【摘 要】數(shù)學(xué)建模是六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一，它在中學(xué)數(shù)學(xué)解題與問題解決活動(dòng)中有著廣泛應(yīng)用。文章根據(jù)有關(guān)研究者提供的兩種數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)的水平劃分方案，對(duì)應(yīng)用數(shù)學(xué)模型“實(shí)數(shù)=整數(shù)部分+小數(shù)部分”獲解的六個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)問題進(jìn)行分析，得出了相關(guān)結(jié)論和研究展望。教師在教學(xué)中應(yīng)合理界定中學(xué)數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)的教學(xué)目標(biāo)，開發(fā)數(shù)學(xué)建模問題，完善數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)的水平劃分方案。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)核心素養(yǎng);數(shù)學(xué)建模;水平劃分

【作者簡介】顧文娟，教育碩士，一級(jí)教師，新青年數(shù)學(xué)教師工作室上海教研基地成員，主要從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究。

一、問題的提出在《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》提出的六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中，數(shù)學(xué)建模指的是對(duì)現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題、用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問題的素養(yǎng)。數(shù)學(xué)建模在教學(xué)中引起了教師廣泛的重視，一方面是因?yàn)橐酝慕虒W(xué)大綱或課程標(biāo)準(zhǔn)并沒有把數(shù)學(xué)建模提升到如此高的地位;另一方面是因?yàn)閿?shù)學(xué)建模在中學(xué)數(shù)學(xué)解題與問題解決活動(dòng)中都有著廣泛的應(yīng)用，而不僅僅是針對(duì)現(xiàn)實(shí)問題，還可能是數(shù)學(xué)問題、科學(xué)問題。也就是說，數(shù)學(xué)建模是具有學(xué)科高度和應(yīng)用廣度的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一。

為開展數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)的教學(xué)與評(píng)價(jià)，《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》將數(shù)學(xué)建模的水平劃分為三個(gè)層級(jí)（水平1、水平2、水平3），每一水平都有相應(yīng)的描述[1]?？墒牵@一方案是文字描述性的，且針對(duì)高中畢業(yè)水平、高考水平、高校自主招生水平（強(qiáng)基計(jì)劃）三個(gè)層次，教師在實(shí)際教學(xué)中比較難于操作，亟須尋找更好的可操作方案及典型案例。

二、研究方法與過程

筆者引入兩種操作性較強(qiáng)的數(shù)學(xué)建模的水平劃分方案，并以數(shù)學(xué)模型“實(shí)數(shù)=整數(shù)部分+小數(shù)部分”的應(yīng)用為例，驗(yàn)證兩種方案的可行性，比較其差異，為數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)的測評(píng)提供有力的實(shí)證，從而促進(jìn)數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)的教學(xué)與評(píng)價(jià)。

（一）數(shù)學(xué)建模的水平劃分概述

南京師范大學(xué)喻平教授認(rèn)為，學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的生成源于對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)，數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)表現(xiàn)為知識(shí)理解、知識(shí)遷移、知識(shí)創(chuàng)新三種形態(tài)，這三種形態(tài)生成不同水平的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，因此可以基于知識(shí)學(xué)習(xí)的三種形態(tài)評(píng)價(jià)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的水平。具體來說，水平1“知識(shí)理解”的表現(xiàn)為了解數(shù)學(xué)知識(shí)的來龍去脈，能夠解決數(shù)學(xué)的基本問題，形成數(shù)學(xué)的基本技能;水平2“知識(shí)遷移”的表現(xiàn)為能夠?qū)?shù)學(xué)知識(shí)遷移到不同情境并解決其中的數(shù)學(xué)問題，理解數(shù)學(xué)知識(shí)之間的邏輯關(guān)系和隱含其間的數(shù)學(xué)思想方法，能夠運(yùn)用多種數(shù)學(xué)知識(shí)和方法解決常規(guī)性的、較為復(fù)雜和綜合性的問題;水平3“知識(shí)創(chuàng)新”的表現(xiàn)為具有探究問題的意識(shí)和能力，具有批判性思維能力和反思能力，能夠提出富有見解的數(shù)學(xué)猜想并證明（或證偽），能夠?qū)?shù)學(xué)問題進(jìn)行變式、拓展和推廣，具備解決非常規(guī)數(shù)學(xué)問題的能力，掌握數(shù)學(xué)知識(shí)和方法的結(jié)構(gòu)，能夠用數(shù)學(xué)思維對(duì)事物進(jìn)行判斷和分析，初步形成數(shù)學(xué)學(xué)科特定的世界觀和方法論。[2]據(jù)此，我們可以得出數(shù)學(xué)建模的水平劃分方案1（見表1）。

陜西師范大學(xué)羅增儒教授從數(shù)學(xué)解題角度，將數(shù)學(xué)建模分為以下四個(gè)水平：從能得出題目答案開始算，如果只會(huì)記憶模仿就是水平1，如果能完成變式練習(xí)就是水平2，如果能夠通過解題獲得思維感悟就是水平3，如果能自覺地通過解題分析增強(qiáng)數(shù)學(xué)理解、提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)就是水平4。其中，水平1的具體表現(xiàn)是能模仿教師或教材例題解決一些識(shí)記性的問題，能套用定理、公式，按既定流程解決問題，但稍一變化就會(huì)思維受阻。水平2的具體表現(xiàn)是能進(jìn)行知識(shí)的簡單應(yīng)用，識(shí)別變式問題中的知識(shí)原型，發(fā)現(xiàn)多題一法、一法多用。水平3的具體表現(xiàn)是有意識(shí)地探求解題思路，領(lǐng)悟解題過程中的思想和方法，主動(dòng)求簡、優(yōu)化解題過程，一題多解。水平4的具體表現(xiàn)是能迅速識(shí)別數(shù)學(xué)問題的數(shù)學(xué)模型，主動(dòng)設(shè)計(jì)解題思路，自覺分析問題和方法的深層次結(jié)構(gòu)，能開展一題多變，獲得良好的解題體驗(yàn)，形成良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和思維品質(zhì)。[3-4]據(jù)此，我們可獲得解題活動(dòng)中數(shù)學(xué)建模的水平劃分方案2（見表2）。

從以上表1和表2可以看出，數(shù)學(xué)建模的水平劃分方案1與方案2的角度不同，但是它們對(duì)同一問題的評(píng)價(jià)是一致的還是背道而馳的？下面以數(shù)學(xué)模型“實(shí)數(shù)=整數(shù)部分+小數(shù)部分”的應(yīng)用為例進(jìn)行分析。

（二）數(shù)學(xué)建模的應(yīng)用案例及分析

筆者首先給出一個(gè)數(shù)學(xué)模型，然后選取6個(gè)問題（初中、高中的數(shù)學(xué)常規(guī)教學(xué)問題各2個(gè)，初中、高中的數(shù)學(xué)競賽教學(xué)問題各1個(gè)）進(jìn)行對(duì)照研究。這6個(gè)問題均以所給數(shù)學(xué)模型為線索（或明或暗），且覆蓋了初中和高中兩個(gè)學(xué)段、常規(guī)教學(xué)與競賽教學(xué)兩種教學(xué)要求，具有較好的代表性。

本題通過兩個(gè)共軛根式的齊次冪之和為整數(shù)，且其中一個(gè)根式的冪為純小數(shù)，從而獲得另一個(gè)根式的整數(shù)部分。其實(shí)質(zhì)也是數(shù)學(xué)模型“實(shí)數(shù)=整數(shù)部分+小數(shù)部分”的應(yīng)用。（5+3）6的整數(shù)部分為3903，小數(shù)部分為1-（5-3）6。該題體現(xiàn)了數(shù)學(xué)模型“實(shí)數(shù)=整數(shù)部分+小數(shù)部分”的知識(shí)創(chuàng)新水平、自覺分析水平。在解題中如果沒有知識(shí)創(chuàng)新，即實(shí)數(shù)=整數(shù)部分+1-（1-小數(shù)部分）;如果沒有自覺分析，即實(shí)數(shù)+（1-小數(shù)部分）=整數(shù)部分+1，就不可能完成解題。

（三）統(tǒng)計(jì)與分析

為保證客觀性，筆者又邀請(qǐng)甲、乙兩位資深中學(xué)數(shù)學(xué)教師對(duì)上述6個(gè)問題的解法所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)建模水平，使用前述兩種方案分別進(jìn)行評(píng)價(jià)，得到表3和表4的統(tǒng)計(jì)結(jié)果（兩位教師的評(píng)價(jià)工作獨(dú)立進(jìn)行，個(gè)別意見不一致的地方通過協(xié)商后達(dá)成一致）。

分析表3和表4，我們得到以下啟示。

（1）無論選用數(shù)學(xué)建模的水平劃分方案1還是方案2，無論是初中數(shù)學(xué)還是高中數(shù)學(xué)，競賽教學(xué)問題比常規(guī)教學(xué)問題的數(shù)學(xué)建模水平普遍高一級(jí)，這與競賽教學(xué)問題的教學(xué)要求設(shè)置是相吻合的。

（2）數(shù)學(xué)建模的水平劃分方案1與方案2存在一定的對(duì)應(yīng)關(guān)系：方案1的水平1（知識(shí)理解）對(duì)應(yīng)方案2的水平1（記憶模仿），方案1的水平2（知識(shí)遷移）對(duì)應(yīng)方案2的水平2（變式應(yīng)用）和水平3（自發(fā)領(lǐng)悟），方案1的水平3（知識(shí)創(chuàng)新）對(duì)應(yīng)方案2的水平3（自發(fā)領(lǐng)悟）和水平4（自覺分析），但也具有一定的重復(fù)性。

（3）實(shí)踐是檢驗(yàn)理論的重要標(biāo)準(zhǔn)，無論選用數(shù)學(xué)建模的水平劃分方案1還是方案2，都存在描述不夠精確的地方，有時(shí)無法有效區(qū)分相關(guān)問題解決水平的真實(shí)差異。

三、研究結(jié)論與展望

到目前為止，《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》及有關(guān)專家、學(xué)者給出了多種數(shù)學(xué)建模的水平劃分方案，并且都具有一定的合理性，能夠定性地評(píng)價(jià)大部分?jǐn)?shù)學(xué)建模問題及其解決過程。但在實(shí)際操作中還存在模糊與不足的地方，上述6個(gè)問題的統(tǒng)計(jì)與分析就是實(shí)證。究其原因，一方面是把數(shù)學(xué)建模局限在現(xiàn)實(shí)情境的問題，忽視數(shù)學(xué)情境、科學(xué)情境的數(shù)學(xué)建模問題;另一方面是這些方案難以定量、精準(zhǔn)地描述問題的解決過程，難以比較、評(píng)價(jià)不同解決過程所表現(xiàn)的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的差異。因此，筆者建議關(guān)于數(shù)學(xué)建模的教學(xué)與評(píng)價(jià)研究應(yīng)關(guān)注以下幾方面。

（1）合理界定中學(xué)數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)的教學(xué)目標(biāo)，比如：了解數(shù)學(xué)建模的一般過程和方法，理解模型思想;理解中學(xué)階段常見的數(shù)學(xué)模型（恒等式模型、不等式模型、方程模型、函數(shù)模型、幾何基本圖形模型、概率統(tǒng)計(jì)模型等）的現(xiàn)實(shí)背景，掌握其數(shù)學(xué)表述;認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)模型在數(shù)學(xué)內(nèi)部以及外部（科學(xué)、社會(huì)、工程技術(shù)等）諸多領(lǐng)域的應(yīng)用，能運(yùn)用這些數(shù)學(xué)模型解決簡單的問題（包括現(xiàn)實(shí)問題、數(shù)學(xué)問題、科學(xué)問題等）。

（2）借助更科學(xué)的教育測量技術(shù)，繼續(xù)量化、完善已有數(shù)學(xué)建模的水平劃分方案，準(zhǔn)確評(píng)價(jià)問題本身及不同解答過程、不同解題者反映的數(shù)學(xué)建模的不同水平，從而指導(dǎo)和改進(jìn)數(shù)學(xué)教學(xué)。

（3）開發(fā)好的培育數(shù)學(xué)建模等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的問題，引導(dǎo)學(xué)生有意識(shí)地用數(shù)學(xué)眼光觀察世界、用數(shù)學(xué)思維分析世界、用數(shù)學(xué)語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界，發(fā)現(xiàn)和提出問題，分析和解決問題，感悟數(shù)學(xué)的知識(shí)與方法，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)，提升實(shí)踐能力，增強(qiáng)創(chuàng)新意識(shí)和科學(xué)精神。

參考文獻(xiàn)：

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[2]喻平.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)評(píng)價(jià)的一個(gè)框架[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2017（2）：19-23，59.

[3]羅增儒.數(shù)學(xué)解題的水平劃分[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2020（7）：2-4，21.

[4]羅增儒.數(shù)學(xué)解題的水平劃分（續(xù)）[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2020（10）：2-5.

（責(zé)任編輯：陸順演）