康寧

◆摘? 要：“數(shù)學(xué)是人類文化的重要組成部分，數(shù)學(xué)素養(yǎng)是現(xiàn)代社會(huì)每個(gè)公民應(yīng)該具備的基本素養(yǎng)?！毙抡n標(biāo)提出的數(shù)學(xué)素養(yǎng)不僅培養(yǎng)學(xué)生的知識(shí)和技能，更是培養(yǎng)學(xué)生的思維能力和創(chuàng)新能力。尺規(guī)（指無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)）作圖不需要刻度，不用測(cè)量，而是以基本圖形的性質(zhì)和判定為依據(jù)，比測(cè)量更精確地進(jìn)行基本作圖，在初中數(shù)學(xué)教材中有獨(dú)特的意義，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖鲌D步驟體現(xiàn)著數(shù)學(xué)圖形獨(dú)特的簡(jiǎn)潔美、和諧美，規(guī)范的尺規(guī)作圖正是培養(yǎng)學(xué)生形成數(shù)學(xué)素養(yǎng)的一種體現(xiàn)。

◆關(guān)鍵詞：尺規(guī)作圖;規(guī)范準(zhǔn)確;簡(jiǎn)潔美;和諧美

我在指導(dǎo)學(xué)生尺規(guī)作圖時(shí)，只要學(xué)生能熟練操作，卻忽視了嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评碜C明和的語(yǔ)言表述，導(dǎo)致學(xué)生作圖不夠規(guī)范，還不能準(zhǔn)確地用語(yǔ)言描述作圖步驟和作圖依據(jù)，也體會(huì)不到數(shù)學(xué)的魅力，學(xué)生知其然不知其所以然。所以，學(xué)生不但要熟練使用作圖工具，還要結(jié)合圖形的性質(zhì)和判定方法，對(duì)所要求作的圖形的特征進(jìn)行分析，逆向思考作圖思路，能準(zhǔn)確描述作圖步驟，準(zhǔn)確操作，并會(huì)用尺規(guī)作圖方法解決一些實(shí)際問(wèn)題。

以初中學(xué)段的幾種基本作圖（如：①做一條線段等于已知線段②做一個(gè)角等于已知角③做已知角的角平分線④做已知線段的垂直平分線⑤過(guò)直線外一點(diǎn)做已知直線的垂線等）為載體，熟練掌握幾種基本圖形的做法，正確理解它們的作圖原理（圖形的性質(zhì)和判定），以達(dá)到規(guī)范準(zhǔn)確，并綜合幾種做法做出較復(fù)雜的目標(biāo)圖形（如三角形的重心、垂心、內(nèi)心、外心等），理解其理論依據(jù)，進(jìn)一步能解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。

一、準(zhǔn)確描述作圖語(yǔ)言

新課程要求尺規(guī)作圖要保留作圖痕跡，作圖時(shí)畫出的所有點(diǎn)和線不可隨意擦去，具體的作法學(xué)生會(huì)用語(yǔ)言準(zhǔn)確描述即可，但學(xué)生不規(guī)范、不準(zhǔn)確的口頭語(yǔ)言描述不但會(huì)使作圖出錯(cuò)，更是學(xué)生對(duì)作圖原理不理解的體現(xiàn)。

例 1：如下圖，已知線段a和b，求作一條線段AD，使它的長(zhǎng)度等于2a-b。

學(xué)生口頭描述如圖（1），①作射線AM;②在射線AM上截取AB=BC=a，CD=b，則線段AD即為所求。

錯(cuò)誤分析：作圖語(yǔ)言不嚴(yán)密，當(dāng)在射線上兩次截取時(shí)，要說(shuō)清楚是否“順次”，而在求線段差時(shí)，要交待截取的方向。

正確描述：如圖（2），①作射線AM;②在射線AM上，順次截取AB=BC=a;③在線段CA上截取CD=b，則線段AD就是所求作的線段.學(xué)生描述的不嚴(yán)謹(jǐn)會(huì)導(dǎo)致與目標(biāo)圖形不一致的圖形出現(xiàn)，如圖（1），通過(guò)親身嘗試，學(xué)生才能體會(huì)到數(shù)學(xué)語(yǔ)言的嚴(yán)謹(jǐn)性，并能規(guī)范描述作圖過(guò)程。

例2：求作一個(gè)角等于已知角∠MON，如圖（1）。

學(xué)生口頭描述如下：如圖（2），①作射線O1M1;②在圖（1），以O(shè)為圓心作弧，交OM于點(diǎn)A，交ON于點(diǎn)B;③以O(shè)1為圓心作弧，交O1M1于C;④以C為圓心作弧，交于點(diǎn)D;⑤作射線O1D.則∠CO1D即為所求的角。

錯(cuò)誤分析：作圖過(guò)程中出現(xiàn)了不準(zhǔn)確的作圖語(yǔ)言，在作弧時(shí)，應(yīng)準(zhǔn)確描述圓心和半徑，即以某點(diǎn)為圓心，以某條線段的長(zhǎng)為半徑或以任意線段的長(zhǎng)為半徑作弧。

正確描述：如圖（2），①作射線O1M1;②在圖（1）上，以O(shè)為圓心，任意長(zhǎng)為半徑作弧，交OM于點(diǎn)A，交ON于點(diǎn)B;③以O(shè)1為圓心，OA的長(zhǎng)為半徑作弧，交O1M1于點(diǎn)C;④以C為圓心，以AB的長(zhǎng)為半徑作弧，交前弧于點(diǎn)D;⑤過(guò)點(diǎn)D作射線O1D.則∠CO1D就是所要求作的角。

規(guī)范準(zhǔn)確的語(yǔ)言描述，體現(xiàn)出對(duì)問(wèn)題本質(zhì)的理解，在我的引導(dǎo)下，學(xué)生嘗試用規(guī)范準(zhǔn)確的語(yǔ)言描述作圖步驟，并完成了全部的作圖步驟，同學(xué)們豁然開(kāi)朗，體會(huì)到此作圖過(guò)程正是依據(jù)“OA=O1C，OB=O1D，AB=CD，從而得到△AOB≌△CO1D（SSS）”的道理。

二、理解尺規(guī)作圖的理論依據(jù)

發(fā)現(xiàn)問(wèn)題：學(xué)生在練習(xí)尺規(guī)作圖時(shí)，只是把圖作出來(lái)就認(rèn)為完成任務(wù)，卻沒(méi)有思考為什么要這樣做，依據(jù)是什么？?jī)H僅感到趣味，卻沒(méi)有理解其中的道理，不會(huì)應(yīng)用，不會(huì)拓展，不能體會(huì)到知識(shí)的生成過(guò)程。例如：在學(xué)習(xí)“點(diǎn)與圓”、“直線與圓”的位置關(guān)系時(shí)，遇到求作三角形的內(nèi)心與外心時(shí)，學(xué)生卻不知所措。

解決辦法：遇到這種情況，我引導(dǎo)學(xué)生先要理解所求作圖形的特征，以內(nèi)心為例，因?yàn)槿切蔚膬?nèi)心是三角形的內(nèi)切圓的圓心，三邊與圓同時(shí)相切， 圓心到三邊的距離相等，這樣就想到了角平分線的性質(zhì)，也就是說(shuō)我們要找的內(nèi)心同時(shí)在三角形三個(gè)角的角平分線上，即它們的交點(diǎn)，有了這樣的推理分析，學(xué)生就能理解內(nèi)心的含義，從而很快地完成作圖，細(xì)心的學(xué)生竟然很快發(fā)現(xiàn)，在作圖時(shí)，只需做出兩條角平分線即可，因?yàn)閮蓷l相交直線確定一個(gè)點(diǎn)，我又啟發(fā)學(xué)生思考：“為什么沒(méi)作出來(lái)的第三條角平分線一定過(guò)這點(diǎn)呢？”就這樣，在學(xué)生的自主探究中，充分體會(huì)到了尺規(guī)作圖的奧妙所在，獲得了成功的喜悅感，在喜悅的促使下，動(dòng)手操作更加規(guī)范、準(zhǔn)確。他們?cè)诶斫馊切蝺?nèi)心的作圖意義的基礎(chǔ)上，再去作外心時(shí)，就是水到渠成、得心應(yīng)手。形成了思考與推理的習(xí)慣，學(xué)生還能運(yùn)用類比思想熟練地確定某段弧所在的圓和圓心、作正六邊形、分割四邊形等此類問(wèn)題。

三、在解決實(shí)際問(wèn)題中，感受尺規(guī)作圖對(duì)思維的促進(jìn)功能

例3：如圖，RtΔABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，用圓規(guī)和直尺作圖，用兩種以上方法把它分成兩個(gè)三角形，且要求其中一個(gè)三角形是等腰三角形。（保留作圖痕跡，不要求寫作法和證明）。

這道題目綜合性強(qiáng)，可以通過(guò)作線段、作線段的垂直平分線、作角平分線、作角等都可以完成，是尺規(guī)作圖的拓展應(yīng)用。因?yàn)閷W(xué)生已經(jīng)掌握幾種基本作圖方法和原理，我采取讓學(xué)生分組交流，合作探究的學(xué)習(xí)方式，鼓勵(lì)學(xué)生盡可能想出多種作圖方法來(lái)，充分拓展了學(xué)生的思維，學(xué)生可能想到的方法越多，就對(duì)知識(shí)點(diǎn)掌握越熟練，學(xué)習(xí)的興趣和熱情有了很大的提高。

再如，在人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)教材中，有這樣的實(shí)際問(wèn)題：如圖，電信部門要修一座電視信號(hào)發(fā)射塔。按照設(shè)計(jì)要求，發(fā)射塔到兩個(gè)城鎮(zhèn)A、B的距離必須相等，到兩條高速公路OM和ON的距離也必須相等。發(fā)射塔P應(yīng)修建在什么位置？在圖上標(biāo)出它的位置。

問(wèn)題的提出就是旨在用基本的尺規(guī)作圖解決實(shí)際問(wèn)題，學(xué)生在作圖的過(guò)程中既認(rèn)識(shí)到了角平分線和線段垂直平分線的性質(zhì)，又能感受到尺規(guī)作圖在生活中的意義。因此，在尺規(guī)作圖教學(xué)過(guò)程或課后作業(yè)中，補(bǔ)充條件開(kāi)放和結(jié)論開(kāi)放類型的作圖題，或?qū)?shí)際生活中的問(wèn)題數(shù)學(xué)化，基本作圖方法生活化，激發(fā)了學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到自己掌握的幾種基本作圖方法可以綜合應(yīng)用，擴(kuò)大了學(xué)生的思維空間。課后，我還鼓勵(lì)學(xué)生可以在板報(bào)設(shè)計(jì)，手抄報(bào)設(shè)計(jì)發(fā)揮自己的想象力，用自己已掌握的尺規(guī)作圖方法設(shè)計(jì)美麗的圖案，體會(huì)數(shù)學(xué)圖形的簡(jiǎn)潔美、和諧美，激發(fā)學(xué)生探索欲望，提高學(xué)生的空間觀念、邏輯思維能力和實(shí)踐操作能力。

尺規(guī)作圖操作規(guī)范、推理嚴(yán)謹(jǐn)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的學(xué)科特點(diǎn)與符合自然的數(shù)學(xué)美，是簡(jiǎn)潔美、和諧美的獨(dú)特展示，在解決問(wèn)題時(shí)，規(guī)范的尺規(guī)作圖技能具有較強(qiáng)的綜合性，實(shí)用性，能養(yǎng)成學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S習(xí)慣和熟練的動(dòng)手操作技能，并能理解求作圖形的完成是規(guī)范作圖和幾何推理有機(jī)結(jié)合的結(jié)果，體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)的生成過(guò)程。

現(xiàn)實(shí)中學(xué)生只有在題目有要求的時(shí)候，才用尺規(guī)作圖，還不能熟練地把尺規(guī)作圖用在一些添加輔助線的問(wèn)題當(dāng)中，沒(méi)有形成自然的數(shù)學(xué)習(xí)慣。所以，從自身做起，嚴(yán)格要求自己，在對(duì)學(xué)生的輔導(dǎo)學(xué)習(xí)中，我要做好示范，規(guī)范自己的語(yǔ)言描述和作圖步驟，用自己嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)習(xí)慣在潛移默化中影響學(xué)生，使學(xué)生把規(guī)范尺規(guī)作圖形成一種自然的數(shù)學(xué)習(xí)慣。

參考文獻(xiàn)

[1]中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（CIP）.北京師范大學(xué)出版，2012.