沈小琴

[摘 ?要] 當代教學理論普遍強調學習中學生的主體地位和自主性，要求從認知結構生成的角度展開教學，這對教師的教學能力提出了更高的新要求. 為了保證課堂教學的質與量，教師需要提前設計合理的課堂教學環(huán)節(jié).“直線的傾斜角和斜率”是學習解析幾何知識模塊的起點，是高中數(shù)學體系中代數(shù)和幾何的轉折點，也是初中幾何知識向高中幾何知識的過渡點. 文章中筆者將以此部分知識的教學為例分享自己的教學設計經(jīng)驗.

[關鍵詞] 直線的傾斜角和斜率;教學環(huán)節(jié)設計;問題情境教學法;坐標法

教學內容和目標分析

1. 基本教學內容

（1）正確理解直線的傾斜角及斜率的基本概念、性質和對應關系.

（2）掌握計算直線斜率的基本方法和對應公式.

（3）能靈活應用相關概念和公式轉化來解決問題.

2. 教學目標分類

（1）學生掌握上述基本教學內容，正確理解對應知識，具備相關技能.

（2）通過揭示傾斜角和斜率之間的聯(lián)系，提高學生觀察比較、歸納抽象的能力，逐步培養(yǎng)學生數(shù)形結合的思維能力;同時通過介紹斜率的計算方法，引入坐標法.

（3）課堂以自主探究與合作交流相結合的方式展開，突出學生在學習中主體作用的同時，充分發(fā)揮教師指路人和推進者的把控作用，讓學生切身體會解析幾何的迷人精妙，從而深化對數(shù)學科學的理解，并自發(fā)產(chǎn)生探索數(shù)學世界的興趣.

3. 知識結構中的位置及作用分析

學生從本節(jié)內容開始正式進入解析幾何知識的學習. 直線是構成許多幾何圖形的基本模型，且性質明確簡單、易于理解，是解析幾何學習的良好切入點，而直線的傾斜角和斜率是描述直線性質的基本量，厘清兩者的概念是研究直線的第一步.

本節(jié)內容是高中數(shù)學體系中的一個轉折點. 學生經(jīng)過了一年的代數(shù)學習，已經(jīng)建立了基本的函數(shù)意識，形成了一定的函數(shù)思維并具備了一定的函數(shù)分析能力，為了進一步完善學生的數(shù)學知識結構，高中數(shù)學體系在此基礎上包含了解析幾何的知識.

本節(jié)的知識還能幫助學生完成幾何觀的過渡. 初中階段學生對于幾何的認識是感性的、較為淺顯的，停留于某幾類典型幾何圖形的簡單性質;而高中階段對于幾何的描述偏向理性，以較為精確的數(shù)量關系描述更加一般的幾何圖形性質. 直線的傾斜角是一個直觀的幾何概念，能夠幫助學生更好地理解直線垂直、平行等較為熟悉的概念，同時為引入斜率起到了過渡作用，是聯(lián)結初高中幾何知識的紐帶;直線斜率是描述直線性質的核心概念，能集中體現(xiàn)解析幾何中數(shù)形結合的重要思想，是解析幾何的入門和基礎性概念.

綜上，“直線的傾斜角和斜率”是學習解析幾何知識模塊的起點，是高中數(shù)學體系中代數(shù)和幾何的轉折點，也是初中幾何知識向高中幾何知識的過渡點.

本節(jié)知識的教學重點在于傾斜角和斜率的概念以及斜率的幾種計算方法，而難點在于傾斜角與斜率的對應關系和斜率計算公式的推導.

課堂教學過程設計

課堂將以問題為線索啟發(fā)引導學生探究概念方法，綜合采用情境引導、合作探究等教學方式幫助學生完成主體認知結構的生成，給學生主觀能動性的發(fā)揮留下足夠的空間.

1. 設計問題情境，活躍學生思維

課堂開始之前筆者在黑板上畫出了若干傾斜度不同的模擬滑雪斜坡，并給學生播放了滑雪的視頻，在學生看完視頻之后，筆者提出了問題：“在剛剛的視頻中細心的同學一定注意到了，滑雪賽道（指向黑板上的模擬賽道圖）是有不同傾斜程度的，請同學們思考：生活中我們可以根據(jù)什么來判斷某一斜坡的傾斜程度呢？如果是在平面直角坐標系中呢？”

情境設計意圖：以常見的體育賽事作為問題引入情境，迅速活躍了課堂氣氛并有利于幫助學生打開思路，同時幫助學生找到思考問題的著力點，平緩了問題難度.

2. 自主學習概念，合作探究問題

教學最應該關心的是學生在學習過程中的參與度，因此為了讓學生充分發(fā)揮自主性，在創(chuàng)設了問題情境后，筆者讓學生先自行閱讀學習書本上的相關概念并思考回答以下問題.

問題1：生活中我們常用坡度來描述某一斜面的傾斜程度.例如，我們可以用最高點的高度與起點和終點間水平距離的比值來表示坡度，測試并思考坡度與斜面的哪些量有關？能給出一個具體的例子說明你的結論嗎？

問題2：繼問題1，以斜坡的頂點為坐標原點、以斜面的底為橫軸建立平面直角坐標系，則斜面可以看作是一條直線，將該直線繞著坐標原點旋轉的過程中，它和坐標軸的相對位置有幾種情況？上一問中刻畫坡度的量與坐標系中哪個量存在對應關系？對應關系是什么？

問題3：直線的傾斜角和斜率的概念是什么？結合上述兩問思考它們二者有何聯(lián)系？傾斜角以及斜率有取值范圍的限制嗎？任意一條直線l都有傾斜角和斜率嗎？

問題4：如果已知平面直角坐標系上兩個不同的點P1（x1，y1），P2（x2，y2）確定了一條直線l，則它的斜率是否存在？計算斜率的公式是什么？

問題5：若P1（x1，y1），P2（x2，y2）是平面上任意兩點，則由這兩點確定的直線是否一定存在斜率？

在學生經(jīng)過一段時間的自主學習和思考后，筆者組織學生分組進行合作探究，讓不同學生的思維在激烈碰撞中互相補充和修正，充分釋放學生自身思維的能量，在此過程中筆者巡視于教室，若有學生提出疑問則進行適當?shù)狞c撥.

3. 展示新穎思路，疑難重點詳解

經(jīng)過上面兩個課堂環(huán)節(jié)，學生已經(jīng)對“直線的傾斜角和斜率”有了較為全面的把握，而部分學生在一些疑難點處難免會存在認知不清的問題，這時筆者將對這些疑難點和教學重點進行進一步的詳細講解，以幫助學生形成清晰而牢固的認知.

探究問題1：傾斜角的數(shù)學定義和取值范圍.

如圖1所示，教師先利用多媒體工具動態(tài)展示傾斜角的四種可能情況，再讓學生思考片刻后對上一環(huán)節(jié)中探究的問題2、問題3的結果進行展示交流，最后再由教師對學生的答案進行匯總和補充，并給出準確的概念.?

問題設計目的：教師先利用幾何畫板等多媒體工具直觀生動地展示了直線傾斜角的典型情形，幫助學生對自己的結論進一步地修正和補充，再讓學生通過展示答案進一步加深對概念的認知與思考.

探究問題2：直線斜率的定義和存在條件.

筆者通過類比的方式幫助學生理解直線斜率的概念和定義，先給出如圖2所示的生活中的斜坡案例.

承接上一探究問題，筆者先將斜坡的坡度角與直線的傾斜角對應起來，再通過坡度===，將坡度和坡度角的正切值對應起來，再通過類比斜率和坡度含義的相似性，幫助學生通過自己的思考得出公式k=tanαα≠.?

接下來筆者繼續(xù)引導學生探究斜率的存在條件和變化情況.

筆者提出了兩個問題：（1）當直線垂直于橫軸時，直線的傾斜角是否存在？直線的斜率是否存在？（2）當直線的傾斜角從0變化到不包含以及從變化到π時，直線的斜率是否存在一定的單調性？

通過這兩個問題，筆者引導學生將注意力聚焦在傾斜角與斜率的對應關系上，幫助學生進一步補充和修正關于斜率定義和存在條件的認知.

探究問題3：坐標法計算直線斜率.

針對這一個知識點，筆者提出了問題：如圖3所示，在已知某一直線上兩點的坐標而不能直接求得直線傾斜角的情況下，如何求得直線的斜率呢？

筆者引導學生通過相似三角形的知識將傾斜角的正弦值與聯(lián)系起來，還有一些學生想到利用平行線的性質轉化問題.?

4. 課堂即時練習，及時鞏固總結

在課堂的收尾階段，筆者傾向于針對課堂教學內容讓學生進行即時練習，以在最佳時間總結和鞏固知識.

課堂練習1：下列說法中正確的是（ ?）

A. k存在，則傾斜角必定存在

B. 對于每一條直線l，傾斜角存在且唯一

C. 若傾斜角為α，則可知k=tanα

課堂練習2：已知A（-3，2），B（4，1），C（0，-2），D（-3，7），試求出這四點能夠確定的所有直線的斜率.