張品軍

[摘 ?要] 應用探究題是高中數學較為特殊的一類問題，問題一般緊密聯(lián)系實際，解析時需合理構建模型，充分利用所學知識，因此對學生的讀題和建模能力有著較高的要求.文章剖析應用探究題的背景，結合考題開展思路突破及轉化，提出相應的教學建議.

[關鍵詞] 應用題;探究;模型;交點;直線;圓

問題背景分析

應用性是高考數學的重要考向之一，即倡導學以致用，提升學生應用能力. 近幾年的高考命題趨向聯(lián)系科學技術、生產生活，強調避免數學學習與生活實際脫節(jié)，鼓勵學生靈活運用所學知識、方法技能和核心素養(yǎng)解決實際問題，以該考查內容為導向出現(xiàn)了眾多數學應用題.基于高考考查要求，在探究學習中應培養(yǎng)學生應用數學知識解決問題的意識和能力，提升文字閱讀、信息提取、問題分析、數據處理能力，使學生掌握數學應用題的解題思路及方法. 下面以一道高考應用題為例，展開對數學應用題的探究.

典例案例剖析

數學應用題所涉內容十分豐富，重點考查學生的直觀想象、數學建模和應用分析能力，下面將對2019年江蘇省高考卷的一道數學應用題開展探究.

（2019年江蘇高考數學卷第18題）如圖1，一個湖的邊界是圓心為O的圓，湖的一側有一條直線型公路l，湖上有橋AB（AB是圓O的直徑）. 規(guī)劃在公路l上選兩個點P，Q，并修建兩段直線型道路PB，QA. 規(guī)劃要求：線段PB，QA上的所有點到點O的距離均不小于圓O的半徑. 已知點A，B到直線l的距離分別為AC和BD（C，D為垂足），測得AB=10，AC=6，BD=12（單位：百米）.

（1）若道路PB與橋AB垂直，求道路PB的長;

（2）在規(guī)劃要求下，P和Q中能否有一個點選在D處？并說明理由;

（3）在規(guī)劃要求下，若道路PB和QA的長度均為d（單位：百米），求當d最小時，P，Q兩點間的距離.

問題解讀：本題目屬于路政規(guī)劃應用題，對于該類問題首先需要根據題干信息來把握圖形，具體內容為下，⊙O表示圓心為O的湖，AB為湖上的一座橋，長等于圓的直徑，直線l為公路，AC和BD表示點A和B到直線l的垂直距離.而探究問題規(guī)劃兩條道路PB和QA，需在公路l上選兩點P和Q，基本要求是線段PB，QA上的所有點到點O的距離均不小于圓O的半徑，實則為確保公路與湖不存在干涉，是出于實際建設要求. 上述本質為平面幾何問題，分析時需要結合圖形添加輔助線，構建相應的模型，結合幾何特性開展分析討論.

幾點教學思考

對于學生而言，解析應用探究題的難點主要集中在如下兩方面：一是審題過程，如何準確理解題意，挖掘題目中的數量關系，把握解題的關鍵信息;二是模型構建過程，根據題目中的重要信息，如何選擇合理的數學模型進行解題，關鍵是通過合理構建模型，實現(xiàn)“實際問題”向“數學問題”的轉化.

1. 深入剖析問題，把握關鍵信息

應用探究題突破的第一步是審題，需理解問題，把握關鍵信息，同時也是解題的基礎. 在審題過程中需要深入解析問題，把握問題本質，提取其中的關鍵信息，進行多維表征，展開聯(lián)想，探究解決問題的突破口. 例如上述路政規(guī)劃問題中，需要選點修路，核心條件是線段上的點到湖心的距離均不小于湖的半徑，實則就是確保道路不與湖交叉，而體現(xiàn)在問題中則是線段與圓不相交，故確定了角度分析和距離計算兩種分析方案. 因此在教學中，需要教師引導學生理解問題的根本所在，深入挖掘其中的隱含信息，結合所學知識來轉化條件，確定基本的解題突破方案.

2. 合理構建模型，掌握構造技巧

應用探究題突破的第二步是構建模型，即根據實際情形來建立數學模型，同時添加輔助線來加以變形轉化，該步是實現(xiàn)實際問題向幾何問題轉化的關鍵，也是后續(xù)數形剖析問題，降低思維難度的重要手段. 在模型構建的過程中要合理利用幾何要素，結合幾何特性進行概括抽象，確保所構模型綜合現(xiàn)實問題的基本特征和關系，能夠充分反映問題的核心要點. 如上述問題中公路抽象為直線，湖抽象為圓，距離中體現(xiàn)了垂直關系，從而將筑路規(guī)劃問題抽象為直線與圓的交點問題，從而為后續(xù)的幾何法確定提供了參考. 在教學中需引導學生體驗模型構建的過程，掌握問題抽象、模型構建的方法技巧，全面剖析問題，總結方法策略，促進學生構建數學模型意識，提升其思維能力.