周秋斕

(浙江省湖州市雙林中學(xué)，313000)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》首次提出高中數(shù)學(xué)學(xué)科六大核心素養(yǎng):數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運算、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、邏輯推理、數(shù)據(jù)分析.同時指出“發(fā)展核心素養(yǎng)是黨的教育方針的具體化、細(xì)化”[1].各學(xué)科基于本學(xué)科凝練的學(xué)科核心素養(yǎng),明確了學(xué)生學(xué)習(xí)該學(xué)科課程后應(yīng)該達成的價值觀、必備品格和關(guān)鍵能力.

李邦河院士說過,“數(shù)學(xué)根本上是玩概念的,不是玩技巧,技巧不足道也”[2].在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中,如何設(shè)計有效的問題情境,充分調(diào)動學(xué)生參與思維的積極性,引導(dǎo)學(xué)生探究規(guī)律,得出新的數(shù)學(xué)概念,這是數(shù)學(xué)概念教學(xué)研究的重要問題,也是在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中落實數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的重要策略.本文結(jié)合案例進行探究,旨在拋磚引玉.

一、邏輯推理,創(chuàng)設(shè)觀察分析的問題情境

案例1“基本不等式”教學(xué)片段

在基本不等式一節(jié)的教學(xué)中,可設(shè)計如下兩個應(yīng)用問題,引導(dǎo)學(xué)生分小組自主探究這兩個問題,找出其中的不等關(guān)系,從中發(fā)現(xiàn)基本不等式.

問題1某商家用一個兩臂之長有差異的天平稱量售出物品.為示公平公正,售貨員每次都將物品放在左、右兩個托盤中各稱一次,再將兩次結(jié)果相加并除以2計之,問這種計量準(zhǔn)不準(zhǔn)確?如不準(zhǔn)確,吃虧的是商家還是顧客?試說明理由.

師:這種計量準(zhǔn)確嗎?

生:肯定不準(zhǔn)確!

師:既然不準(zhǔn)確,吃虧的是商家還是顧客?

生:肯定是顧客,無商不奸嘛.

師:為什么?能分析一下其中的道理嗎?

師:(適時點撥) 如果你是顧客, 買了一件重量為G的物品, 在兩臂不等的天平兩邊各稱一次, 結(jié)果會怎樣?

設(shè)在左、右兩邊稱出的重量分別為A與B, 聯(lián)想到物理學(xué)上杠桿平衡原理, 需對兩臂作出假設(shè), 設(shè)兩臂長分別為L1，L2, 至此基本完成數(shù)學(xué)化過程，問題由抽象變得具體.

生:商家應(yīng)該把兩次的結(jié)果乘起來,再開方就行了.

師 為什么?請繼續(xù).

生:(多種方法來證明)

師:等號何時成立?

生:當(dāng)a=b時.

師:正確,但在本題中,有相等的可能嗎?

評價在不等式教學(xué)中,學(xué)生常常感到很抽象,但利用以上兩個應(yīng)用問題情境,一個是經(jīng)濟生活中的問題,一個是物理中的問題,貼近生活,貼近實際,顯得十分簡單自然.它給了學(xué)生動手、動腦的時間與空間,使學(xué)生認(rèn)識到了數(shù)學(xué)的社會價值與作用.

二、溫故知新,創(chuàng)設(shè)比較歸納的問題情境

案例2“復(fù)數(shù)概念”的教學(xué)片斷

師:我們一起回顧一下已經(jīng)歷過的數(shù)集擴充有哪幾次?

生:正整數(shù)、自然數(shù)、非負(fù)有理數(shù)、有理數(shù)、實數(shù)

師:上述數(shù)集擴充的原因是什么?

生:實際問題的需要使得在已有的數(shù)集內(nèi)有些運算無法進行.

師:數(shù)集的擴充過程體現(xiàn)了哪些規(guī)律?

生:每次擴充都增加規(guī)定了新元素.

生:在原數(shù)集內(nèi)成立的運算規(guī)律,在數(shù)集擴充后的更大范圍內(nèi)仍然成立.

生:擴充后的新數(shù)集里能解決原數(shù)集不能解決的問題.

師:請哪個同學(xué)將上述幾個同學(xué)的理解作一個概括?

生:由于實際問題的需要使得在已有的數(shù)集內(nèi)有些運算無法進行,為此對數(shù)集必須進行擴充.在擴充過程中體現(xiàn)了如下規(guī)律:(1)每次擴充都增加規(guī)定了新元素;(2)在原數(shù)集內(nèi)成立的運算規(guī)律,在數(shù)集擴充后的更大范圍內(nèi)仍然成立;(3)擴充后的新數(shù)集里能解決原數(shù)集不能解決問題.

師:負(fù)數(shù)不能開平方的事實說明實數(shù)集不夠完善,因而提出將實數(shù)集擴充為一個更為完整的數(shù)集的必要性.那么,怎樣解決這個問題呢?(有了上述準(zhǔn)備后,教師提出問題.)

師:借鑒上述規(guī)律,為了擴充實數(shù)集,引入新元素,并作出兩條規(guī)定.(略)

上述教學(xué),通過引導(dǎo)學(xué)生回顧數(shù)集是如何擴充的?擴充的原因是什么?擴充過程體現(xiàn)了哪些規(guī)律?每次擴充都增加了哪些新元素?學(xué)生對i的引入不會感到疑惑,對復(fù)數(shù)集概念的建立也不會覺得突然,使學(xué)生的思維很自然地步入知識發(fā)生和形成的軌道,為概念的理解和進一步研究奠定基礎(chǔ).

評價這類數(shù)學(xué)概念教學(xué)的問題情境創(chuàng)設(shè)的關(guān)鍵是揭示相關(guān)概念的擴充發(fā)展的背景及其規(guī)律,從而引發(fā)新的數(shù)學(xué)概念的產(chǎn)生.同時，可進一步理解概念與概念之間的聯(lián)系,在學(xué)習(xí)中化繁為簡,形成一般性的思考問題的習(xí)慣.

三、直觀感受,創(chuàng)設(shè)抽象概括的問題情境

案例3“函數(shù)的單調(diào)性” 教學(xué)片段

在函數(shù)的單調(diào)性的概念教學(xué)中, 為突破函數(shù)的單調(diào)性概念的產(chǎn)生和形成這一教學(xué)難點, 可以創(chuàng)設(shè)以下問題情境，首先向?qū)W生展示某地某年元旦這一天24小時內(nèi)的氣溫變化圖(如圖1), 引導(dǎo)學(xué)生觀察圖象, 提出問題:

問題1說出氣溫在哪些時段內(nèi)是逐步升高或下降的?

問題2如何用數(shù)學(xué)語言描述上述時間段內(nèi)“隨著時間的增加氣溫逐漸升高”這一特征?

通過引導(dǎo)學(xué)生解決問題2, 使學(xué)生對于單調(diào)遞增函數(shù)的特征有一定直觀認(rèn)識, 進一步提出問題3.

問題3對于任意的t1,t2∈[4,16],當(dāng)t1

學(xué)生通過觀察圖象和計算機模擬演示實驗,正反對比,發(fā)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系,由具體到抽象,由模糊到清晰逐步歸納、概括、抽象出單調(diào)遞增函數(shù)的本質(zhì)屬性,并嘗試用數(shù)學(xué)符號語言初步表述.教師引導(dǎo)學(xué)生歸納他們表述的關(guān)鍵詞“區(qū)間內(nèi)”、“任意”、“當(dāng)x1

問題4類比單調(diào)遞增函數(shù)概念,你能給出單調(diào)遞減函數(shù)的概念嗎?

通過類比,學(xué)生不難得出單調(diào)遞減函數(shù)的概念.

為讓學(xué)生進一步理解函數(shù)單調(diào)性的概念,及時地引導(dǎo)學(xué)生對概念進行運用,提出問題5.

問題5① 你能找出氣溫圖中的單調(diào)區(qū)間嗎?② 你能說出你曾經(jīng)學(xué)過的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間嗎?請舉例說明.

學(xué)生通過熟悉的一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等函數(shù)的相關(guān)特征,從圖象上加深對函數(shù)單調(diào)性概念的理解.對于確定的函數(shù),可以從圖象上判定函數(shù)的單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間,而對于一般函數(shù)又應(yīng)該怎么去判定函數(shù)的單調(diào)性呢?于是提出問題6.

學(xué)生通過相互討論,嘗試進行函數(shù)單調(diào)性的證明,教師引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)用定義證明函數(shù)單調(diào)性的一般方法和操作步驟.

評價能通過對日常生活中的實際問題的分析對比,觀察歸納,建立函數(shù)模型,讓學(xué)生直觀感受函數(shù)的單調(diào)性,并進一步發(fā)現(xiàn)自變量與函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系,概括歸納得出增減函數(shù)的定義.

四、動手操作,創(chuàng)設(shè)實驗探究的問題情境

案例4“拋物線的概念” 教學(xué)片段

(1)活動:讓學(xué)生準(zhǔn)備長方形紙片,并在紙片2厘米處設(shè)置一點,如圖2所示方法,按下面的要求將紙片進行折疊:折疊時,讓AB所在的邊始終經(jīng)過點F,將紙折20到30次,形成一系列折痕,它們整體地勾畫出一條曲線的輪廓.

(2)學(xué)生通過觀察、猜想,發(fā)現(xiàn)眾多折痕圍出一條拋物線.

(4)利用幾何畫板動態(tài)演示折紙過程及拋物線.

(5)活動:(圖3)畫三條平行于y軸的直線,折紙發(fā)現(xiàn)1:其反射線經(jīng)過y軸上的一個定點.

(6)利用幾何畫板演示這一過程(證明可后面完成).

(7)概念形成:焦點——一組平行于y軸的直線經(jīng)拋物線反射后匯聚到焦點,由焦點出發(fā)的直線經(jīng)拋物線反射后成一組平行線.

(8)發(fā)現(xiàn)2:拋物線上的點到焦點的距離等于到紙邊的距離,定義準(zhǔn)線.

(9)形成定義:學(xué)生概括,教師補充(平面內(nèi)到一定點的距離和到一定直線的距離相等的點的軌跡叫做拋物線).

評價在上述實驗過程中,拋物線的概念、性質(zhì)不是作為結(jié)果直接告訴學(xué)生的,而是通過學(xué)生動手操作、合作探究獲得的,這是一個主動建構(gòu)的過程.這類數(shù)學(xué)概念的形成一定要學(xué)生動手操作實驗,仔細(xì)觀察,并能根據(jù)需要適當(dāng)變換角度來抓住問題的特征,通過抽象概括歸納以解決問題，培養(yǎng)學(xué)生敏銳的觀察力是解決這類問題的關(guān)鍵.除了真實的實驗外,還可以充分利用現(xiàn)代教育技術(shù)設(shè)計一些仿真實驗,讓學(xué)生通過實際操作學(xué)會觀察、學(xué)會發(fā)現(xiàn),在活動中發(fā)展能力，提高素養(yǎng).