2020年8月號問題解答

(解答由問題提供人給出)

圖1

2556如圖1，已知Rt△MNT，∠MTN=90°，點O是MN中點，點I、J是TM、TN上的點，滿足OI⊥IJ，點X是IJ中點，點Y是MN上的點，滿足∠NIY=∠TMN，證明：XY⊥MN.

(安徽省滁州中學 李偉健 239000)

圖2

證明如圖2，延長IO至點Q，使得OQ=IO，

連接QM、QN、QJ，

則四邊形IMQN是平行四邊形，

則∠TNQ=90°，

所以點I、J、N、Q共圓，

得∠IQJ=∠INJ.

連接OX，那么OX∥QJ，

所以∠IOX=∠IQJ，

得∠IOX=∠INJ，則∠IXO=∠TIN，

又∠NIY=∠TMN，

所以∠IYM=∠TIN，則∠IXO=∠IYM，

得點I、Y、O、X共圓，

所以∠XYO=90°，即XY⊥MN.

2557已知正數(shù)a，b，c滿足a+b+c=3，求證：

(河南省南陽師范學院軟件學院2017級9班 李居之 孫文雪 473061)

證明不妨令x=ab+bc+ca，

由舒爾不等式及其變形得

(a+b+c)3-4(a+b+c)(ab+bc+ca)+9abc≥0，

所以3abc≥4x-9，

則所證不等式等價于

abc(x+3)+48≥9(x+3)，

所以只需證明

(x+3)(4x-9)+144≥27(x+3)

?4x2-24x+36≥0

?(x-3)2≥0顯然成立，

從而原不等式成立，

當且僅當a=b=c=1時等號成立.

(浙江省慈溪市慈溪實驗中學 華漫天 315300)

解不妨令m=x+y+z，

所以x、y是方程

的兩根

顯然m-z>0，

則m2-11zm+14z2≤0，

yzm+zxm+xym=14xyz，

而(x,z)=1，(y,z)=1，所以z|m；

代入原方程逐一檢驗知，

代入得

則5x2-26xy+5y2=0，得x=5y或y=5x，

解得原方程的解為(10,2,3)或(2,10,3).

(河南質(zhì)量工程職業(yè)學院 李永利 467001)

證明設△ABC的半周長為p，

由上式可知，(1)式等價于

(2)

由于(b+c)2-a2=(b+c-a)(b+c+a)>0，

于是(2)式等價于

(b+c)2(2b2+2c2-a2)

≥2(b2+c2)[(b+c)2-a2]

?-a2(b+c)2≥-2a2(b2+c2)

?(b+c)2≤2(b2+c2)?2bc≤b2+c2.

由二元均值不等式b2+c2≥2bc可知上式顯然成立，故(2)式成立，從而(1)式成立.

2560⊙O的半徑等于等邊△ABC的高，且⊙O在BC邊上滾動時與AB、AC兩邊將于E、F，求證：無論⊙O滾到什么位置，△OEF總是等邊三角形.

(安徽省淮南三中 王秉春 232007)

證明設⊙O滾到如下圖所示的位置，它與BC相切于D點，連結OD、OA，因為OD等于△ABC的高，那么OA∥BC，此時∠OAE=180°-∠ABC=120°,∠OAF=60°.

在△OEA中，由正弦定理，得

在△OAF中，由正弦定理，得

因為OE=OF，則sin∠AEO=sin∠AFO.

顯然∠AEO、∠AFO都是銳角，∠AEO=∠AFO.那么E、F在線段OA同側，對OA弦等角，于是A、E、F、O四點共圓.∠EOF=∠EAF=60°,又OE=OF，故△OEF為等邊三角形.

2020年9月號問題

(來稿請注明出處——編者)

2561已知(如圖)，在△ABC中，點D1、D2在BC上，且∠BAD1=∠CAD2.過點D1、D2分別作AC的平行線D1E1、D2E2，與AB分別交于點E1、E2.

(北京市朝陽區(qū)教育研究中心 蔣曉東 100028；北京市朝陽區(qū)芳草地國際學校富力分校

郭文征 100121)

2562設a，b，c> 0，且a+b+c=3，證明:

(河南輝縣一中 賀基軍 453600)

2563△ABC，E、F分別在AB、AC上且EF∥BC交△ABF的外接圓于D，EG∥AC交CD于G，求證：∠ABF=∠CBG

(江西師范高等?？茖W校 王建榮 335000)

(安徽省太和縣第二小學 任迪慧 236630 )

2565如圖1，圓上依次有A1、A2、A3、A4、A5五個點，連結A1A3、A3A5、A5A2、A2A4、A4A1，得一五角星，A1A2、A3A4交于A,A1A4、A3A5交于B，若過點A1的圓的切線和A2A5的延長線交于C，則A、B、C三點共線.

圖1

(成都市金牛區(qū)蜀江路369號2-2-35 張殿書 610036)