潘巧玲

(廣東省東莞市麻涌中學(xué)，523000)

2016年以來,“核心素養(yǎng)”成為教育界關(guān)注的一個焦點.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》,明確提出數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運算、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),這引發(fā)了教學(xué)一線的廣泛關(guān)注.核心素養(yǎng)視角下的教學(xué),更強調(diào)設(shè)計先行.本文以“兩角和與差的正弦、余弦和正切公式”為例,對基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的課堂教學(xué)設(shè)計進(jìn)行了分析與反思.

一、教學(xué)內(nèi)容分析

普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書《數(shù)學(xué)》人教A版必修4第三章三角恒等變換3.1.2“兩角和與差的正弦、余弦、正切公式”的內(nèi)容在高中三角函數(shù)中占著很重要的位置,它是學(xué)習(xí)三角恒等變換的基礎(chǔ),是正弦線、余弦線和誘導(dǎo)公式等知識的延伸,同時為學(xué)習(xí)倍角、半角等公式作鋪墊,對于三角變換、三角恒等式的證明和三角函數(shù)式的化簡、求值等三角問題的解決有著重要的作用.

通過對“兩角和與差的正弦、余弦、正切公式”的推導(dǎo)證明,了解它們的內(nèi)在聯(lián)系,揭示了兩角和、差的三角函數(shù)與兩角的三角函數(shù)的運算規(guī)律,加深學(xué)生對數(shù)學(xué)公式的推導(dǎo)，證明方法的理解.因此本節(jié)課是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運算、數(shù)據(jù)分析和邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要內(nèi)容,對學(xué)生的探索精神和創(chuàng)新能力培養(yǎng)有著十分重要的意義.

二、教學(xué)目標(biāo)與學(xué)科素養(yǎng)

1.教學(xué)目標(biāo)

(1) 知識與技能:

使學(xué)生能用兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角和的余弦,并推出兩角和與差的正弦、正切公式;讓學(xué)生初步學(xué)會簡單的三角函數(shù)式的化簡、求值和公式的逆運用等基本技能 .

(2) 過程與方法:

通過教學(xué)活動,使學(xué)生理解兩角和與差正弦、余弦、正切公式的形成過程;通過公式的靈活運用,培養(yǎng)學(xué)生的轉(zhuǎn)化思想和變換能力.

(3) 情感、態(tài)度與價值觀:

通過問題的自主探究,小組交流學(xué)習(xí),并解決問題,使學(xué)生掌握尋找解決數(shù)學(xué)問題的方法和規(guī)律,提高學(xué)生的觀察能力,培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識,提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

2.數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)

(1)數(shù)學(xué)抽象:推導(dǎo)兩角和與差的正弦、余弦、正切公式;

(2)邏輯推理:運用公式解決三角函數(shù)式的化簡、證明等問題;

(3)數(shù)學(xué)運算:運用公式解決基本三角函數(shù)式求值、求角等問題;

(4)直觀想象:借助三角函數(shù)圖象理解公式;

(5)數(shù)據(jù)分析:通過三角函數(shù)值,判斷角的大小;

(6)數(shù)學(xué)建模:體會到一般到特殊,化歸轉(zhuǎn)化、換元等數(shù)學(xué)思想.

三、教學(xué)重難點

重點:兩角和與差的正弦、余弦、正切公式的探究及公式之間的內(nèi)在聯(lián)系;

難點:靈活運用所學(xué)公式進(jìn)行求值、化簡、證明等.

教學(xué)過程中,學(xué)生運用公式進(jìn)行求值、化簡、證明會遇到困難,不能靈活運用.主要原因有以下兩個可能:一是前面學(xué)習(xí)的知識沒有掌握好,忘記了正弦與余弦之間存在的一些關(guān)系；二是公式比較多,容易混淆,公式不知如何靈活運用.要解決這一問題,需要教師在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生選擇適合的公式解題,區(qū)分記憶公式,從而進(jìn)一步加深學(xué)生對公式的記憶.

四、教學(xué)過程

1.復(fù)習(xí)引入,提出問題

(1)誘導(dǎo)公式:奇變偶不變,符號看象限.

(2) 兩角差的余弦公式:cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.

(3) 兩角差余弦公式的應(yīng)用:cos 15°=______.

設(shè)計意圖引導(dǎo)學(xué)生回顧已有知識和解題技巧,設(shè)置相關(guān)的舊知識,采用提問的方式進(jìn)行復(fù)習(xí), 符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律,也為推導(dǎo)兩角和的余弦公式作一個方法上的鋪墊.

問題1cos 75°=?由兩角差的余弦公式C(α-β),你能推導(dǎo)出C(α+β)?

設(shè)計意圖通過兩角差的余弦公式,引出兩角和的余弦公式,培養(yǎng)學(xué)生數(shù)據(jù)分析、邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

2.探究新知,推導(dǎo)公式

問題2請比較α+β與α-β,觀察它們之間有何聯(lián)系?

問題375°,105°,165°等是否可用類似的方法求余弦值?

設(shè)計意圖采用適當(dāng)?shù)淖兪?強化公式Cα±β,提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力.

問題4余弦和正弦之間可以互化,請根據(jù)C(α+β)，C(α-β)及誘導(dǎo)公式五(或六)推導(dǎo)出C(α+β)與S(α-β).

問題5對比分析公式

C(α-β),C(α+β),S(α-β),S(α+β)能否推導(dǎo)出T(α-β)與T(α+β)?

問題6通過什么途徑可以把上面的式子化成只含有tanα，tanβ的形式呢?

問題7這個公式對任意的α,β都成立嗎?

設(shè)計意圖引導(dǎo)學(xué)生將求正弦轉(zhuǎn)化為求余弦,降低思維難度,同時讓學(xué)生體會轉(zhuǎn)化、換元等數(shù)學(xué)思想.理解公式才能準(zhǔn)確應(yīng)用公式,引導(dǎo)學(xué)生用α,β的正切來表示α±β的正切,為推導(dǎo)公式指明了變形的方向.通過設(shè)問，提示公式中α,β,α±β的取值范圍,培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S.

3.知識小結(jié),揭示規(guī)律

問題8對比分析公式C(α-β),C(α+β),S(α-β),S(α+β)的結(jié)構(gòu)特征，思考如何靈活運用公式?

問題9你從公式的推導(dǎo)中體會到哪些數(shù)學(xué)思想方法?能否舉例?

設(shè)計意圖梳理知識,完善知識體系,用框圖的形式表示,引導(dǎo)學(xué)生從結(jié)構(gòu)上理解公式,正確把握公式的本質(zhì),為下一步公式的靈活使用打好基礎(chǔ),從而培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng),增強學(xué)生自主學(xué)習(xí)、獨立思考能力,并把握本節(jié)課中蘊含的數(shù)學(xué)思想方法.

4.應(yīng)用新知,示例練習(xí)

設(shè)計意圖例1是運用和差角公式的基礎(chǔ)題,主要是為了訓(xùn)練學(xué)生思維,逐步培養(yǎng)良好的思維習(xí)慣,也是為解決練習(xí)(3)提供一個參考.引導(dǎo)學(xué)生建立基本的解題思路,同時掌握基本的書寫格式.在教學(xué)過程中,可以去掉“α是第四象限的角”這個條件,留給學(xué)生課后思考,讓學(xué)生學(xué)習(xí)分類討論思想,提高表達(dá)能力.

練習(xí): 利用和(差)角公式計算下列各式的值.

(1) sin 72°cos 42°-cos 72°sin 42°;

(2)cos 20°cos 70°-sin 20°sin 70°;

設(shè)計意圖練習(xí)(1)，(2)是最簡單的公式逆用,請學(xué)生直接報答案,目的是加深學(xué)生對公式的理解,大部分同學(xué)會將tan 15°的值直接代入第(3)問進(jìn)行計算,這樣運算量會比較大,可以引導(dǎo)學(xué)生觀察例題1的第(3)問，找出它們的相同之處,讓學(xué)生學(xué)會逆用正切公式和感受特殊角的三角函數(shù)值在三角恒等變換中的妙用,從而突破難點.

設(shè)計意圖例2能力提升題,引導(dǎo)學(xué)生面對新問題如何運用已學(xué)知識和方法解決,有意識地對學(xué)生的思維習(xí)慣進(jìn)行引導(dǎo),培養(yǎng)學(xué)生分析問題和邏輯推理能力.

變式訓(xùn)練引導(dǎo)學(xué)生看教材中的章頭圖,某城市的電視塔建在市郊的一座小山上,小山高約為30米,在地平面上有一點A,測得A,C兩點間的距離為67米,從A觀測電視發(fā)射塔的視角∠CAD約為45°,求這座電視發(fā)射塔的高度.

設(shè)計意圖本題是解三角形問題,在必修5中已作專門的探究,這里用到的僅是與三角函數(shù)誘導(dǎo)公式、和差公式有關(guān)的問題,難度不大，學(xué)生可以自己閱讀、探究、討論解決.對有困難的學(xué)生，教師可引導(dǎo)學(xué)生分析題意和理清三角形各角之間的內(nèi)在聯(lián)系,從而找出解決問題的方法.

5.解題小結(jié),培養(yǎng)能力

問題9回顧本節(jié)課的例題學(xué)習(xí)中,最重要的解題思想是什么?解題方法是什么?解題過程中應(yīng)注意什么?

設(shè)計意圖引導(dǎo)學(xué)生在面對數(shù)學(xué)問題時,首先要認(rèn)真分析條件,明確要求,再選擇公式解題.另外數(shù)學(xué)不能只看結(jié)果而不顧過程表述的準(zhǔn)確性、簡潔性等,還要重視思維過程的表述,因為這些都是培養(yǎng)三角恒等變換能力所不能忽視的.

6. 布置作業(yè)，理論遷移

A組 基礎(chǔ)檢查

1.求值

(1)sin 72°cos 18°+cos 72°sin 18°;

(2)sin 15°;

(3) sin 34°sin 26°-cos 34°cos 26°；

B組 思考提高

設(shè)計意圖針對學(xué)生學(xué)習(xí)水平的差異進(jìn)行分層訓(xùn)練，不僅能讓大部分學(xué)生掌握基礎(chǔ)知識，并且給學(xué)有余力的學(xué)生留出自由發(fā)展空間，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識和探索精神，同時也為下一節(jié)的備課提供了一個思考方向.

五、教學(xué)反思

本節(jié)課是典型的公式教學(xué)模式，在研究了兩角差的余弦公式的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究具兩角和與差的正弦、余弦和正切公式.考慮到學(xué)生的實際水平，本節(jié)課采用啟發(fā)式教學(xué)，輔以觀察法、發(fā)現(xiàn)法、講練結(jié)合法，通過師生配合，共同進(jìn)行探究活動來完成.在公式的推導(dǎo)中，教科書都有對照、比較有關(guān)的三角函數(shù)式，譬如比較cos(α-β)與cos(α+β),又譬如比較sin(α-β)與cos(α-β)，它們有的是

教學(xué)要以人為本，讓學(xué)生大膽嘗試并主動探索數(shù)學(xué)知識發(fā)生、發(fā)展的過程，充分挖掘他們的潛能.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)下的數(shù)學(xué)教學(xué)方式的應(yīng)用，要求教師在課堂教學(xué)環(huán)節(jié)注重調(diào)動學(xué)生的積極性.因此本節(jié)課教案的設(shè)計流程是“提出問題→轉(zhuǎn)化推導(dǎo)→分析記憶→例題講解”，引導(dǎo)學(xué)生利用舊知識推導(dǎo)證明新知識，同時教給學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律、探索推導(dǎo)、獲取新知的方法，并靈活運用公式解決實際問題，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運算、邏輯推理等核心素養(yǎng)，讓學(xué)生真正體驗到自己發(fā)現(xiàn)探索數(shù)學(xué)知識的喜悅和成功感.教學(xué)中教師應(yīng)當(dāng)有意識地對學(xué)生的思維習(xí)慣進(jìn)行引導(dǎo)并重視思維過程的準(zhǔn)確表述，單墫老師曾說過，“數(shù)學(xué)課首先要講數(shù)學(xué)”，成功的教學(xué)設(shè)計一定要體現(xiàn)“真數(shù)學(xué)”.只有這樣才能真正實現(xiàn)教學(xué)相長，著眼于學(xué)生長遠(yuǎn)的發(fā)展，教會學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)的思維分析世界，用數(shù)學(xué)的語言描述世界.