李桂貞

（惠州學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院， 廣東 惠州 516007）

Sun[1-2]定義了類似于Euler數(shù)｛En｝和Euler多項(xiàng)式｛En( x) ｝的序列｛Un｝和｛Un( x) ｝：

其中，［x］是指不超過x的最大整數(shù). 易知， U2n-1= 0 (n ≥ 1 )．

1 需要用到的定義

廣義的楊輝三角形［8］（亦稱廣義的Pascal三角形）由下列多項(xiàng)式的展開式系數(shù)構(gòu)成：

廣義的二項(xiàng)式系數(shù)滿足下列等式：

k階的Euler多項(xiàng)式［6,9］(x)由下列生成函數(shù)給出：

由式(12)可得

定理1令n∈?,k∈?，則

證明由式(6)可得

由式(17)、(18)得

定理2令n∈?,k∈?，則

證明應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法來證明式(21)．當(dāng)m=1時(shí)，式(21)顯然成立．假設(shè)m≥2時(shí)式(21)成立，運(yùn)用式(10)、式(11)和式(15)得

所以，對于自然數(shù)m+1，式(21)也成立．因此，由數(shù)學(xué)歸納法可知，對任意的自然數(shù)，式(21)都成立．證畢．

注2定理2中的 m = 1 ,2,3,有

定理3令n∈?,k∈?，則

證明由式(6)、式(13)，可得

推論1令定理3中的k=1，則

注3顯然,當(dāng)式(24)中x=0時(shí)，即為結(jié)論式(5)．

定理4令n∈?，則

證明由推論(1)和式(14)可得

推論2令定理4中的 x = 3 d , 3d + 1 ,3d + 2 ,d ∈?,則

注4 令式(25)中的x=0或式(27)中的d=0，結(jié)論即為文獻(xiàn)[1]中的定理2.5．

由式(6)容易得到：

由式(35) ~ (37)和中國剩余定理[10]可以推導(dǎo)出定理5．證畢．