趙繼紅

(寶雞文理學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，陜西 寶雞 721013)

多元函數(shù)微分學(xué)是高等數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)之一[1-2]。雖然其基本思想來(lái)源于一元函數(shù)微分學(xué), 是在其基礎(chǔ)上的推廣和延伸。但多元函數(shù)微分學(xué)涉及到的概念眾多, 相互之間的關(guān)系錯(cuò)綜復(fù)雜, 較之一元函數(shù)有聯(lián)系更有很大差別, 這就需要初學(xué)者對(duì)多元函數(shù)微分學(xué)中的概念、公式和定理有更深層次的理解和掌握, 而不能想當(dāng)然的將一元函數(shù)的知識(shí)照搬過(guò)來(lái)。文獻(xiàn)[3-5]已就多元函數(shù)連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)和微分這些重要概念間的相互關(guān)系、反例教學(xué)、如何理解和掌握這些概念做了系統(tǒng)地總結(jié)和歸納。本文主要借助于反例來(lái)厘清多元函數(shù)微分學(xué)中的一些重要概念之間的關(guān)系, 包括重極限、累次極限、連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)、微分以及方向?qū)?shù)?？梢钥闯? 反例在揭示多元函數(shù)概念之間的內(nèi)在關(guān)系、掌握定理、理解公式和證明偽命題等方面有著巨大功效。通過(guò)這些反例, 教師在教學(xué)環(huán)節(jié)可以更好地培養(yǎng)學(xué)生對(duì)概念的理解能力、辨析判斷能力、發(fā)散思維能力、逆向思維能力和創(chuàng)新思維能力。下面以二元函數(shù)為代表展開(kāi)討論, 二元以上的多元函數(shù)可以得到類似的結(jié)論。

1 重極限和累次極限的關(guān)系

例2 考慮函數(shù)f(x,y)=

注：由例1和例2可知, 重極限存在不能保證兩個(gè)累次極限存在。反過(guò)來(lái), 兩個(gè)累次極限存在也不能保證重極限存在。

2 連續(xù)和偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)系

例4 考慮函數(shù)f(x,y)=

(2)按定義可求得fx(0,0)=

注：由例3和例4可知, 函數(shù)的連續(xù)性不能保證偏導(dǎo)數(shù)存在。反之偏導(dǎo)數(shù)存在也不能保證函數(shù)的連續(xù)性。注意這和一元函數(shù)連續(xù)和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系是有本質(zhì)區(qū)別的。

3 連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)和微分的關(guān)系

例5 考慮函數(shù)f(x,y)=

(2)按定義計(jì)算可得fx(0,0)=

由例2可知上式右端極限不存在, 所以函數(shù)f在(0,0)點(diǎn)不可微。

例6 考慮函數(shù)f(x,y)=

證 (1)先來(lái)計(jì)算函數(shù)f在(0,0)點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)。當(dāng)(x,y)≠(0,0)時(shí), 易知

當(dāng)(x,y)=(0,0)時(shí)，按定義可求得

同理可求得fy(0,0)=0。再來(lái)計(jì)算函數(shù)f在(0,0)點(diǎn)的全增量

Δz|(0,0)=f(0+Δx,0+Δy)-f(0,0)=

容易計(jì)算

從而函數(shù)f在(0,0)點(diǎn)可微。

注：由二元函數(shù)可微的必要條件可知,若函數(shù)f在(x0,y0)點(diǎn)可微, 則函數(shù)f在(x0,y0)點(diǎn)處連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)fx(x0,y0)和fy(x0,y0)均存在;再由可微的充分條件可知,若函數(shù)f的偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)(x0,y0)的某領(lǐng)域內(nèi)存在，且偏導(dǎo)函數(shù)fx和fy在點(diǎn)(x0,y0)處連續(xù)，則函數(shù)f在點(diǎn)(x0,y0)處可微。例5告訴大家即使二元函數(shù)連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)存在也不能保證其可微性, 這和一元函數(shù)可導(dǎo)與可微等價(jià)是有區(qū)別的, 需要特別注意區(qū)分；例6告訴大家二元函數(shù)的可微性并不能保證兩個(gè)一階偏導(dǎo)函數(shù)的連續(xù)性。

4 連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)、微分和方向?qū)?shù)的關(guān)系

例7 考慮函數(shù)f(x,y)=

(2)注意到在始于原點(diǎn)的任何射線l上都存在包含原點(diǎn)的充分小的一段, 在這一段上f的函數(shù)值恒為零。于是按方向?qū)?shù)的定義, 在原點(diǎn)處沿任何方向l都有f的方向?qū)?shù)等于零。

證 按方向?qū)?shù)的定義可得

同理可求得f沿方向(0,1)的方向?qū)?shù)為1, 沿方向(-1,0)的方向?qū)?shù)為-1, 沿方向(0,-1)的方向?qū)?shù)為-1。但由例3可知偏導(dǎo)數(shù)fx(0,0)和fy(0,0)均不存在。

注：由可微的必要條件可知若函數(shù)f在點(diǎn)(x0,y0)處可微, 則函數(shù)f在點(diǎn)(x0,y0)處沿任一方向的方向?qū)?shù)都存在。例7告訴大家即使所有的方向?qū)?shù)都存在，也不能保證其連續(xù)性和可微性；例8告訴大家方向?qū)?shù)也不能保證偏導(dǎo)數(shù)的存在性。當(dāng)然反過(guò)來(lái)偏導(dǎo)數(shù)的存在性更不能保證方向?qū)?shù)的存在性。

多元函數(shù)微分學(xué)是高等數(shù)學(xué)的重要教學(xué)內(nèi)容, 其中多元函數(shù)的極限、連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)、微分和方向?qū)?shù)的概念和它們之間的關(guān)系, 又是多元函數(shù)微分學(xué)教學(xué)中的關(guān)鍵和核心所在。本文通過(guò)反例來(lái)闡明這些概念間的關(guān)系和聯(lián)系, 旨在促進(jìn)學(xué)生對(duì)這些基本概念的認(rèn)識(shí)、理解、掌握和熟練應(yīng)用, 從而更深層次的厘清它們之間的內(nèi)在關(guān)系, 促進(jìn)學(xué)習(xí)效率, 提高學(xué)習(xí)積極性, 達(dá)到豐富和提升對(duì)多元微分學(xué)理解層次的深度和厚度。