吳 云

(江蘇省南京市第十三中學(xué)，210008)

隨著新課改進(jìn)一步深化,如何立足數(shù)學(xué)課堂,有效提升學(xué)生核心素養(yǎng)成為熱題.本文以“平面向量基本定理”一課的數(shù)學(xué)設(shè)計與實施為例,對此進(jìn)行探究.

一、教情學(xué)情

1.內(nèi)容分析

平面向量基本定理深刻揭示了平面向量的基本結(jié)構(gòu),是繼續(xù)深入研究向量的基礎(chǔ).同時,平面向量基本定理充分體現(xiàn)了化歸的數(shù)學(xué)思想方法,即在應(yīng)用向量解決實際問題時,我們可以選擇適當(dāng)?shù)幕?將問題中涉及的向量化歸為一組基底的線性組合,從而解決問題.

2.學(xué)情分析

授課班級是南京市某校高一年級的一個普通班,學(xué)生基礎(chǔ)不夠扎實,內(nèi)秀膽小偏多,課堂氛圍不夠活躍.特別是剛進(jìn)入高中,數(shù)學(xué)推理歸納能力、抽象能力不到位,數(shù)學(xué)表達(dá)比較欠缺.

3.教學(xué)重難點

教學(xué)重點是平面向量基本定理的認(rèn)識和形成過程及應(yīng)用.教學(xué)難點是實數(shù)對(λ1,λ2)的確定及理解.

二、課堂實錄

1.回顧引入——一箭數(shù)雕

師:首先我們一起回顧前面所學(xué)的相關(guān)內(nèi)容.

(1)一個人從點A到點B,再從點B到點C,則兩次的位移之和是什么?

(2)向量的共線定理是什么?

(3)共線定理中的λ值是怎么確定的?這個值唯一嗎?

特別通過追問:

(4)在a≠b的前提下,由a能夠表示出哪些向量?

(5)若向量b與a不共線,還可以由向量a表示出來嗎?

設(shè)計意圖一是借助復(fù)習(xí)向量加法的三角形法則和平行四邊形法則，為即將展開的平面向量基本定理的實踐活動做準(zhǔn)備.二是通過復(fù)習(xí)向量共線定理,特別是λ值的唯一性，為后面平面向量基本定理中的實數(shù)對的唯一性做好鋪墊.三是通過兩個追問,引發(fā)同學(xué)們的深度思考,現(xiàn)在面臨著一個困境:由向量a(a≠0)可以表示出所有與a共線的向量,可是平面向量不僅僅只有與向量a共線的向量;若向量b與a不共線,則無法由a(a≠0)表示出來怎么辦?

2.走出困境——架路鋪橋

師:我們現(xiàn)在類比一下當(dāng)初在代數(shù)中面臨的一個類似困境:數(shù)軸上的點與實數(shù)之間是一一對應(yīng)的,平面內(nèi)的點與什么一一對應(yīng)呢?

生:建立平面直角坐標(biāo)系,平面內(nèi)的點與實數(shù)對一一對應(yīng)

師:很棒,現(xiàn)在一個平面向量a(a≠0)無法表示出與之不共線的向量,怎么辦呢?能不能類比實數(shù)以及實數(shù)對給出想法呢?

生:再找一個向量幫忙.

師:找一個什么樣的向量幫忙呢?與向量a(a≠0)共線的向量b可以嗎?

生:不行,這樣還是只能表示出與向量a(a≠0)共線的向量,所以這個向量一定與向量a不共線.

師:好的,如圖1，請用不共線的向量e1,e2表示出向量a.

師:請問這里的λ1與λ2的值唯一確定嗎?

設(shè)計意圖(1)由“數(shù)軸上的實數(shù)過渡到平面直角坐標(biāo)系中的實數(shù)對”類比到“由平面向量共線定理到平面向量基本定理”,由一維到二維的推廣,使得平面向量基本定理的生成水到渠成.(2)課堂教學(xué)中教師應(yīng)激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性,向?qū)W生提供充分從事數(shù)學(xué)活動的機(jī)會,幫助他們在自主探索和合作交流的過程中真正理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識與技能、數(shù)學(xué)思想和方法,獲得廣泛的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗.”(3)通過問題串的層層遞進(jìn),由淺入深,由此及彼,培養(yǎng)學(xué)生類比能力以及化歸能力,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和自主探索的精神

3.深入剖析——直擊本質(zhì)

師:如圖2，能不能由不共線向量e1,e2表示出向量b(≠a)呢?

學(xué)生動手畫圖并展示.

師:能不能由不共線向量e1,e2表示出其他向量呢?(邊說邊用三角板繞著O點旋轉(zhuǎn)得到一系列向量)

師:大家認(rèn)為可以，那么請具體說說能夠表示出哪些向量?

生:能夠表示出與向量e1,e2共線的向量可以,因為共線向量定理就能夠保證了;不共線的向量也可以,與剛才作圖過程一致就能得到了.

師:很好,也就是說由向量e1,e2能夠表示出平面內(nèi)所有的向量.能不能請一位同學(xué)按照自己的語言陳述我們得到的結(jié)論呢?

生:如果向量e1,e2不共線,就能表示出平面內(nèi)所有向量,且這樣的實數(shù)對唯一.

這時,教師展示出完整定理(內(nèi)容略).

師：請一位同學(xué)結(jié)合剛才我們作圖的過程,說出這個定理中的關(guān)鍵詞是什么?

生(順利答出):不共線,任一向量a,有且只有一對實數(shù).

設(shè)計意圖一是從感性到理性,從具體到抽象,從個體到整體,從正面到反面,讓學(xué)生全面深刻理解該定理的本質(zhì)與內(nèi)涵.二是“沒有過程”=“沒有思想”,教師通過不斷追問,構(gòu)建了新、舊知識的聯(lián)系,培養(yǎng)了學(xué)生尋根問底的精神.同時多媒體技術(shù)演示與學(xué)生自己活動實踐相結(jié)合,水到渠成得出平面向量基本定理,讓學(xué)生切身體會到定理中的關(guān)鍵詞.三是教育過程的規(guī)律表明,教師對學(xué)生的教育不是簡單地給予,不單單是知識的傳授，智力的發(fā)展、能力的培養(yǎng)、思維品質(zhì)的形成,都必須通過學(xué)生的積極思維活動、積極實踐才能實現(xiàn).

4.典型例題——加深印象

師:一個平面內(nèi)向量的基底有多少對?

學(xué)生們輕松答出:無數(shù)對,只要不共線就能構(gòu)成基底.

給予足夠時間,學(xué)生順利解答出.

師:此圖中還有哪些向量可以構(gòu)成基底?

師:很好,你選擇的依據(jù)是什么?

生:只要不共線的兩個向量就能構(gòu)成基底,而且還能表示出圖中其他所有向量.

設(shè)計意圖通過例題、練習(xí),使學(xué)生牢固掌握知識,并轉(zhuǎn)化為能力,鞏固了對該定理的理解與運用,為后續(xù)學(xué)習(xí)做好鋪墊.

5.反思小結(jié)——再度升華

師:通過今天的學(xué)習(xí),我們都有哪些收獲?

學(xué)生在教師的引導(dǎo)下，梳理本節(jié)課的主要內(nèi)容.教師給予肯定，同時展示出課后練習(xí)供學(xué)生繼續(xù)學(xué)習(xí)、探索,加深對定理的理解.

設(shè)計意圖課堂小結(jié)從知識、方法和情感三個維度展開.首先對課堂內(nèi)容進(jìn)行提煉和升華,使學(xué)生有“會當(dāng)凌絕頂,一覽眾山小”的感覺.同時學(xué)貴有疑,學(xué)貴有思,思才會有收獲.再就是在學(xué)生最近的發(fā)展區(qū)提出這個問題，從課內(nèi)延伸到課外,引導(dǎo)學(xué)生去思考、去探索,從而培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣.

三、課后反思

1.尊重學(xué)生的主體地位

尊重學(xué)生主體地位,為學(xué)生探索新知提供條件，盡量把體驗、嘗試、發(fā)現(xiàn)的機(jī)會讓給學(xué)生.本節(jié)課突出了學(xué)生“動手、動口、動腦”的主線,搭建學(xué)生深度參與環(huán)節(jié):“回顧引入”幫助學(xué)生復(fù)習(xí)舊知,引入新知，“走出困境”給學(xué)生自主學(xué)習(xí)空間,鼓勵學(xué)生類比聯(lián)想，“深入剖析”層層遞進(jìn),促進(jìn)學(xué)生構(gòu)建新知；“典型例題”強(qiáng)化學(xué)生感受新知,注重知識深化；“反思小結(jié)”促進(jìn)學(xué)生對知識本質(zhì)認(rèn)識,對思想方法深入認(rèn)識.教師心中要有學(xué)生,俯下身子“蹲”在學(xué)生的角度看待問題,要想學(xué)生所想,想學(xué)生所惑,想學(xué)生所難,只有這樣才能切切實實調(diào)動學(xué)生的主觀能動性.

2.尊重學(xué)生的學(xué)習(xí)規(guī)律

問題,是驅(qū)動學(xué)生思維的源泉.教學(xué)中,好的問題,可以啟發(fā)學(xué)生的思維,形成有效的數(shù)學(xué)探究活動.因此,設(shè)計的問題要符合學(xué)生的實際.如果問題過大、過難,會造成學(xué)生無從下手,教師啟而不發(fā).當(dāng)然,問題過小、過碎,也不行.要讓學(xué)生處于“跳一跳,摘到桃”的狀態(tài),從而能持續(xù)驅(qū)動學(xué)生進(jìn)行探究,激發(fā)思維.本節(jié)課中很多小臺階的提問，貼近學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”,起點低,難度小,全體學(xué)生能夠經(jīng)歷求知過程的體驗.而進(jìn)一步通過追問,讓學(xué)生步步為營，水到渠成地概括出該定理.本節(jié)課中,從開始的困境到定理的形成,都是學(xué)生利用已有的知識、方法、思想“同化”出來的,教師幫助學(xué)生完成這些知識意義的建構(gòu),從感性到理性,從具體到抽象,從個體到整體,符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律,遵循了學(xué)生學(xué)習(xí)規(guī)律.

3.開發(fā)數(shù)學(xué)思維，提升核心素養(yǎng)

教學(xué)活動的關(guān)鍵就是培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng),課堂教學(xué)是落實核心素養(yǎng)的主要途徑,而學(xué)生是落實核心素養(yǎng)的主體.首先教師要以核心素養(yǎng)為基礎(chǔ)和目標(biāo),認(rèn)真鉆研新課程標(biāo)準(zhǔn),多角度、多方式去深度整體把握教材,細(xì)心研讀教材,挖掘教材、駕馭教材與整合教材;其次,合理安排教學(xué)活動,讓教學(xué)活動真正“動”起來、“活”起來,真正做到“動態(tài)生函數(shù)名相同，只是角的形式不同，有的包含相同的角但函數(shù)名稱不同，但是它們都有內(nèi)在聯(lián)系，即由α+β=α-(-β)的關(guān)系，可用公式C(α-β)推得公式C(α+β).若函數(shù)名不同這就要進(jìn)行函數(shù)名的互化，利用誘導(dǎo)公式(5)(6)，即可推得公式S(α-β)，S(α+β)等.

成”,充分讓學(xué)生理解知識的來龍去脈,享受學(xué)習(xí)過程中的樂趣,感受到數(shù)學(xué)的價值與魅力;最后教師要引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)角度去分析、提出并解決問題,在這過程中開發(fā)數(shù)學(xué)思維,培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng),課堂執(zhí)行做到扎實有效,真正實現(xiàn)課堂教學(xué)要以人為本、以培養(yǎng)核心素養(yǎng)為本的目標(biāo).