舒建明

摘 要：數(shù)學(xué)抽象要求能從現(xiàn)實(shí)情景或數(shù)學(xué)情景中，概括出數(shù)學(xué)對(duì)象的一般特征，并用數(shù)學(xué)語言予以表征.因此，語言教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)語言能力，是學(xué)生能夠進(jìn)行數(shù)學(xué)表達(dá)、論證和交流的關(guān)鍵所在.教學(xué)中，教師不僅要?jiǎng)?chuàng)設(shè)情景，滲透三種語言的使用，也要在數(shù)學(xué)抽象過程中，規(guī)范對(duì)數(shù)學(xué)命題的表達(dá)和交流，并且在語言的不斷轉(zhuǎn)換表述中，將數(shù)學(xué)思維引向深入，從而深化對(duì)概念、命題和思想方法的認(rèn)知.

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)抽象;數(shù)學(xué)語言;語言轉(zhuǎn)換;數(shù)學(xué)思維

在《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》指出，數(shù)學(xué)抽象是指通過對(duì)數(shù)量關(guān)系與空間形式的抽象，得到數(shù)學(xué)研究對(duì)象的素養(yǎng).主要包括：從數(shù)量與數(shù)量關(guān)系，圖形與圖形關(guān)系中抽象出數(shù)學(xué)概念及概念之間的關(guān)系，從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律，并用數(shù)學(xué)語言加以表征.因此，能夠讀懂?dāng)?shù)學(xué)語言，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)語言簡潔、準(zhǔn)確地表述數(shù)學(xué)研究對(duì)象，并進(jìn)行表達(dá)和交流，是數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)提升的重要顯性表現(xiàn)之一.

在新老教材的課程編排上，原來在2-2進(jìn)行授課的內(nèi)容“充分條件與必要條件”，“全稱量詞與存在量詞”，新教材也將其調(diào)整至必修一第一章開始學(xué)習(xí).集合與常用邏輯用語是數(shù)學(xué)語言的重要組成部分，作為高中數(shù)學(xué)課程的預(yù)備知識(shí)，這一改變也凸顯了教材力求一開始即為學(xué)生用數(shù)學(xué)的語言表征世界打下良好的數(shù)學(xué)功底.

一、基于數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)下的數(shù)學(xué)語言發(fā)展的教學(xué)案例

數(shù)學(xué)語言在數(shù)學(xué)中的基本形式主要有三種，它們分別是圖形語言、文字語言、符號(hào)語言，下面以《函數(shù)的單調(diào)性》新授課為例，呈現(xiàn)數(shù)學(xué)語言滲透下的課堂教學(xué)案例.

1.教學(xué)目標(biāo)

（1）用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語言歸納、抽象概括增函數(shù)和減函數(shù)的概念，并能正確理解單調(diào)性;

（2）利用圖象和定義判斷函數(shù)的單調(diào)性，能正確書寫單調(diào)區(qū)間，并能用單調(diào)性定義證明函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性;

（3）培養(yǎng)學(xué)生抽象概括能力及數(shù)形結(jié)合思想方法的運(yùn)用能力.

2.重難點(diǎn)

重點(diǎn)：（1）函數(shù)單調(diào)性的概念;（2）判斷和證明函數(shù)的單調(diào)性.

難點(diǎn)：理解函數(shù)單調(diào)性的概念.

3.教學(xué)過程

（1）創(chuàng)設(shè)情景

教師：前段時(shí)間，二師兄有點(diǎn)任性，身價(jià)一路飆升，豬肉價(jià)格飛漲.觀察右側(cè)豬肉價(jià)格走勢(shì)圖，說說該圖的圖形特點(diǎn).

設(shè)計(jì)意圖：通過設(shè)計(jì)貼近生活的問題情景，初步感受兩個(gè)變量間的相互變化關(guān)系.同時(shí)也引導(dǎo)學(xué)生初步感受圖形語言對(duì)于描述實(shí)際問題的形象直觀，以及文字語言的通俗易懂.

（2）形成概念

教師：上面我們是從形的角度直觀感受了y隨x的變化情況，那我們是否可以從數(shù)的角度來研究這種y隨x的變化關(guān)系？我們從最簡單、最熟悉的函數(shù)f（x）=x2和f（x）=x圖象入手.

教師：如何描述函數(shù)f（x）=x2圖象在y軸右側(cè)的變化趨勢(shì)？

【設(shè)計(jì)意圖】通過具體的函數(shù)案例，結(jié)合圖形語言，引導(dǎo)學(xué)生嘗試用自己的語言即文字語言對(duì)函數(shù)圖象的變化情況作出描述，最后利用符號(hào)語言予以簡潔準(zhǔn)確表征，從而將思維引向深入.

教師：你能仿照這樣的描述，用文字語言和符號(hào)語言說明函數(shù)f（x）=x2在區(qū)間（-SymboleB@，0]上是減函數(shù)和函數(shù)f（x）=x在R上是增函數(shù)嗎？

【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生通過模仿嘗試三種語言間的相互轉(zhuǎn)換，進(jìn)一步深化對(duì)單調(diào)性的理解和熟悉，從而自然地從具體函數(shù)中抽象出一般函數(shù)的單調(diào)性概念.

（3）應(yīng)用概念

例1 如圖是定義在區(qū)間[-5，5]上的函數(shù)y=f（x），根據(jù)圖象說出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，以及在每一單調(diào)區(qū)間上，它是增函數(shù)還是減函數(shù).

【設(shè)計(jì)意圖】通過有針對(duì)性的訓(xùn)練，幫助學(xué)生能讀懂圖形語言并進(jìn)行單調(diào)性的判斷

【例2】 物理學(xué)中的玻意耳定律p=kV（k為正常數(shù)）告訴我們，對(duì)于一定量的氣體，當(dāng)其體積V減少時(shí)，壓強(qiáng)p將增大.試用函數(shù)的單調(diào)性證明之.

教師引導(dǎo)，板書展示，規(guī)范語言書寫.

【設(shè)計(jì)意圖】讀懂文字語言，并認(rèn)識(shí)到其本質(zhì)是研究數(shù)學(xué)單調(diào)性問題，從定義角度利用符號(hào)語言準(zhǔn)確進(jìn)行單調(diào)性證明，并明確用定義證明單調(diào)性的步驟

（4）辨析概念

探究：“函數(shù)f（x）=1x在定義域（-SymboleB@，0）∪（0，+SymboleB@）上是減函數(shù)”這個(gè)說法正確嗎？并說明理由.

學(xué)生：舉反例，取x1=-1，x2=2，f（-1）=-1<f（2）=12，所以在（-SymboleB@，0）∪（0，+SymboleB@）是減函數(shù)是錯(cuò)誤的.

教師：你能寫出函數(shù)f（x）=1x的單調(diào)區(qū)間嗎？

學(xué)生：函數(shù)在（-SymboleB@，0）和（0，+SymboleB@）都是減函數(shù)

【設(shè)計(jì)意圖】：通過反比例函數(shù)單調(diào)性的研究，加深對(duì)定義中邏輯用語“任意”的理解，實(shí)現(xiàn)對(duì)概念的再認(rèn)知.

二、數(shù)學(xué)語言對(duì)于數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)提升的意義

1.數(shù)學(xué)語言有助于數(shù)學(xué)概念和命題的恰當(dāng)表征

恩格斯說：“一門學(xué)科只有當(dāng)它用數(shù)學(xué)表示的時(shí)候，才能被最后稱為科學(xué).”數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的一門科學(xué).數(shù)學(xué)源于對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的抽象，基于抽象結(jié)構(gòu)，通過符號(hào)運(yùn)算、形式推理、模型建構(gòu)，理解和表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界中事物的本質(zhì)、關(guān)系和規(guī)律.數(shù)學(xué)語言作為表達(dá)科學(xué)思想的通用語言，具有準(zhǔn)確、嚴(yán)密、簡明的特點(diǎn).

概念抽象一般經(jīng)歷兩個(gè)層次：第一層次抽象是直觀描述，有物理背景，用自然語言表達(dá);第二層次抽象是符號(hào)表達(dá)，嚴(yán)謹(jǐn)、挑不出毛病.在教學(xué)過程中，教師通過情景創(chuàng)設(shè)，講具體背景，引導(dǎo)學(xué)生用自己的語言即自然語言初步建構(gòu)數(shù)學(xué)問題模型，體會(huì)其中的數(shù)學(xué)思想和方法.自然語言具有通俗易懂的特點(diǎn)，可以實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)概念或模型的感性認(rèn)識(shí).為了更好的表征知識(shí)的內(nèi)在結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，使數(shù)學(xué)的概念和命題更加簡潔，我們也可以對(duì)問題情景進(jìn)行符號(hào)化表示，即進(jìn)行第二層次的抽象.在語言的相互轉(zhuǎn)化過程中，我們不僅保證了知識(shí)形成的過程性，提高了語言表示的抽象層次，而且也實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)概念和命題的準(zhǔn)確，恰當(dāng)表征.

2.數(shù)學(xué)語言有助于數(shù)學(xué)抽象過程中思維的深刻性

數(shù)學(xué)抽象是指舍去事物的一切物理屬性，得到數(shù)學(xué)研究對(duì)象的思維過程.

數(shù)學(xué)語言是數(shù)學(xué)思維的載體，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)實(shí)質(zhì)上是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)，在解決實(shí)際問題過程中，能否正確的在文字語言、符號(hào)語言以及圖形語言之間靈活轉(zhuǎn)換表征，是決定學(xué)生能否成功分析問題、解決問題的關(guān)鍵，這需要重視對(duì)數(shù)學(xué)語言能力的培養(yǎng).在平時(shí)的教學(xué)中，我們應(yīng)該注意對(duì)學(xué)生進(jìn)行語言轉(zhuǎn)換的訓(xùn)練，如數(shù)形結(jié)合、概念課教學(xué)等都是三種語言轉(zhuǎn)換的很好介質(zhì).

概念是數(shù)學(xué)思維的細(xì)胞，定理、公式等是數(shù)學(xué)思維的重要內(nèi)容，表征是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的中心，當(dāng)學(xué)生在三種語言之間不同的轉(zhuǎn)換表征時(shí)，他們發(fā)展并加深了對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解，數(shù)學(xué)語言的不斷轉(zhuǎn)換，能幫助學(xué)生交流他們的思維，并將思維引入深刻.

3.數(shù)學(xué)語言可以提升學(xué)生對(duì)問題情景的認(rèn)知能力

眾所周知，浙江高考試題具有簡潔、樸實(shí)、明了的特點(diǎn)，但其背后卻是對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)語言閱讀、理解、轉(zhuǎn)化能力的高要求.數(shù)學(xué)語言在問題表達(dá)時(shí)雖然具有簡潔、準(zhǔn)確的特點(diǎn)，但是符號(hào)較多、形式化程度高，這些都要求學(xué)生具有較高的數(shù)學(xué)語言認(rèn)知能力.

學(xué)生只有將數(shù)學(xué)語言內(nèi)化到自己的語言系統(tǒng)中，學(xué)生才能認(rèn)讀感知問題情景中的有關(guān)數(shù)學(xué)術(shù)語和符號(hào)，并能正確依據(jù)數(shù)學(xué)原理分析它們之間的邏輯關(guān)系，最終實(shí)現(xiàn)對(duì)問題的本真理解，理清知識(shí)脈絡(luò).

前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)教育家斯托利亞爾說：“數(shù)學(xué)教學(xué)也就是數(shù)學(xué)語言的教學(xué).”在教學(xué)中，教師只有不斷得創(chuàng)設(shè)問題情景，給予學(xué)生用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題的機(jī)會(huì)，提高數(shù)學(xué)語言的應(yīng)用能力，確保學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中“讀得懂，說得清，想得通”.

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018.

[2]史寧中.數(shù)學(xué)的基本思想[J]. 數(shù)學(xué)通報(bào)，2011，50（1）：1-9.

[責(zé)任編輯：李 璟]