林慶澤

（中山大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，廣東 廣州 510275）

1 預(yù)備知識(shí)

在無(wú)窮維可分的復(fù)Hilbert空間上的每一個(gè)有界線性算子是否有非平凡不變子空間至今仍是一個(gè)公開問(wèn)題。在這一方面最突出的成果是在20世紀(jì)70年代，一位年輕的前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家Lomonosov通過(guò)構(gòu)造一些新的技巧證明了：在無(wú)窮維Banach空間上，任何一個(gè)與非零緊算子可交換的有界線性算子一定有一個(gè)非平凡不變子空間[1]。

用H(Δ)表示復(fù)平面單位圓盤Δ:={z:|z|＜1}上所有解析函數(shù)f所組成的函數(shù)空間。當(dāng)1 ≤p ＜∞時(shí)，用Hp表示復(fù)平面單位圓盤Δ上所有滿足

的解析函數(shù)f所組成的Hardy空間[2]。

當(dāng)p= ∞時(shí)，用H∞表示復(fù)平面單位圓盤Δ上有界解析函數(shù)f組成的函數(shù)空間，其范數(shù)定義為：

另一方面，數(shù)學(xué)家們開始研究具體算子在具體函數(shù)空間上的不變子空間問(wèn)題。Arne Beurling于1949年完全解決了Hardy空間上shift算子(Mzf)(z):= zf(z)作用下的不變子空間問(wèn)題，這一結(jié)果是泛函分析與復(fù)分析領(lǐng)域中的一個(gè)重大的突破。在此基礎(chǔ)上，許多學(xué)者建立了不同的解析函數(shù)空間上的shift 算子作用下的（類似于Hardy 空間的）Beurling型定理[3]。

對(duì)于任意的g ∈H(Δ)，經(jīng)典的Volterra型算子Tg及其伴侶算子Sg分別定義為：

1988 年，Richter 首次刻畫了shift 算子Mz在Dirichlet 空間上的不變子空間[4]。1996 年，Aleman 等人給出了shift算子在Bergman空間上的不變子空間的刻畫[5]。2008年，Aleman和Korenblum系統(tǒng)地研究了Hardy空間以及Bergman空間上的Volterra型算子對(duì)應(yīng)的不變子空間問(wèn)題[6]。

當(dāng)1 ≤p ＜∞時(shí)，導(dǎo)數(shù)Hardy 空間Sp為復(fù)平面單位圓盤Δ 上所有滿足f ′∈Hp的解析函數(shù)f 組成的函數(shù)空間，其范數(shù)定義為：

容易驗(yàn)證Sp是一個(gè)Banach空間，而且可以證明Sp?H∞，關(guān)于導(dǎo)數(shù)Hardy空間Sp的一些基本性質(zhì)可參考文獻(xiàn)[7-9]。

2015 年，Cuckovic 等人通過(guò)作用在導(dǎo)數(shù)Hardy 空間的一個(gè)子空間上的shift 算子的不變子空間來(lái)給出shift算子加上Volterra算子在Hardy空間H2上的不變子空間的完整刻畫[10]。2018年，Cuckovic等人進(jìn)一步刻畫了shift 算子加上整數(shù)倍Volterra 算子在Hardy-Hilbert 空間H2上的不變子空間[11]。Lin 將其結(jié)果推廣至一般的Hardy空間[12]。Aleman、Cima、Siskakis和Korenblum在關(guān)于Tg作用在各種函數(shù)空間上的問(wèn)題做出了一系列成果[6，13-15]。與本研究相關(guān)的一些其它算子的不變子空間的研究工作可參考文獻(xiàn)[16-18]。

目前對(duì)于一般的Volterra型算子，其不變子空間是較難刻畫的，因此本研究主要通過(guò)shift算子的相關(guān)性質(zhì)，研究了最經(jīng)典的兩個(gè)Volterra型算子在導(dǎo)數(shù)Hardy空間上的不變子空間問(wèn)題并首次給出了它們的結(jié)構(gòu)的刻畫。最后，本研究留下一個(gè)待解問(wèn)題，期待未來(lái)在這個(gè)問(wèn)題上有實(shí)質(zhì)性的進(jìn)展。

2 經(jīng)典Volterra型算子在導(dǎo)數(shù)Hardy空間上的不變子空間

定理1 若1 ≤p ＜∞，則M是算子Tz在導(dǎo)數(shù)Hardy空間Sp上的不變子空間當(dāng)且僅當(dāng)存在一個(gè)非負(fù)整數(shù)n使得M = znSp:={znf:f ∈Sp}。