饒夢真，譚欽洋，齊 靜，張 昕

（1.華南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)院，廣東 廣州 510006；2.重慶師范大學(xué)涉外商貿(mào)學(xué)院 數(shù)學(xué)與計算機學(xué)院，重慶 401520）

在微分方程中，一階線性方程是微分方程最簡單的形式，而對于某些非線性的一階微分方程?？捎梅e分因子法對其進行求解。對于比較簡單的微分方程，借助常用的全微分公式可以直接寫出方程的積分因子；而針對其它較復(fù)雜的微分方程則有一些較為巧妙的結(jié)論可以計算出它的積分因子。而積分因子也具有非常好的性質(zhì)，它本身即與方程的解存在著非常直接的本質(zhì)聯(lián)系。通過對部分文獻的研究可知，一方面，一個方程的兩個不同的積分因子之間可以相互表示成為另一個積分因子的相關(guān)函數(shù)；另一方面，在已知方程的兩個不同的積分因子的情況下可以快速的計算出方程的解。本研究對這兩種情形進行了詳細(xì)的論述，提出文獻[1]中對前一個結(jié)論的必要性證明存在一定的缺陷，并引用函數(shù)相關(guān)的有關(guān)結(jié)論對其進行了修正和補充。

1 預(yù)備知識

定義1[2]方程稱為恰當(dāng)微分方程，如果方程（1）左端恰好是某個二元函數(shù)u(x,y)的全微分。

定義2[2]稱可微函數(shù)μ = μ(x,y) ≠0為方程（1）的積分因子，如果方程

為恰當(dāng)微分方程。

定理1 μ(x,y)為方程（1）的積分因子

在數(shù)學(xué)分析中存在著一類在許多科研領(lǐng)域中都比較重要的二元函數(shù)，它的次數(shù)與自變量的倍數(shù)存在著一類線性關(guān)系，它的定義如下，

定義3 稱函數(shù)f(x,y)為x，y的m次齊次函數(shù)，若f(x,y)滿足f(tx,ty) =tmf(x,y)。

文獻[2]對這類帶有這種函數(shù)的微分方程進行了介紹，文獻[1]中證明過通過令y = ux可以將方程化為變量分離方程。但是能否將這類方程化為恰當(dāng)微分方程，即該方程是否存在著一類積分因子？下面的定理則對這個問題進行了肯定的回答：

定理5[1，2]設(shè)方程（1）為齊次微分方程，若xM + yN ≠0,則方程有積分因子μ =(xM + yN)-1。

在證明這個定理之前先介紹一個引理。

引理1[4，9]設(shè)f(x,y)為x，y的m次齊次函數(shù)，則

由此，便完成了對這類重要的齊次微分方程的積分因子的證明。需要指出，文獻[1]中對這個問題的證明過程僅指出了方程可以化為變量分離方程，而并未對該方程的積分因子μ =(xM + yN)-1進行證明。本定理的證明從直觀的角度看確實無法快速地得到解決，需要一定的技巧，因此分析法在這里不失為一種好的證明方法。

以下是文獻[2]習(xí)題中出現(xiàn)的兩類具有可分離形式的積分因子，下文將分別對其進行敘述和證明。

定理6[1，2]設(shè)函數(shù)f(u)，g(u)連續(xù)、可微且f(u) ≠g(u)，則方程

上面討論了幾類簡單的微分方程與其積分因子的形式。通過許多實例[6-8，10-15]可以看到一個方程可能存在上述不止一種的形式，從而存在兩種或以上的積分因子。而一個方程的任意兩個積分因子是否存在著關(guān)聯(lián)？積分因子到底具備什么樣的性質(zhì)？積分因子與方程的解之間是否存在著本質(zhì)的聯(lián)系？接下來本研究將系統(tǒng)地對這幾個問題進行回答。

2 主要結(jié)論

定理8 設(shè)μ(x,y)是方程（1）的積分因子，從而求得可微函數(shù)U(x,y)，使得dU =μ(Mdx + Ndy)，則μ～ (x,y)也是方程（1）的積分因子?μ～ = μφ(U)，其中φ是U的一元可微函數(shù)。

本定理指出一個方程的任意兩個積分因子之間的聯(lián)系。在這里需要指出文獻[1]中對本定理必要性的證明只說明了μ～ 可以表示成μ與一個既微函數(shù)ψ′(U) = ψ(U)的乘積，但不能保證φ(U)仍然可微，而定理中要求的φ(U)是一個連續(xù)的可微函數(shù)，通過對充分性的論述也可以看出這一條件是不可或缺的，對此，本文對這個定理的必要性證明進行了改進。

定理8指出一個方程的任意兩個積分因子之間存在著必然的函數(shù)關(guān)聯(lián)，這個結(jié)論也對下面的定理9提供了理論依據(jù)。下文是本文的核心內(nèi)容，即在已知方程的兩個積分因子的條件下如何快速地得出方程的解？定理9充分地回答了這個問題。

定理9[1，2，19，20]設(shè)μ1(x,y)、μ2(x,y)是方程（1）的兩個積分因子，且μ1μ2?常數(shù)，則μ1μ2= c(任意常數(shù))是方程（1）的通解。

證明 設(shè)U = c是關(guān)于積分因子μ2(x,y)的方程（1）的解，由定理8知存在關(guān)于U的一元可微函數(shù)φ(U)，使得μ1μ2= φ(U)。對方程φ(U) = c兩端求微分得

又φ(U)?常數(shù)，因而φ′(U)?0，又由題設(shè)條件知μ2≠0，因之Mdx + Ndy = 0。即φ(U) = c確定的解是方程（1）的解，故φ(U) = c是方程（1）的通解。

通過定理9可見積分因子與方程的解之間確實存在本質(zhì)的聯(lián)系，在已知兩個方程的積分因子的情況下不需要將積分因子代入方程計算就可以直接得到方程的解，這可以為許多科研領(lǐng)域的工作節(jié)省很多的時間成本。下面給出一個應(yīng)用定理9的結(jié)論快速求解微分方程的簡單示例。

推論5 設(shè)定理5中的微分方程還是恰當(dāng)?shù)?，則它的通解可表示為xM + yN = c。

證明 設(shè)方程（1）為恰當(dāng)齊次微分方程，由定理5知方程存在積分因子μ =(xM + yN)-1，顯然μ～ = 1也是方程（1）的積分因子，由定理9可知xM + yN = 1 ( xM + yN)-1= μ～ μ= c即為方程的解。

3 結(jié)語

定理8的結(jié)論非常簡潔清晰，證明過程也很簡略，但這個看似簡單的結(jié)論在許多工程領(lǐng)域和科研領(lǐng)域中都是異常重要的，它揭示了方程的解與積分因子的本質(zhì)聯(lián)系，闡述了一類快速求解微分方程方法，方程的解可以通過其兩個不同的積分因子取比值得到。而一個方程本身可能具備上述的兩種或更多的形式，因此能得到兩個或更多的積分因子。由此，本研究在預(yù)備知識中所論述的若干種積分因子及其形式的重要性也可見一斑。