”的考查內(nèi)容、“四翼”的考查要求與國家經(jīng)濟(jì)社會(huì)發(fā)展、科學(xué)技術(shù)進(jìn)步、生產(chǎn)生活實(shí)際緊密相連，創(chuàng)新試題情境.全卷22道試題中，除了數(shù)學(xué)課程學(xué)習(xí)情境、數(shù)學(xué)探索創(chuàng)新情境外，共出現(xiàn)了7道生活實(shí)踐情境的題目，突出“應(yīng)用性”和“創(chuàng)新性”的考查要求和命題導(dǎo)向.

(1)結(jié)合“戰(zhàn)疫”真實(shí)情境，考查數(shù)學(xué)建模能力

例3(單選題第6題)基本再生數(shù)R0與世代間隔T是新冠肺炎的流行病學(xué)基本參數(shù)．基本再生數(shù)指一個(gè)感染者傳染的平均人數(shù)，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時(shí)間．在新冠肺炎疫情初始階段，可以用指數(shù)模型：I(t)=ert描述累計(jì)感染病例數(shù)I(t)隨時(shí)間t(單位：天)的變化規(guī)律，指數(shù)增長率r與R0,T近似滿足R0=1+rT．有學(xué)者基于已有數(shù)據(jù)估計(jì)出R0=3.28,T=6．據(jù)此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計(jì)感染病例數(shù)增加1倍需要的時(shí)間約為(ln 2≈0.69)

A.1.2天 B.1.8天 C.2.5天 D.3.5天

本題以新冠肺炎疫情初始階段，累計(jì)感染病例數(shù)的數(shù)學(xué)模型的研究成果為試題情境，考查指數(shù)運(yùn)算、對(duì)數(shù)運(yùn)算法則，以及從資料中提取信息的能力、運(yùn)算求解能力、數(shù)學(xué)建模能力.

解答題的第19題，也通過數(shù)學(xué)模型的形式，在考查學(xué)生獨(dú)立性檢驗(yàn)的相關(guān)知識(shí)和方法的同時(shí)，考查學(xué)生能在實(shí)際情境中從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、建立模型，確定參數(shù)、計(jì)算求解，檢驗(yàn)結(jié)果、改進(jìn)模型，能對(duì)現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題、用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問題.

(2)突出學(xué)科綜合情境，考查數(shù)學(xué)探究能力

例4(多選題第12題)信息熵是信息論中的一個(gè)重要概念，設(shè)隨機(jī)變量X所有可能的取值為1,2,…,n，且

A．若n=1，則H(X)=0

B．若n=2，則H(X)隨著p1的增大而增大

D．若n=2m，隨機(jī)變量Y所有可能的取值為1,2,…,m，且P(Y=j)=pi+p2m+1-j(j=1,2,…,m)，則H(X)≤H(Y).

本題的情境為信息論中的重要概念信息熵，注重了數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的綜合與交叉，作為開放式的多選題，對(duì)學(xué)生思維的考查更加深入，區(qū)分更加精細(xì).本題重點(diǎn)考查對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)、函數(shù)的性質(zhì)和概率的相關(guān)知識(shí)，對(duì)學(xué)生獲取新知識(shí)的能力，對(duì)新問題的理解和探究能力，邏輯推理能力做了重點(diǎn)考查.

當(dāng)n=1時(shí)，H(X)=1·log21=0，很容易確定選項(xiàng)A正確，可以輕松拿到3分作為“保底”分?jǐn)?shù)，從而提高了作為多選題壓軸題的得分率.但是要想拿到滿分5分，則需要較強(qiáng)的綜合能力和耗費(fèi)更多的時(shí)間，學(xué)生可以根據(jù)自身的具體情況，選擇保分策略或是得分策略，所以非常有利于區(qū)分高能力的考生.這也是新高考試題“低起點(diǎn)、多層次、高落差”特征的又一體現(xiàn).

(3)重視中華傳統(tǒng)文化情境，考查閱讀理解和空間想象能力

單選題的第4題，在2019年的“斷臂維納斯”的基礎(chǔ)上，繼續(xù)創(chuàng)新情境，設(shè)計(jì)了中國古代測定時(shí)間的儀器——日晷，突出中國古代智慧，傳揚(yáng)中華傳統(tǒng)文化，提升民族自豪感.題目閱讀量大，放在試卷的這個(gè)位置，同時(shí)考查學(xué)生的心理抗壓能力.

例5日晷是中國古代用來測定時(shí)間的儀器，利用與晷面垂直的晷針投射到晷面的影子來測定時(shí)間.把地球看成一個(gè)球(球心記為O)，地球上一點(diǎn)A的緯度是指OA與地球赤道所在平面所成的角，點(diǎn)A處的水平面是指過點(diǎn)A且與OA垂直的平面，在點(diǎn)A處放置一個(gè)日晷，若晷面與赤道所在平面平行，點(diǎn)A處的緯度為北緯40°，則晷針與點(diǎn)A處的水平面所成的角為( )

A.20° B.40° C.50° D.90°

本題是將古代測定時(shí)間的儀器——日晷的設(shè)計(jì)原理作為試題情境，以空間中的線線關(guān)系、線面關(guān)系、空間線面角的概念作為知識(shí)載體，考查學(xué)生的閱讀理解能力、理性思維能力和空間想象能力.

理性思維是指按照對(duì)象本身的規(guī)律來認(rèn)識(shí)對(duì)象，不受制于無關(guān)因素的干擾，以概念、判斷、推理的方式進(jìn)行邏輯的思考，從而得出概念清晰、邏輯嚴(yán)密的結(jié)論.本題只要能理解題意中表述的各種線與面之間的關(guān)系，并能根據(jù)條件做出正確圖形，能正確地分析出圖形中基本元素及其相互關(guān)系，能對(duì)圖形進(jìn)行分解、組合，會(huì)運(yùn)用圖形與圖表等手段形象地揭示問題的本質(zhì)，就可以口算出答案.本題重思維能力的考查，輕計(jì)算，對(duì)學(xué)生是一個(gè)不小的“考驗(yàn)”.

(4)創(chuàng)設(shè)“五育”情境，實(shí)現(xiàn)價(jià)值引領(lǐng)

試題重視落實(shí)“立德樹人”的根本任務(wù)，繼續(xù)發(fā)揮數(shù)學(xué)文化情境育人的價(jià)值，“五育”并舉，重視全面育人.

單選題第5題以中學(xué)生積極參加體育鍛煉為情境，考查相對(duì)簡單的集合運(yùn)算，體現(xiàn)了對(duì)學(xué)生的體育教育的積極的導(dǎo)向作用.提升學(xué)生的健康和運(yùn)動(dòng)意識(shí)，吸引學(xué)生積極參加體育鍛煉，享受運(yùn)動(dòng)中的樂趣，增強(qiáng)體質(zhì)，健全人格.

填空題第15題，將平面幾何問題融入到“勞動(dòng)實(shí)習(xí)”這一社會(huì)生產(chǎn)勞動(dòng)實(shí)踐情境中，在考查幾何知識(shí)的同時(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，發(fā)揮高考試題在培養(yǎng)勞動(dòng)觀念中的引領(lǐng)作用，引導(dǎo)學(xué)生弘揚(yáng)勞動(dòng)精神.

生活實(shí)踐情境是需要學(xué)生將問題情境與學(xué)科知識(shí)、方法建立聯(lián)系，應(yīng)用學(xué)科工具解決問題.生活實(shí)踐情境關(guān)注與其他學(xué)科和社會(huì)實(shí)踐的關(guān)聯(lián)，是考查學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用素養(yǎng)、理性思維素養(yǎng)和數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)的重要載體.

2.2.5 新導(dǎo)向

《中國高考評(píng)價(jià)體系》要求高考命題堅(jiān)持素養(yǎng)導(dǎo)向.數(shù)學(xué)試題要以數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)為載體，重點(diǎn)考查學(xué)生的理性思維素養(yǎng)、數(shù)學(xué)應(yīng)用素養(yǎng)、數(shù)學(xué)探索素養(yǎng)和數(shù)學(xué)文化素養(yǎng).理性思維是在理解數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)思想方法、本質(zhì)規(guī)律以及內(nèi)部聯(lián)系的基礎(chǔ)上，將其“靈魂”內(nèi)化的結(jié)果.試卷中多個(gè)題目的設(shè)計(jì)直擊數(shù)學(xué)核心概念，突出數(shù)學(xué)本質(zhì).

(1)通過探尋數(shù)學(xué)本質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力

(1)求C的方程；

(2)點(diǎn)M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D為垂足．證明：存在定點(diǎn)Q，使得|DQ|為定值．

2020年新高考I卷將傳統(tǒng)的解析幾何問題設(shè)置在了壓軸題的位置，突出核心知識(shí)和常規(guī)方法的考查.本題以橢圓知識(shí)為背景，通過橢圓上的定點(diǎn)，構(gòu)造以該定點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的橢圓內(nèi)接三角形(一般稱為富瑞吉定理)設(shè)計(jì)試題情境，考查橢圓的幾何性質(zhì)、解析幾何的幾何背景及幾何關(guān)系的理解和解析.本題考查的關(guān)鍵能力有邏輯思維能力、數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和創(chuàng)新能力.

理性思維是按照數(shù)學(xué)對(duì)象本身的規(guī)律來認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)對(duì)象，即不受制于無關(guān)因素的干擾，以概念、判斷、推理的方式進(jìn)行邏輯的思考，從而得出概念清晰、邏輯嚴(yán)密的結(jié)論.解析幾何是其重要的考查載體，對(duì)算理分析、算法優(yōu)化的要求非常高.通過運(yùn)算尋找?guī)缀侮P(guān)系，探尋數(shù)學(xué)問題的本質(zhì).

(2)借助數(shù)學(xué)核心概念，考查空間想象能力

例7(解答題20題)如圖，四棱錐P-ABCD的底面為正方形，PD⊥底面ABCD．設(shè)平面PAD與平面PBC的交線為l.

(1)證明：l⊥平面PDC；

(2)已知PD=AD=1，Q為l上的點(diǎn)，求PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值.

本題設(shè)計(jì)在四棱錐(《九章算術(shù)》稱“陽馬”)中探求兩平面的交線，以及直線與平面的位置關(guān)系.考查學(xué)生對(duì)兩平面交線的概念和基本性質(zhì)、線面平行的性質(zhì)定理以及線面垂直的判定定理、線面角的定義和求法等知識(shí)和方法的掌握和應(yīng)用.本題對(duì)學(xué)生的空間想象能力、邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力等關(guān)鍵能力做了重點(diǎn)考查，同時(shí)對(duì)數(shù)學(xué)語言表達(dá)能力的邏輯性和條理性提出了較高的要求.

本題第(1)問的關(guān)鍵是抓住“兩平面的交線”的概念，抓住l必定過P點(diǎn)及一定與AD(或BC)平行，即可輕松搞定.與模擬卷第19題考查異面直線公垂線的概念的命題思路類似，試題更注重考查數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)本質(zhì)，甄別學(xué)生的素養(yǎng)導(dǎo)向.

試卷中的填空題16題，結(jié)合底面為菱形的直四棱柱，考查球與平面的交線問題，對(duì)“交線”這一概念的理解和應(yīng)用同樣是破解此題的關(guān)鍵.

3 教學(xué)建議

新高考數(shù)學(xué)試題(新高考I卷)在山東省新高考模擬卷的基礎(chǔ)上，為我們更清晰地指明了《中國高考評(píng)價(jià)體系》指導(dǎo)下的高考命題的“新規(guī)則”.

高考命題已經(jīng)實(shí)現(xiàn)了改革上的突破，原有的復(fù)習(xí)套路、試題類型已經(jīng)不適應(yīng)改革的要求.在《中國高考評(píng)價(jià)體系》的指導(dǎo)下，“反刷題、反套路、反押題”將是新高考數(shù)學(xué)試題一以貫之的主題.新高考的復(fù)習(xí)備考要培養(yǎng)學(xué)生解決“新題”、“長題”、“難題”的能力，要重視獨(dú)立思考、邏輯推理、數(shù)學(xué)應(yīng)用、數(shù)學(xué)閱讀與表達(dá)等關(guān)鍵能力的培養(yǎng)，不要盲目追求題量，而要注重引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生過程，以及問題的發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決的全過程，充分挖掘典型問題的內(nèi)在價(jià)值與遷移功能，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性與創(chuàng)新性.

我們解決數(shù)學(xué)問題，是為了更好的理解數(shù)學(xué)，而理解數(shù)學(xué)，也是為了更好的解決數(shù)學(xué)問題.理解數(shù)學(xué)意味著讓學(xué)生知其然，知其所以然，何以知其所以然，何以由然.《中國高考評(píng)價(jià)體系》指導(dǎo)下的新高考數(shù)學(xué)教學(xué)和復(fù)習(xí)備考，要關(guān)注數(shù)學(xué)概念的理解，關(guān)注數(shù)學(xué)本質(zhì)的探求，強(qiáng)化數(shù)學(xué)的整體性、邏輯的連貫性、思想的一致性、方法的普適性和思維的系統(tǒng)性.關(guān)注數(shù)學(xué)情境，關(guān)注學(xué)生從“解題”到“解決問題”的能力的培養(yǎng).