陳玲玲

摘 要：隨著代數(shù)的不斷完善及平面幾何工具研究的不斷發(fā)展，“尺規(guī)作圖”在數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要性日益顯著。因?yàn)閹缀巫鲌D的邏輯性比較強(qiáng)，所以“尺規(guī)作圖”在小學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)中有著不可忽視的作用，其在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂中引進(jìn)“尺規(guī)作圖”，有利于培養(yǎng)學(xué)生的思想觀念，提升學(xué)生的作圖能力和數(shù)學(xué)思維能力。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)；教學(xué)；“尺規(guī)作圖”；有效策略

中圖分類號(hào)：G623.5 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 收稿日期：2019-11-01 文章編號(hào)：1674-120X（2020）15-0080-02

“尺規(guī)作圖”誕生兩千多年來，引起了無數(shù)數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)愛好者的興趣。幾何作圖應(yīng)用于小學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)之中，能夠把復(fù)雜的幾何作圖內(nèi)容簡(jiǎn)化，培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手操作能力和繪畫創(chuàng)作能力，為其之后“尺規(guī)作圖”的學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)。直線和圓是最基本的研究對(duì)象，運(yùn)用圓規(guī)和直尺，可以很容易被畫出直線和圓。通過直觀的“尺規(guī)作圖”，在豐富學(xué)生幾何知識(shí)的基礎(chǔ)上，也使學(xué)生的空間觀念得到了發(fā)展。

一、在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中引進(jìn)“尺規(guī)作圖”的必要性

幾何的學(xué)習(xí)，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念、推理能力有著非常重要的意義。學(xué)生空間觀念都是在觀察和操作中形成的，畫圖是簡(jiǎn)單易學(xué)的幾何操作活動(dòng)，也是幾何學(xué)習(xí)中效果十分顯著的直觀手段。

但是，在小學(xué)階段，“尺規(guī)作圖”沒有受到高度的重視，教學(xué)內(nèi)容中沒有提出明確的畫圖要求，即使提出了相關(guān)的要求，也只要求學(xué)生畫出簡(jiǎn)單的幾何圖形，或者只要求學(xué)生利用量角器、圓規(guī)等相關(guān)的測(cè)量工具測(cè)量出相關(guān)角的度數(shù)。有些學(xué)生由小學(xué)過渡到初中階段以后，不僅害怕學(xué)習(xí)代數(shù)，更害怕學(xué)習(xí)幾何。出現(xiàn)此現(xiàn)象的原因有很多，而學(xué)生的幾何素養(yǎng)、運(yùn)用作圖語言的欠缺是產(chǎn)生這種現(xiàn)象的直接原因，還有些學(xué)生是因?yàn)榉?hào)語言應(yīng)用能力較差。因此，通過對(duì)學(xué)生進(jìn)行“尺規(guī)作圖”的教學(xué)，有利于鍛煉學(xué)生的幾何語言、作圖語言以及符號(hào)語言。

有位教師曾在他寫的書中提出過這樣的觀點(diǎn)：在初中階段的學(xué)生，把相關(guān)的幾何事實(shí)看作“公理”，所以應(yīng)該在小學(xué)階段引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行“尺規(guī)作圖”的學(xué)習(xí)與訓(xùn)練，使學(xué)生積累感性認(rèn)識(shí)，在發(fā)展學(xué)生空間觀念的基礎(chǔ)上，實(shí)現(xiàn)小學(xué)數(shù)學(xué)、中學(xué)數(shù)學(xué)的銜接。通過引導(dǎo)學(xué)生操作繪圖，鼓勵(lì)學(xué)生大膽想象和驗(yàn)證，有利于培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手操作能力，使其獲得豐富的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)。

所以，在授課過程中，要多使用“尺規(guī)作圖”，為學(xué)生以后的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。

二、在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中引進(jìn)“尺規(guī)作圖”的有效策略

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)階段，將“尺規(guī)作圖”納入其中：作一條線段使其長(zhǎng)度等于已知線段；過一點(diǎn)作已知直線的垂線；作一條線段的垂直平分線；作一個(gè)角使其度數(shù)等于已知角。關(guān)于直線的作圖方法，小學(xué)生是可以理解的，而且可以很好地掌握。為了幫助學(xué)生更好地掌握“尺規(guī)作圖”，應(yīng)該讓學(xué)生將理論認(rèn)識(shí)和實(shí)踐操作結(jié)合起來。

（一）以“尺規(guī)作圖”發(fā)展抽象思維

（二）利用“尺規(guī)作圖”促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)的遷移

在數(shù)學(xué)教學(xué)的過程中，教師一般都會(huì)關(guān)注知識(shí)之間的相互遷移和內(nèi)在聯(lián)系，如整數(shù)到小數(shù)的認(rèn)識(shí)、10以內(nèi)到100以內(nèi)數(shù)字的認(rèn)識(shí)。教師在幾何作圖的教學(xué)過程中，通常只是重點(diǎn)講解幾何作圖的方法，卻很少講解其中的內(nèi)涵，這不利于培養(yǎng)學(xué)生的推理能力。其實(shí)，在小學(xué)數(shù)學(xué)幾何作圖的教學(xué)中，也存在遷移活動(dòng)類比，如果教師能夠合理地利用起來，就會(huì)提高學(xué)生演繹推理和幾何學(xué)習(xí)歸納的能力。例如，教師在進(jìn)行“過直線外一點(diǎn)作已知直線的垂線”這一知識(shí)點(diǎn)的教學(xué)時(shí)，就可以讓學(xué)生回憶之前學(xué)過的角平分線，比較他們之間的異同。“尺規(guī)作圖”是以幾何推理為基礎(chǔ)的一種作圖方法，具有較強(qiáng)的邏輯性。小學(xué)階段的學(xué)生邏輯思維能力不夠強(qiáng)，教師引導(dǎo)學(xué)生“尺規(guī)作圖”，對(duì)學(xué)生邏輯思維能力的發(fā)展有很好的啟發(fā)和促進(jìn)作用。在小學(xué)“尺規(guī)作圖”教學(xué)的最后階段，教師還可以教授學(xué)生“尺規(guī)作圖”的步驟，學(xué)生按照步驟進(jìn)行作圖，是猜想、操作、驗(yàn)證的過程。這在培養(yǎng)學(xué)生動(dòng)手能力的同時(shí)，還能夠使學(xué)生的邏輯思維能力得到鍛煉。

（三）利用“尺規(guī)作圖”驗(yàn)證數(shù)學(xué)定理

教師在講解“三角形的認(rèn)識(shí)”的相關(guān)內(nèi)容以后，才會(huì)引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)關(guān)于“三角形任意兩邊之和大于第三邊”的內(nèi)容。教師在講解這堂課之前往往會(huì)讓學(xué)生準(zhǔn)備小木棍或者火柴；在上課的過程中，教師會(huì)引導(dǎo)學(xué)生通過擺放小木棍或者火柴，來探索關(guān)于“三角形任意兩邊之和大于第三邊”的知識(shí)點(diǎn)。其實(shí)教師采用這種方法教學(xué)是不合理的，因?yàn)榻處熞龑?dǎo)學(xué)生利用小木棍擺放三角形，只能證明怎樣的三根木棍可以擺成三角形，無法證明“三角形任意兩條邊之和大于第三邊”這個(gè)性質(zhì)定理。因?yàn)樵跀[放小木棍的過程中可能會(huì)出現(xiàn)誤差，比如說木棍的粗細(xì)會(huì)影響小木棍的擺放，雖然兩根小木棍的長(zhǎng)度大于第三根木棍的長(zhǎng)度，但由于三根木棍粗細(xì)不同，因此不能擺成三角形。

“三角形任意兩邊之和大于第三邊”這個(gè)原理來自兩點(diǎn)之間線段最短這個(gè)定理。所以在實(shí)際教學(xué)中，教師沒有讓學(xué)生花費(fèi)大量的時(shí)間擺放小木棍組成三角形來驗(yàn)證這個(gè)定理，而是直接利用“兩點(diǎn)之間線段最短”這個(gè)原理，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)散思維，讓學(xué)生猜想出三角形的三邊關(guān)系。教師要把教學(xué)的重點(diǎn)放在“怎樣的三條邊可以構(gòu)成三角形”，引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手操作，利用“尺規(guī)作圖”，已知三邊作三角形，讓學(xué)生通過自己的實(shí)際操作來驗(yàn)證“三角形任意兩邊之和大于第三邊”這個(gè)定理。教師可以給出三組線段，第一組分別是線段a，b，c，線段a的長(zhǎng)度最長(zhǎng)，線段b和c的長(zhǎng)度比線段a短；第二組線段分別是a，b，c，這組線段a和第一組的線段a同樣長(zhǎng)，線段b和線段c的長(zhǎng)度比第一組線段b和c的長(zhǎng)度要短；第三組線段分別是a，b，c，這組線段a的長(zhǎng)度和第一組、第二組線段a的長(zhǎng)度一樣，同時(shí)線段b和線段c的長(zhǎng)度要比第二組線段b和線段c短一些。教師先引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手操作驗(yàn)證第一組線段，作出線段BC使其長(zhǎng)度等于線段a的長(zhǎng)度，首先以點(diǎn)B為圓心、以線段b為半徑作弧，然后以點(diǎn)C為圓心、以線段c為半徑作弧，畫出的兩條弧相交于點(diǎn)A，再連接線段AB和線段BC，這樣學(xué)生就可以清晰地看到作出的三角形ABC。接下來學(xué)生獨(dú)自動(dòng)手操作，教師給予一定的指導(dǎo)，利用同樣的方法，作出線段BC，使其長(zhǎng)度等于線段a的長(zhǎng)度，先以點(diǎn)B為圓心、以線段b為半徑作弧，然后以點(diǎn)C為圓心、以線段c為半徑作弧，畫出的兩條弧相交于點(diǎn)A。這時(shí)候?qū)W生發(fā)現(xiàn)，相交的點(diǎn)A在線段BC邊上，三條邊都重疊在一起了，顯然不能組成一個(gè)三角形。隨后，學(xué)生對(duì)第三組線段進(jìn)行檢驗(yàn)，作出線段BC使其長(zhǎng)度等于線段a的長(zhǎng)度，先以點(diǎn)B為圓心、以線段b為半徑作?。蝗缓笠渣c(diǎn)C為圓心、以線段c為半徑作弧，學(xué)生驚奇地發(fā)現(xiàn)，兩條弧沒有交點(diǎn)，根本組不成完整的三角形。

學(xué)生利用“尺規(guī)作圖”發(fā)現(xiàn)，要想構(gòu)成三角形，任意兩邊之和必須大于第三邊，如果任意兩邊之和小于第三邊，是無法構(gòu)成三角形的。在教師的指導(dǎo)下，學(xué)生利用“尺規(guī)作圖”驗(yàn)證了數(shù)學(xué)定理，還避免了小木棍出現(xiàn)誤差的情況。在這個(gè)過程中，教師可以發(fā)現(xiàn)學(xué)生在利用“尺規(guī)作圖”判斷三條邊是否能構(gòu)成三角形時(shí)，都知道先作長(zhǎng)的一邊，再作短的兩邊，因?yàn)閷W(xué)生明白了“三角形任意兩邊之和大于第三邊”的原理。

為了培養(yǎng)學(xué)生的思維能力和空間想象能力，教師還可以講解一道驗(yàn)證等腰三角形的例題，讓學(xué)生更進(jìn)一步地運(yùn)用“三邊關(guān)系”，最重要的是鍛煉學(xué)生“尺規(guī)作圖”的能力。教師可以設(shè)置這道例題：已知線段a和線段b，請(qǐng)作出等腰三角形。小學(xué)生就會(huì)提問：“應(yīng)該將哪兩條線段作為三角形的腰呢，哪一條線段作為三角形的底呢？”此時(shí)，教師應(yīng)該鼓勵(lì)學(xué)生敢于質(zhì)疑，教師要告訴學(xué)生這樣會(huì)有兩種情況出現(xiàn)。一種情況是，以線段b為底邊、線段a為腰長(zhǎng)，先作出線段BC使其長(zhǎng)度等于線段b，然后以點(diǎn)B為圓心、線段a為半徑作弧，再以點(diǎn)C為圓心、線段a為半徑作弧，兩條弧相交于點(diǎn)A，最后再連接線段AB和線段AC，就可以作出等腰三角形ABC。另一種情況是，作線段EF使其長(zhǎng)度等于線段a，先以點(diǎn)E為圓心、線段b為半徑作弧，然后以點(diǎn)F為圓心、b為半徑作弧，兩條弧線相交于點(diǎn)D，最后再連接線段DE和線段DF，就可以作出等腰三角形ABC。如此，學(xué)生便掌握了等腰三角形的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)。

通過以上動(dòng)手操作，利用“尺規(guī)作圖”驗(yàn)證相應(yīng)的數(shù)學(xué)定理，不僅培養(yǎng)了學(xué)生的動(dòng)手操作能力和邏輯思維能力，還加深了學(xué)生對(duì)“尺規(guī)作圖”的認(rèn)識(shí)。

三、結(jié)語

綜上所述，在小學(xué)階段，教師在教學(xué)過程中應(yīng)該引進(jìn)“尺規(guī)作圖”，并引導(dǎo)學(xué)生利用“尺規(guī)作圖”促進(jìn)學(xué)習(xí)的遷移，在讓學(xué)生掌握基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)，也能提升學(xué)生的空間想象力，讓小學(xué)生感受到數(shù)學(xué)之美。

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