鄧麗

[摘 ?要] 圓錐曲線是高中數(shù)學(xué)解析幾何知識模塊中的重要一環(huán)，離心率是圓錐曲線中的一個重要概念，是對圓錐曲線形狀特征的一個重要的量化描述，然而圓錐曲線概念較為抽象復(fù)雜，學(xué)生在求解圓錐曲線的離心率或者應(yīng)用離心率解決問題時往往不知道該采用哪些方法. 文章總結(jié)了基本定義求解法、幾何關(guān)系分析法、參數(shù)消元方程法和不等式約束法這四種常用的解題方法，并附上了對應(yīng)的教學(xué)例題和方法分析.

[關(guān)鍵詞] 圓錐曲線;雙曲線;雙曲線性質(zhì);離心率基本定義;幾何關(guān)系分析

圓錐曲線是高中數(shù)學(xué)解析幾何知識模塊中的重要一環(huán)，學(xué)習(xí)相關(guān)概念和思想方法對于提升學(xué)生計算能力、分析能力、問題轉(zhuǎn)化能力等數(shù)學(xué)綜合能力有著重要的作用，離心率是圓錐曲線中的一個重要概念，是對圓錐曲線形狀特征的一個重要的量化描述. 由于離心率的概念距離生活較遠，因此它對于學(xué)生來說比較陌生，再加上圓錐曲線中概念繁多且聯(lián)系性強，解題手段靈活，學(xué)生在求解圓錐曲線的離心率或者應(yīng)用離心率解決問題時往往不知道該采用哪些方法，筆者在此總結(jié)了四種常見的雙曲線離心率求解方法并附以對應(yīng)例題以供同行們教學(xué)參考.

幾何關(guān)系分析法

圓錐曲線是代數(shù)與幾何的結(jié)合產(chǎn)物，研究圓錐曲線少不了利用它的幾何性質(zhì)，這一點對于求取雙曲線的離心率也成立.

例2：假設(shè)現(xiàn)有一四邊形以雙曲線C的兩個焦點以及虛軸的兩個端點為頂點，已知該四邊形有一個大小為60°的內(nèi)角，試根據(jù)上述條件求出雙曲線C的離心率.

分析：本題給出的是一個隱含了數(shù)量關(guān)系的幾何條件，我們需要先分析幾何條件并挖掘轉(zhuǎn)化出數(shù)量關(guān)系. 要解決這道例題，我們首先需要明白這個和雙曲線相關(guān)的四邊形是什么樣的，根據(jù)雙曲線焦點和虛軸端點關(guān)于原點分布的對稱性，我們可以知道該四邊形是菱形，又根據(jù)該四邊形有一個60°的內(nèi)角可知其圖像大概如圖1所示.

參數(shù)消元方程法

在很多問題中我們不能直接得到參數(shù)a，c之間的比例關(guān)系，而是需要利用雙曲線各參數(shù)的數(shù)量關(guān)系，通過借助方程間接得到關(guān)于a，c的方程（往往該方程的形式是二次的），最后經(jīng)過轉(zhuǎn)化就可以得到關(guān)于離心率的方程. 利用參數(shù)消元方程法求解雙曲線離心率的第一步也是關(guān)鍵一步就是構(gòu)造方程，解方程時需要留心離心率的定義形式和取值范圍，適當(dāng)?shù)剡x取方法和進行取舍.

例3：已知點F是某雙曲線的焦點之一，點B是其虛軸的端點之一，直線FB與一條漸近線成90°，根據(jù)這些信息試求該雙曲線離心率的值.

分析：本題給出的幾何條件較為抽象，我們需要能夠據(jù)此轉(zhuǎn)化挖掘出關(guān)于雙曲線參數(shù)的方程.不難想到我們可以利用垂直直線的斜率之積為-1的性質(zhì)來轉(zhuǎn)化條件.

解答：若該雙曲線的兩個焦點落在橫軸上，則可設(shè)其標準方程為-=1（a>0，b>0）. 焦點F的坐標為（-c，0），虛軸端點B的坐標為（0，b），易得直線FB的斜率為，可能與之垂直的漸近線的斜率為-，因此可得-=-1，即b2=ac. 根據(jù)雙曲線的性質(zhì)c2-a2=b2，可將式子進一步轉(zhuǎn)化為c2-ac-a2=0，等式兩邊同時除以a2，即可得e2-e-1=0，可解得e=. ?又該圓錐曲線是雙曲線，則e>1，所以取e=.

方法分析：根據(jù)題目條件建立關(guān)于雙曲線參數(shù)的方程，一般來說以二次齊次式為佳，因為最終的離心率是與a，c相關(guān)的，對于b2，我們可以利用關(guān)系式b2=c2-a2進行轉(zhuǎn)化，最終將關(guān)于a，c的二次齊次式轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心率e的一元二次方程.

求解方法及注意點總結(jié)

其實不論具體求解離心率的方法如何，圍繞離心率的基本定義式e=，歸根結(jié)底就是希望求解出a，c之間的比例關(guān)系，有三種基本的思路可供參考：其一，求出具體的a，c，接著直接采用相除的方法獲得答案;其二，用中間參數(shù)表示a，c，再通過比值法消去中間參數(shù)求解離心率，具體可以參考方法一中的例題;其三，將比值式或作為一個整體進行求值，很多時候我們不能直接求得或者用中間參數(shù)表示a，c，這個時候我們就可以思考直接去求a，c之間的比例關(guān)系，例如參數(shù)消元方程法運用的就是這樣一個整體求值的思想.

離心率是描述圓錐曲線形狀特征的量，由于圓錐曲線在定義時就具有一些性質(zhì)，因此我們在求解離心率的時候就要利用這些性質(zhì)或者多注意特定性質(zhì)帶來的限制. 從雙曲線的角度來說，我們需要多利用其參數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系a2+b2=c2轉(zhuǎn)化條件或者化簡算式，幾何關(guān)系分析法和參數(shù)消元方程法的例題就能很好地說明這點，同時我們也要注意到雙曲線的離心率大于1這一性質(zhì)，這能夠幫助我們進行答案的取舍和范圍的約束，比如在參數(shù)消元方程法的例題中我們就舍去了小于1的根.

教師在進行圓錐曲線離心率求解問題教學(xué)的時候，也需要注意充分發(fā)揮學(xué)生的主觀能動性. 教學(xué)時，教師可以先給出具體類型的例題，再引導(dǎo)學(xué)生自主歸納和探尋方法，同時鼓勵其發(fā)散思維，類比學(xué)習(xí)，比如完成雙曲線離心率的求法的教學(xué)后，教師可以引導(dǎo)學(xué)生類比思考橢圓的離心率求法.