楊紅霞 張 慧

(江蘇省南京市第十三中學，210008)

“函數(shù)的單調性”是高中函數(shù)重要的性質之一,它在函數(shù)的研究中有很重要的應用．形式化、符號化是數(shù)學的重要特征,要重視符號表示函數(shù)的單調性,也要重視符號語言描述的必要性,促進學生深度思考,理解教材,靈活應用知識．本文以“函數(shù)的單調性”一課教學為例，對此進行探討.

一、教材分析

本節(jié)課內(nèi)容是在學生掌握了初中的一次函數(shù)、二次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象和性質,以及高中函數(shù)的概念的基礎上進行的.它是函數(shù)研究中很重要的內(nèi)容,既是對前面所學知識的進一步理解,又為后面研究其他特殊函數(shù)甚至一般函數(shù)提供理論依據(jù)和方法指導,起著承上啟下的作用.

很多老師在處理這節(jié)課的時候,首先讓學生回憶初中學過的一次函數(shù)、二次函數(shù)和反比例函數(shù)的性質,也即通過畫圖,觀察圖象特征,總結性質,然后讓學生將“y隨著x的增大而增大”和“y隨著x的增大而減小”用符號語言描述,但忽略了用符號語言描述的必要性,導致學生在具體數(shù)學問題中由于對單調性的理解不到位而不能靈活應用.另外,在單調性的概念生成過程中,為什么是選取任意的兩個數(shù),要讓學生理解到位,這也是本節(jié)課的難點所在.

二、教學過程

1.情境引入,理解符號刻畫的必要性

師:觀察天氣變化圖，如圖1.某地某天的氣溫θ關于時間t的函數(shù)，記為θ=f(t).觀察這個函數(shù)的圖象，指出該地該天的氣溫變化的趨勢.你能讀出什么信息?

學生很快能得到從4時到14時,隨著時間的增加氣溫逐漸升高.

問題1我們有沒有學過哪個數(shù)學知識體現(xiàn)這一特征?

學生能回憶出初中學習了一次函數(shù),二次函數(shù)和反比例函數(shù)的性質.

追問:初中是如何研究它們的這一特征的?

設計意圖數(shù)學來源于生活,課題的引入從實際生活出發(fā),通過問題1,讓學生回憶出初中研究函數(shù)的性質,促進學生用數(shù)學的眼光觀察世界和用數(shù)學的思維解決實際問題.通過追問引導學生回憶出初中研究問題的方法,函數(shù)的學習多數(shù)從函數(shù)的圖象開始,為后面學習其它函數(shù)做好鋪墊,如指、對數(shù)函數(shù),冪函數(shù),三角函數(shù),它們的學習都是從研究圖象開始,借助于圖象研究性質,培養(yǎng)學生的直觀想象能力.

經(jīng)過討論，發(fā)現(xiàn)這個函數(shù)圖象不能嚴謹?shù)禺嫵?無法用學過的方法研究,這就需要探究另一種判斷函數(shù)這一特征的方法.函數(shù)的表示有三種方法,列表法這兒肯定用不了,我們只能利用解析式,從代數(shù)角度“算”出這一特征.

設計意圖若老師直接給出函數(shù)單調性的定義,學生可能會被動接受,但不理解為什么要研究它,也就是“知其然而不知其所以然”.在初學階段可能會模仿例題解題,但過一段時間可能會遺忘,而且單純的模仿也不利于學生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的能力的培養(yǎng).

2.自主建構,體驗符號刻畫的合理性

我們首先要將這一特征用符號語言表示,并引導學生以二次函數(shù)y=x2為例,思考怎樣用符號語言刻畫“x>0時,y隨著x的增大而增大”?

想一想：如何刻畫“x的增大”?

這里意味著兩個量比較,可表示為“x1

追問:這里的x1,x2有什么要求?

學生會意識到這兩個量都大于0.

教師提醒學生體會“若x1,x2>0,當x1

經(jīng)過討論,學生體會出這個問題比較抽象,可以畫圖直觀感受.通過畫圖發(fā)現(xiàn)取一組不行,取幾組也不行,取無數(shù)組行不行?即“當x1

我們可以借用“任意”二字輔助說明,接下來自然就會產(chǎn)生這樣的問題:“x1固定,x2任取”能否說明問題?學生依然可以畫圖舉出反例.因此這里x1,x2都要任取,即任取x1,x2>0,當x1

單調性定義完成后,引導學生結合二次函數(shù)的例子進一步理解單調性是一個局部概念,在定義域上可能不具有單調性,當然有的函數(shù)沒有單調區(qū)間.

設計意圖《課程標準》指出,數(shù)學概念教學應該要揭示數(shù)學概念的形成過程,從思維角度來設計數(shù)學教學，是一種貼近學生思維“最近發(fā)展區(qū)”的自然有效的方式.數(shù)學的學習不僅要學好相應的數(shù)學知識,而且更重要的是要在學習過程中發(fā)展數(shù)學思維.學生在此處學習單調性是要理解“任意”二字,不僅僅是本節(jié)內(nèi)容的重點,也為后面更好地研究函數(shù)的奇偶性,學習立體幾何中線面平行和垂直作鋪墊,同時發(fā)展學生的抽象思維能力.

3.問題解決，感受符號刻畫的優(yōu)越性

師:有了函數(shù)的單調性定義,剛才我們遺留的問題可以解決了嗎?學生很快會想到可以作差比較大小.

思考:討論下列函數(shù)的單調性:

經(jīng)過學生討論,大致有兩種方法:

方法1畫出函數(shù)的圖象,根據(jù)圖象觀察函數(shù)的單調性;

方法2根據(jù)函數(shù)的解析式,在(1,+∞)上任取兩個數(shù),規(guī)定大小后,作差,變形,判斷正負.

師:這兩個方法都很好,但我們在具體處理時,要比較方法的優(yōu)劣,遇到基本初等函數(shù),我們熟悉它們的圖象,就可以直接畫圖處理．但如果遇到解析式比較復雜,作圖比較麻煩時,我們可以利用單調性的定義作差計算.

設計意圖第(1)題是初等函數(shù)，可以直接利用圖象判斷函數(shù)的單調性,第(2)題需要應用定義算出單調性,進一步體會符號語言刻畫單調性后解決問題的便利．另一方面，這兩題讓學生分別從“形”和“數(shù)”兩個方面理解單調性,進一步體會數(shù)形結合的思想.

三、教學反思

1.深刻理解教材,重視概念形成過程

李邦河院士認為“數(shù)學根本上是玩概念,不是玩技巧的,技巧不足道也.” 數(shù)學概念是人腦對現(xiàn)實世界的數(shù)量關系和空間形式的本質特征的一種反映形式,即一種數(shù)學的思維形式.正確理解并靈活運用數(shù)學概念,是掌握數(shù)學基礎知識和運算技能、發(fā)展邏輯論證和空間想象能力的前提.一節(jié)好的數(shù)學概念課,不能僅僅滿足學生能在表面上理解概念.首先要重視概念的外延,即為什么要引入這個概念,也就是讓學生明白引入的必要性,這樣在遇到具體問題時才能靈活應用;其次,要引導學生自主構建概念,讓學生體會概念的合理性,在這過程中蘊含了大量的數(shù)學思維,只有引導學生不斷探索,形成概念,才能體驗成功的快樂,從而能激發(fā)學習數(shù)學的樂趣;最后,在概念形成后要進行有針對性的練習,讓學生體驗概念在具體問題中的應用以及它自身的價值.除了解決本節(jié)課內(nèi)容,還要為后面的學習提供依據(jù).比如我們在利用函數(shù)研究零點問題時,往往要畫出函數(shù)圖象,對于復雜的函數(shù)可用代數(shù)的方法研究其性質畫出圖象.

2.關注思維訓練,培養(yǎng)學生思考能力

學生最重要的學習能力是思考的能力,直接決定學生學習的水平和質量,經(jīng)過思考的學習才是高效的,有意義的.聯(lián)合國教科文組織國際教育發(fā)展委員會指出:“教師的職責已經(jīng)是越來越少地傳授知識,而是越來越多地激勵思考.”因此，在課堂上我們要教會學生思考,在學習中要敢于提出問題,當然也包括分析問題,解決問題的能力.本節(jié)課在遇到函數(shù)無法畫圖研究單調性時自然就提出問題:我們需要研究一個新的能解決問題的方法,而不是直接把解決的方法告訴學生.再如對單調性的概念認真研究的學生自然還會提出這樣的問題:為什么概念中的取值來自區(qū)間?其實，對于離散型的問題我們后面會在數(shù)列中專門研究.

3.精心設計問題,培養(yǎng)學生抽象能力

在理解單調性概念的過程中,需要經(jīng)歷從圖形語言到自然語言,從自然語言到符號語言的轉換過程,為理解量詞作用奠定基礎,也為如何嚴謹表達數(shù)學概念積累經(jīng)驗,是提升抽象能力的重要環(huán)節(jié).本節(jié)課緊扣教學內(nèi)容,從學生的實際情況出發(fā),精心設計問題,有效解決實際問題,引導學生逐步抽象出數(shù)學概念,并深刻理解概念的內(nèi)涵和外延.