范韋莉

摘要：數(shù)學(xué)學(xué)科的育人價(jià)值主要體現(xiàn)于數(shù)學(xué)的理性精神以及蘊(yùn)含其中的數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思想。王凌老師教學(xué)《找規(guī)律》一課時(shí)，將學(xué)習(xí)活動(dòng)鑲嵌于“發(fā)現(xiàn)問題—提出問題—分析問題—解決問題”的過程之中，引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成“接著想下去”的數(shù)學(xué)思維，掌握由“例”到“類”的數(shù)學(xué)方法，獲得“將具體的數(shù)學(xué)知識(shí)都忘掉以后剩下的”數(shù)學(xué)思想。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)思維數(shù)學(xué)方法數(shù)學(xué)思想《找規(guī)律》

近日，筆者有幸聆聽了特級(jí)教師王凌教學(xué)六年級(jí)學(xué)生《找規(guī)律》一課。這節(jié)課的設(shè)計(jì)源于蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級(jí)下冊(cè)《解決問題的策略》單元的例2“計(jì)算12+14+18+116”，即借助幾何直觀將一類分?jǐn)?shù)連加式題進(jìn)行轉(zhuǎn)化。本節(jié)課，王老師試圖通過這道題引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)什么？傳達(dá)給聽課教師什么教學(xué)理念？筆者帶著這樣的問題走進(jìn)了課堂，聽后深受啟發(fā)，感悟頗多。

一、教學(xué)過程

（一）什么是規(guī)律——由表象到本質(zhì)的進(jìn)階

上課伊始，王老師詢問學(xué)生有無這樣的體會(huì)：“有時(shí)候，在作業(yè)或考試中總會(huì)遇到一些老師曾在課堂上講過，甚至重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)過的題目，但是自己還是做不出來;又或是本來會(huì)的題目，過了一段時(shí)間或者稍微變了一下，就不會(huì)做了……”顯然，這個(gè)話題引起了學(xué)生的共鳴，幾乎所有學(xué)生都表示自己有過這樣的經(jīng)歷。對(duì)此，王老師指出：“目前，大多數(shù)同學(xué)學(xué)習(xí)時(shí)只關(guān)注知識(shí)，未考慮方法，也就是我們?cè)趯W(xué)習(xí)某些內(nèi)容的時(shí)候，看上去是會(huì)的，其實(shí)只是會(huì)了一道題，而并不知曉解決一類問題的方法，所以盡管做了很多道題，但并不表示我們真的懂了?！睂W(xué)生聽了王老師的分析后深以為然，自然生發(fā)出對(duì)本節(jié)課學(xué)習(xí)的期待——從學(xué)生渴望的眼神中可以感受到，他們迫切地想改善自己的學(xué)習(xí)方式。

接著，王老師揭示：“本節(jié)課的主題是‘找規(guī)律，而剛才提到的‘方法就是本節(jié)課所要找的‘規(guī)律?！睘榱藥椭鷮W(xué)生弄清楚到底需要找出怎樣的規(guī)律，王老師提供了以下兩組例子：

例1（1）男生20人，女生24人，男生、女生一共多少人？

（2）山羊15只，綿羊23只，山羊、綿羊一共多少只？

例2（1）每塊燒餅2元，買4塊需要多少元？

（2）每本練習(xí)本3元，買10本需要多少元？

學(xué)生看到這兩組問題后，都笑了。這些題對(duì)他們來說，顯然太簡(jiǎn)單了：第一組題，只要把兩個(gè)數(shù)量合并起來，即用加法，就能輕松得到答案;第二組題，都可以用“單價(jià)×數(shù)量=總價(jià)”來表示。王老師就是想通過這樣簡(jiǎn)單的例子讓學(xué)生知道，發(fā)現(xiàn)了一類問題內(nèi)在穩(wěn)定的結(jié)構(gòu)，也就發(fā)現(xiàn)了這類問題的規(guī)律。

那么，如何發(fā)現(xiàn)這種內(nèi)在穩(wěn)定的結(jié)構(gòu)呢？王老師啟發(fā)學(xué)生：“常用的方法是多舉一些例子，通過比較發(fā)現(xiàn)這些例子的共性;掌握一定的方法后，再通過相應(yīng)的方法學(xué)習(xí)新的知識(shí)，這樣才能舉一反三。”

（二）怎樣找規(guī)律——由一道到一類的遷移

1.例題重現(xiàn)，感受“接著想下去”。

王老師在屏幕上出示文首例題，提問：“你們是怎樣解決這道題目的？”大部分學(xué)生回答“通分”，也有學(xué)生隱約想起之前是借助數(shù)形結(jié)合來分析的。王老師相機(jī)出示圖1。學(xué)生都回憶起這道題是通過轉(zhuǎn)化，即用1-116得到結(jié)果的，并一致認(rèn)為這是解決同類問題較好的方式。

王老師看到學(xué)生自信滿滿，并不急于表態(tài)，而是指出：“會(huì)做一道題，并不代表會(huì)做一類題。檢查自己有沒有真正掌握，我們還可以在舉例子上做文章，即舉具有類似結(jié)構(gòu)的例子?！睂W(xué)生躍躍欲試，舉出12+14+18+116+132、12+14+18+116+132+164等算式。王老師先肯定了學(xué)生使用的舉例法是一種常用方法，也就是“接著想下去”，然后啟發(fā)學(xué)生，“接著想下去”既可以往后想，還可以往前想，并引發(fā)學(xué)生思考：“如果往前面補(bǔ)數(shù)，應(yīng)該補(bǔ)幾？再往前補(bǔ)呢？”

2.再次嘗試，主動(dòng)建模明理。

王老師出示：16+8+4+2+1+12+14+18+116。學(xué)生獨(dú)立完成。絕大多數(shù)學(xué)生將整數(shù)部分進(jìn)行了相加，對(duì)后面的分?jǐn)?shù)部分按照之前的方法進(jìn)行計(jì)算。王老師讓學(xué)生想想是否還有其他的方法。很快，有學(xué)生提出整數(shù)部分也可以按照之前的方法處理，即把一個(gè)大正方形看作32，用32-1同樣可以算出整數(shù)部分。這位學(xué)生的想法引發(fā)了全班的思考。

稍后，有學(xué)生自告奮勇上臺(tái)講解：“這道算式可以轉(zhuǎn)化成32-116，并且可以用圖解釋這樣做的道理?！蓖趵蠋熛鄼C(jī)出示圖2。該學(xué)生接著說道：“這道題的結(jié)構(gòu)與上一題一樣，后一個(gè)數(shù)總是前一個(gè)數(shù)的一半——在這里，大正方形表示32，32是由2個(gè)16構(gòu)成的，依次得到8、4、2、1、12……這個(gè)圖越畫越小，但是我們可以‘接著想下去，最后的空白處肯定是算式中的最后一個(gè)數(shù)116，所以用32-116即可求出結(jié)果。”在這期間，全班學(xué)生都很安靜。無疑，這位學(xué)生高水平的解決方案推動(dòng)全班進(jìn)入了比較積極的認(rèn)知狀態(tài)。

3.溝通聯(lián)系，遷移方法。

王老師繼續(xù)出示：13+16+112+124。這次，學(xué)生沒有急于動(dòng)筆，而是仔細(xì)地觀察這個(gè)算式的特征，嘗試找到與剛才那些題目的共性。當(dāng)發(fā)現(xiàn)這個(gè)算式的內(nèi)在結(jié)構(gòu)還是后一個(gè)數(shù)是前一個(gè)數(shù)的一半時(shí)，學(xué)生立刻將其轉(zhuǎn)化成23-124，得出結(jié)果，并畫圖表示計(jì)算過程。

接著，王老師將三個(gè)算式放在一起，引發(fā)學(xué)生回顧與討論剛才的學(xué)習(xí)過程。有的學(xué)生感慨?dāng)?shù)形結(jié)合可以幫助他們更好地做題，有的學(xué)生則指出用圖建立模型來解釋原理是一個(gè)重要的技巧，還有的學(xué)生體會(huì)到：只要滿足一個(gè)規(guī)律，就能產(chǎn)生很多道題，而發(fā)現(xiàn)這個(gè)規(guī)律，能解決一類問題……

4.學(xué)以致用，舉一反三。

這類計(jì)算問題，教學(xué)一般到這兒就告一段落了，而王老師卻繼續(xù)提出了這樣一個(gè)任務(wù)：“請(qǐng)編一道可以用剛才發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解答的計(jì)算題，自己先算一算，再考考你的同桌?！?/p>

展示時(shí)，第一位學(xué)生出的題是：0.8+0.4+0.2+0.1-120+140+180。他覺得此題的特色是不僅符合剛才的規(guī)律，還有加減混合，小數(shù)部分用1.6-0.1，分?jǐn)?shù)部分用110-180，然后相減得到結(jié)果。第二位學(xué)生出的題是：32+16+8+4+2+1+0.5+0.25+18+116。他把整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)綜合到了一道算式里，但是結(jié)構(gòu)還是跟剛才的一樣，用64-116即可得到結(jié)果。

（三）為什么找規(guī)律——由方法到思想的跨越

1.找結(jié)構(gòu)。

王老師出示：“10張紙牌整齊地排成一行，按順序編號(hào)為1到10。第一次拿走所有奇數(shù)位置上的紙牌，第二次從剩余紙牌中拿走所有奇數(shù)位置上的紙牌……以此類推，最后剩下的一張紙牌的編號(hào)是多少？”學(xué)生很容易通過一次一次地劃去奇數(shù)位置上紙牌的方法得到結(jié)果是8。

王老師引發(fā)學(xué)生深入思考：“這道題的數(shù)據(jù)比較小，只有10張牌，但如果‘接著想下去，有100張牌、1000張牌，剛才的操作還能快速解決問題嗎？回憶剛才的學(xué)習(xí)過程，思考還需要怎么做，才能表示我們真的掌握了這一類題目?！睂W(xué)生陷入沉思，很長(zhǎng)一段時(shí)間沒有人回答。王老師提示：“通過舉例子來找一類問題的規(guī)律時(shí)，要尤為重視解題的過程，如果沒有過程，就很難發(fā)現(xiàn)變化，而我們要找的規(guī)律往往隱含在變化之中——?jiǎng)澣テ鏀?shù)位置的數(shù)后，留下的數(shù)有什么規(guī)律嗎？”學(xué)生通過觀察很容易發(fā)現(xiàn)：第一次留下的都是偶數(shù)，也就是 2的倍數(shù)，第二次留下的是4的倍數(shù)，第三次留下的是8的倍數(shù);如果數(shù)據(jù)變大，可以“接著想下去”，可能會(huì)留下16的倍數(shù)、32的倍數(shù)……接著，王老師引導(dǎo)學(xué)生將數(shù)據(jù)逐漸變大來驗(yàn)證猜想，從而一步一步找到這類問題穩(wěn)定的結(jié)構(gòu)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律。

2.用結(jié)構(gòu)。

王老師出示：“200個(gè)學(xué)生排成一行，從左到右依次編號(hào)為1到200;然后從左到右‘1、2報(bào)數(shù)，報(bào)‘1的人離開隊(duì)伍;剩下的人繼續(xù)從左到右‘1、2報(bào)數(shù)，仍是報(bào)‘1的人離開隊(duì)伍，直到隊(duì)伍中剩下一個(gè)人為止。問：最后留下的人編號(hào)是多少？”學(xué)生審題后，自發(fā)將此題與上面的紙牌題目進(jìn)行聯(lián)系與對(duì)比，判斷出兩道題目雖然題干不同，但是實(shí)質(zhì)相同，屬于同一規(guī)律的數(shù)學(xué)問題，因此可以簡(jiǎn)化解題過程，即最后留下的人編號(hào)應(yīng)是128的倍數(shù)——只有128。

王老師繼續(xù)出示：“在平鋪的紙上畫50條直線，最多會(huì)形成多少個(gè)交點(diǎn)？”通過學(xué)生的交流、匯報(bào)，我們欣喜地看到了之前學(xué)習(xí)的成效：這里的數(shù)據(jù)較大，但可以“接著想下去”，往前想，從只畫1條線開始想起;要想交點(diǎn)最多，每次增加的直線就要盡可能和前面的直線都相交;在記錄數(shù)據(jù)時(shí)，要把過程保留下來;列表和有條理地記錄有助于理解正在做的事，以及為什么這樣做……

二、教學(xué)啟示

數(shù)學(xué)學(xué)科的育人價(jià)值主要體現(xiàn)于數(shù)學(xué)的理性精神以及蘊(yùn)含其中的數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思想。仔細(xì)品味與揣摩這節(jié)課，無論問題設(shè)計(jì)，還是任務(wù)實(shí)施，抑或方法指導(dǎo)，都使人心明眼亮、回味無窮。王老師將學(xué)習(xí)活動(dòng)鑲嵌于“發(fā)現(xiàn)問題—提出問題—分析問題—解決問題”的過程之中，引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成“接著想下去”的數(shù)學(xué)思維，掌握由“例”到“類”的數(shù)學(xué)方法，獲得“將具體的數(shù)學(xué)知識(shí)都忘掉以后剩下的”數(shù)學(xué)思想。

（一）著力于數(shù)學(xué)思維的養(yǎng)成——把數(shù)學(xué)“教懂”

鄭毓信教授指出：“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)主要價(jià)值就是有利于人們思維方式的改進(jìn)，并能使人們逐步學(xué)會(huì)更清晰、更合理、更深入地思考問題，它能為學(xué)生提供唯有在數(shù)學(xué)學(xué)科的學(xué)習(xí)中才有可能建立的獨(dú)特的發(fā)現(xiàn)方式和思考路徑?！庇纱?，小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生透析解決問題的思維過程，在學(xué)會(huì)解決問題方法的同時(shí)“懂得”解決問題的思維方式。

這節(jié)課中，王老師選取的例題極具典型性。實(shí)際教學(xué)時(shí)，不少教師為了讓學(xué)生更加熟練地掌握解題方法，將這類式題總結(jié)為1減去最后一個(gè)數(shù)，并要求學(xué)生記住這個(gè)結(jié)論，以應(yīng)對(duì)類似的計(jì)算問題。這顯然是對(duì)學(xué)生思維的一種局限。所以課上，我們看到，即使六年級(jí)的學(xué)生回過頭來做五年級(jí)的題目，他們也并不真正理解其中的內(nèi)涵，表現(xiàn)出來的就是記憶的模糊和斷斷續(xù)續(xù)。對(duì)此，王老師設(shè)計(jì)了四個(gè)教學(xué)層次，幫助學(xué)生轉(zhuǎn)變思維方式，理解這類式題的內(nèi)在規(guī)律：首先，喚醒學(xué)生原有的經(jīng)驗(yàn)，引導(dǎo)學(xué)生把圖形和算式聯(lián)系起來觀察、思考;其次，提供與例題結(jié)構(gòu)相同但有條件變化的練習(xí)，幫助學(xué)生優(yōu)化算法，豐潤(rùn)認(rèn)知過程，真正領(lǐng)會(huì)其中的規(guī)律;接著，繼續(xù)呈現(xiàn)類似的計(jì)算任務(wù)，培養(yǎng)學(xué)生根據(jù)具體情境做出判斷與決策的能力;最后，讓學(xué)生自主編制具有類似規(guī)律的題目，促進(jìn)學(xué)生深度思考，實(shí)現(xiàn)“知其然，也知其所以然”。

（二）著力于數(shù)學(xué)方法的掌握——把數(shù)學(xué)“教活”

人們常說，授人以魚，不如授人以漁。具體來說，就是教會(huì)學(xué)生自主探究問題、解決問題的數(shù)學(xué)方法，掌握相關(guān)數(shù)學(xué)問題的解決思路。所謂把數(shù)學(xué)“教活”，就是希望學(xué)生在遇到類似的數(shù)學(xué)問題時(shí)，能舉一反三，觸類旁通，由“例”到“類”。

縱觀整節(jié)課，我們看到，學(xué)生在解決問題時(shí)迫切需要一些具體的、可操作的方法，而王老師也一直在有意識(shí)地加強(qiáng)常用方法的指導(dǎo)。如：接著想下去，從簡(jiǎn)單的想起，從一道題變?yōu)槿李}、五道題，列表記錄過程等。在過程中，王老師還有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生給同學(xué)講解答題過程，讓他們用自己的理解教授他人——這是“學(xué)習(xí)金字塔”理論中最有效的學(xué)習(xí)方式。

（三）著力于數(shù)學(xué)思想的滲透——把數(shù)學(xué)“教深”

數(shù)學(xué)思想是“方法的方法”，具有普遍的適用性，是學(xué)生分析和解決問題的能力、創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力的基礎(chǔ)。學(xué)生頭腦中的數(shù)學(xué)思想是在學(xué)習(xí)過程中形成且逐漸發(fā)展的。在這個(gè)過程中，學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)、積極主動(dòng)的體驗(yàn)以及與他人的互動(dòng)，是獲得數(shù)學(xué)思想的基本條件。

這節(jié)課中，王老師多次在不同的環(huán)節(jié)潤(rùn)物細(xì)無聲地滲透不同的數(shù)學(xué)思想，如抽象、歸納、模型等，成為學(xué)生需要感悟、也有所感悟的主體。其中，模型思想的滲透可以說是貫穿全課的。首先，王老師引領(lǐng)學(xué)生通過研究題目的類型結(jié)構(gòu)，建構(gòu)相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，掌握一類問題的解題方法;然后，力求讓學(xué)生通過個(gè)體的思考、探究以及與老師和同學(xué)的交流，體會(huì)模型建構(gòu)（發(fā)現(xiàn)一類問題的規(guī)律）的方法——一般要經(jīng)過提出問題、進(jìn)行猜想、嘗試解決、舉例驗(yàn)證、歸納概括等步驟，最終獲得“將具體的數(shù)學(xué)知識(shí)都忘掉以后剩下的東西”。

*本文系江蘇省中小學(xué)教學(xué)研究立項(xiàng)課題“支持兒童數(shù)學(xué)創(chuàng)意學(xué)習(xí)的實(shí)踐研究”（編號(hào)：2017JK12L011）的階段性研究成果。

參考文獻(xiàn)：

[1] 鄭毓信.數(shù)學(xué)的文化價(jià)值何在、何為——語文課反照下的數(shù)學(xué)教學(xué)[J].人民教育，2007（6）.

[2] 王永春.小學(xué)數(shù)學(xué)思想方法解讀及教學(xué)案例[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，2017.備課貼士