張安軍

摘要：數(shù)學(xué)教師應(yīng)該利用數(shù)學(xué)自身的魅力，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和熱情，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的動力。《三角形的高、中線與角平分線》一課教學(xué)，可以從數(shù)學(xué)史中挖掘三角形“三線”的相關(guān)問題，供學(xué)生探索，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的美、接受數(shù)學(xué)的挑戰(zhàn)。相應(yīng)的教學(xué)立意是：挖掘內(nèi)容元素，讓學(xué)生體驗數(shù)學(xué)美;創(chuàng)設(shè)活動情境，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造數(shù)學(xué)美;在數(shù)學(xué)美中孕伏適度的挑戰(zhàn)，讓學(xué)生感到數(shù)學(xué)好玩。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)美數(shù)學(xué)挑戰(zhàn)學(xué)習(xí)動力《三角形的高、中線與角平分線》

利用數(shù)學(xué)自身的魅力而不是數(shù)學(xué)以外的東西，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和熱情，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的動力，是反對數(shù)學(xué)教育“去數(shù)學(xué)化”的大背景下，數(shù)學(xué)教師尤其應(yīng)該努力的一個方向。那么，數(shù)學(xué)自身的魅力包括什么呢？筆者認為，至少應(yīng)該包括數(shù)學(xué)的美和適度的挑戰(zhàn)——能帶來愉悅感和成就感。

人教版初中數(shù)學(xué)八年級上冊第十一章《三角形》第一節(jié)《與三角形有關(guān)的線段》第2課時的內(nèi)容是“三角形的高、中線與角平分線”。由于內(nèi)容簡單而單薄，很多教師在課堂上增加了相應(yīng)的練習(xí)。這雖然填充了課堂的內(nèi)容，但使得學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和熱情在做題中慢慢減弱。這促使筆者思考：能否從數(shù)學(xué)史中挖掘三角形“三線”（高、中線與角平分線簡稱“三線”）的相關(guān)問題，供學(xué)生探索，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的美、接受數(shù)學(xué)的挑戰(zhàn)？下面，首先呈現(xiàn)基于這一想法的教學(xué)設(shè)計，然后進一步闡述相應(yīng)的教學(xué)立意，與各位同仁交流。

一、教學(xué)設(shè)計

（一）化靜為動，感受“三線”的對稱美

問題1如下頁圖1，在△ABC中，動點P在邊BC上移動。在移動的過程中，有沒有你熟悉的線段AP？

追問1你熟悉的線段AP有什么特點？你能用數(shù)學(xué)符號表示這些特點嗎？

追問2你能給出你熟悉的線段AP的定義嗎？

追問3三角形的高與垂線、三角形的角平分線與角平分線有何區(qū)別？

對于問題1，教師可以利用幾何畫板動態(tài)演示，讓學(xué)生觀察線段AP的變化。學(xué)生最容易想到的線段AP是△ABC的邊BC上的高，一方面是因為熟悉求三角形面積時需要高，另一方面則是因為審美：兩條直線互相垂直是大自然中對稱美的體現(xiàn)，也是簡潔美（極值）的體現(xiàn)。同樣地，中點是線段的對稱中心，角平分線是角的對稱軸，它們都體現(xiàn)對稱美。在點P移動的過程中，讓學(xué)生在審美的視角下選擇特殊位置的線段AP，然后分別對這樣特殊的線段進行符號表示、定義提煉以及概念辨析，從而加深對三角形“三線”概念的理解。

（二）動手操作，感受“三線共心”的和諧美與統(tǒng)一美，接受證明的挑戰(zhàn)

問題2三角形的中線有幾條？請畫出或折出三角形所有的中線，你有什么發(fā)現(xiàn)嗎？

追問1三角形所有的中線相交于一點，那么，所有的角平分線相交、所有的高相交又有怎樣的結(jié)果呢？你會提出哪些猜想？如何驗證？

學(xué)生畫出（或折出）三角形的中線后，會發(fā)現(xiàn)三角形的三條中線相交于一點，并驚訝于這是概率很小的事件，卻神奇地發(fā)生了。教師指出這個結(jié)論在后續(xù)的學(xué)習(xí)中可以證明，激勵（而不強求）學(xué)生接受證明的挑戰(zhàn)。然后，介紹12歲的愛因斯坦第一次讀《幾何原本》時的感受：

在12歲時，我經(jīng)歷了另一種性質(zhì)完全不同的驚奇，就是在一個學(xué)年的開始，當(dāng)我得到一本關(guān)于歐幾里得平面幾何的小書時所經(jīng)歷的：這本書里有許多斷言，比如三角形的三條高交于一點，它們本身雖然不是顯而易見的，但是可以很可靠地加以證明，以至任何懷疑似乎都不可能，這種明晰性和可靠性給我造成了一種難以想象的印象……

接著，讓學(xué)生通過類比的方法猜想三角形的三條角平分線相交于一點，三條高相交于一點，然后畫圖驗證，從而感受到數(shù)學(xué)的和諧美和統(tǒng)一美。

（三）聯(lián)系實際，感受重心的應(yīng)用美與方法美

問題3取一根質(zhì)地均勻的木棒，頂住它的重心，它會保持平衡，那么它的重心分別在哪里？

追問1如圖2，把一塊質(zhì)地均勻的三角形木板切成互相平行的一根根木棒，這一組木棒的重心在哪里？

追問2三角形木板的重心在哪里？為什么？請你談?wù)勀愕睦斫狻?/span>

當(dāng)學(xué)生驚訝于三角形的三條中線相交于一點時，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)這個交點非常重要，就是重心，即重力平衡點，并通過微分思想進行理論證明，讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)的應(yīng)用美和方法美。

（四）拓展探索，感受“三心共線”的奇妙美，接受證明的挑戰(zhàn)

問題4如圖3，△ABC的重心為G，垂心（三條高的交點）為H，分別過△ABC各邊的中點D、E、F作各邊的垂線，交點為O。對于點H、G、O，你有怎樣的發(fā)現(xiàn)？再任意畫一個三角形驗證你的想法。

在重心和垂心的基礎(chǔ)上，引入外心（不必向?qū)W生介紹這一概念，可以為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)“圓”埋下伏筆）。學(xué)生通過操作、觀察，能夠發(fā)現(xiàn)垂心、重心、外心三點共線，從而再次感受數(shù)學(xué)的奇妙美。教師指出這個結(jié)論在后續(xù)的學(xué)習(xí)中可以嘗試證明，激勵（而不強求）學(xué)生接受證明的挑戰(zhàn)。然后，介紹這條直線是數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)的，被稱作“歐拉線”，鼓勵學(xué)生勤于思考，善于發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題。

（五）“三線”合一，感受等腰三角形的對稱美和統(tǒng)一美

問題5如圖4，AD、AE、AF分別是△ABC的中線、角平分線、高，當(dāng)AD、AE、AF重合時，△ABC應(yīng)該滿足什么條件？如何驗證自己的猜想？

以開放的問題，讓學(xué)生先猜想結(jié)論，再操作驗證。學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)，三角形的中線、角平分線、高重合時，三角形是等腰三角形，從而充分感受等腰三角形的對稱美和統(tǒng)一美。此外，可以進一步追問為什么這時中線、角平分線、高重合，讓學(xué)生在說理中加深對“三線”概念的理解。

（六）應(yīng)用性質(zhì)，感受面積等分的創(chuàng)造美和理性美，挑戰(zhàn)適度的困難

問題6請用多種方法把如圖5所示的△ABC的面積分成四等份。

追問1如何六等分一塊三角形薄餅（厚度忽略不計，面積記為S）？小明同學(xué)給出了如下操作：

第一步：如圖6，沿邊AB、AC上的中線各切一刀，分成四塊;

第二步：如圖7，再沿邊BC上的中線切一刀，分成六塊。

請問：小明第一步分成四塊后，有沒有面積相等的兩塊？第二步分成的六塊面積相等嗎？為什么？

學(xué)生很容易發(fā)現(xiàn)，三角形的中線把三角形的面積分成兩等份。那么，如何把三角形的面積分成四等份呢？這個問題有一定的開放性和挑戰(zhàn)性，可以讓學(xué)生獨立思考，交流碰撞，聚集眾人的智慧，獲得多種不同的分法。如圖8所示是幾種常見的分法。對于多種不同的分法，可以引導(dǎo)學(xué)生按照審美原則進行評選。由此，學(xué)生可以充分感受到數(shù)學(xué)的創(chuàng)造美。

在追問中，學(xué)生不需要給出把三角形的面積六等分的方法，但是需要對已有的方法進行說理。這個問題具有一定的深刻性和挑戰(zhàn)性，能培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的理性美。

最后是本節(jié)課的回顧反思環(huán)節(jié)，具體設(shè)計省略。

二、教學(xué)立意的進一步闡釋

（一）挖掘內(nèi)容元素，讓學(xué)生體驗數(shù)學(xué)美

數(shù)學(xué)中的概念、符號、定理、公式、思想、方法等內(nèi)容都蘊含著美學(xué)元素。但是，它們都不是一蹴而就的，需要經(jīng)歷從朦朧到模糊、從模糊到清晰、從清晰到精致的過程，濃縮了數(shù)學(xué)家集體的智慧。因此，它們的美是內(nèi)隱和深沉的，不如文學(xué)、繪畫、音樂等來得直觀和具體。初中生由于知識水平、個人閱歷和審美能力的限制，很難欣賞和品味數(shù)學(xué)中蘊含的美。因此，教師要用心深入數(shù)學(xué)內(nèi)部，從數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)文化、數(shù)學(xué)本質(zhì)、數(shù)學(xué)思維等角度解讀數(shù)學(xué)內(nèi)容，挖掘美學(xué)元素，并適時、適度地把數(shù)學(xué)之美融入課堂教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生欣賞、品味。

本節(jié)課，筆者充分解讀三角形的高、中線和角平分線蘊含的美學(xué)元素，化靜為動，讓學(xué)生尋找線段的特殊狀態(tài)，發(fā)現(xiàn)長度、角度的各種平分情況（垂直的本質(zhì)是平角的平分），體驗數(shù)學(xué)源于自然的對稱（以及簡潔）之美。筆者又充分解讀重心位置證明過程中的美學(xué)元素，聯(lián)系實際，讓學(xué)生基于微分思想，自然地發(fā)現(xiàn)三角形的重心恰好是三條中線的交點，從而體驗數(shù)學(xué)應(yīng)用于實際的方法之美。

（二）創(chuàng)設(shè)活動情境，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造數(shù)學(xué)美

數(shù)學(xué)教學(xué)實質(zhì)上是數(shù)學(xué)活動的教學(xué)。因此，教師要根據(jù)學(xué)生的認知特點，把數(shù)學(xué)內(nèi)容中的美學(xué)元素從學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化成教育形態(tài)，作為載體，創(chuàng)設(shè)層層推進的活動情境，使學(xué)生通過自身的數(shù)學(xué)活動自覺地發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造數(shù)學(xué)美，從而感到驚訝，受到震撼。

本節(jié)課，筆者讓學(xué)生利用畫圖或折紙的方法得到三角形的三條中線、角平分線、高，甚至三邊的垂直平分線。學(xué)生驚訝地發(fā)現(xiàn)它們都恰好相交于一點，從而強烈地感受到數(shù)學(xué)的和諧美與統(tǒng)一美。同樣地，筆者讓學(xué)生在作圖的過程中，發(fā)現(xiàn)垂心、重心和外心居然在同一條直線上，再次驚訝于數(shù)學(xué)的奇妙。此外，把一個三角形的面積四等分，引出多種分法等活動，則是讓學(xué)生創(chuàng)造數(shù)學(xué)美。

（三）在數(shù)學(xué)美中孕伏適度的挑戰(zhàn)，讓學(xué)生感到數(shù)學(xué)好玩

除了美，數(shù)學(xué)的魅力還來自適度的挑戰(zhàn)。誠如米蘭·昆德拉所說的“麻煩的事情里頭，隱藏著真正的樂趣”，有挑戰(zhàn)，才好玩，像游戲。陳省身先生倡導(dǎo)“數(shù)學(xué)好玩”，要在玩中學(xué)、在學(xué)中玩，才會喜歡、熱愛數(shù)學(xué)，進而自覺地努力去學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，甚至享受其中的艱難。因此，教師要設(shè)置或孕伏一些具有挑戰(zhàn)性的問題，通過明示或暗示，激起學(xué)生的好奇和驚訝，引導(dǎo)學(xué)生接受挑戰(zhàn)，去玩數(shù)學(xué)。

本節(jié)課，學(xué)生發(fā)現(xiàn)三角形的中線、角平分線和高相交于一點后，必然對為什么相交于一點感到好奇和驚訝;發(fā)現(xiàn)三角形的垂心、重心和外心在同一條直線上后，必然對為什么在同一條直線上感到好奇和驚訝。這些都是有挑戰(zhàn)性的問題，給學(xué)生留下了探索的空間，激發(fā)了他們的斗志。此外，把一個三角形的面積四等分，乃至說明把一個三角形的面積六等分的方法是正確的，也都是有挑戰(zhàn)性的問題。學(xué)生在眾多具有美感的分法中，在從一個簡單、明顯的結(jié)論推導(dǎo)出一個復(fù)雜、隱蔽的結(jié)論的過程中，必然會感覺到數(shù)學(xué)好玩。

總之，對數(shù)學(xué)美的追求歸根結(jié)底是對數(shù)學(xué)真理的追求，對數(shù)學(xué)挑戰(zhàn)的喜愛歸根結(jié)底是對生命活動的熱愛。當(dāng)學(xué)生被激發(fā)出追求美、喜愛挑戰(zhàn)的情感時，學(xué)好數(shù)學(xué)自然水到渠成。

參考文獻：

[1] 李尚志.從數(shù)學(xué)中享受快樂[J].數(shù)學(xué)通報，2004（12）.