摘要：數(shù)學(xué)定理學(xué)習(xí)的路徑有同化與順應(yīng)、歸納與演繹、上位學(xué)習(xí)與下位學(xué)習(xí)，水平可分為要素的認(rèn)識、解析的認(rèn)識、過程的認(rèn)識、整體的認(rèn)識四個層次。數(shù)學(xué)定理教學(xué)的原則有生成性原則、形式化原則、結(jié)構(gòu)化原則，環(huán)節(jié)有定理的引入、證明、應(yīng)用、反思。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)定理學(xué)習(xí)路徑學(xué)習(xí)水平教學(xué)原則教學(xué)環(huán)節(jié)

一、數(shù)學(xué)定理的界定

在一個理論體系中，按重要性遞減的次序排列，依次是概念、原理、定理、方法、技巧。原理主要是從具體到抽象、從特殊到一般歸納出來的，接受實踐的檢驗;定理則必須接受邏輯的檢驗，演繹的意味更濃。比如，“祖暅原理”在中學(xué)作為“原理”不需要證明，但是“圓錐的體積等于等底、等高的圓柱體積的三分之一”就必須證明——不是實驗驗證，而是邏輯論證。

在基礎(chǔ)教育階段，知識的“教育形態(tài)”與“學(xué)術(shù)形態(tài)”還是有明顯區(qū)別的：“適度嚴(yán)謹(jǐn)”的原則使得教材中定理和原理的界限不是很明確。比如，現(xiàn)行高中教材中的立體幾何部分，所有的判定定理都不要求證明了，這相當(dāng)于把定理當(dāng)作“原理”（等同于“公理”）來看了。放在更宏觀的體系里，定理和原理也不是絕對的。“祖暅原理”在西方叫作“卡瓦列里原理”，可以用積分法嚴(yán)格推導(dǎo)。

所以，本文所談的“定理”不再對原理和定理做嚴(yán)格區(qū)分。當(dāng)然，“定理”也不僅僅是指教材中用粗體字標(biāo)明的那些：教材只能選擇最重要、最核心的作為定理，而更多沒被選上的，就其真理性而言，不能說它們不是定理。

二、數(shù)學(xué)定理學(xué)習(xí)的路徑

學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，教師必須了解學(xué)生的學(xué)習(xí)路徑，才能開展教學(xué)。對于數(shù)學(xué)定理的學(xué)習(xí)，達(dá)成學(xué)習(xí)目標(biāo)的途徑或許不唯一，但是“意義建構(gòu)”是其根本宗旨。

（一）同化與順應(yīng)

皮亞杰認(rèn)為，掌握一個新知識有同化與順應(yīng)兩種途徑。同化就是把新知識納入已有的認(rèn)知體系，順應(yīng)則是改變已有的認(rèn)知體系去契合新知識。皮亞杰最著名的兩位后繼者是布魯納和奧蘇伯爾，前者全面繼承了同化與順應(yīng)的理論，后者則只承認(rèn)同化而不承認(rèn)順應(yīng)。這二人雖然同為認(rèn)知主義大師，但是布魯納走向了建構(gòu)主義（一般認(rèn)為，建構(gòu)主義是對認(rèn)知主義的發(fā)展），奧蘇伯爾則用“先行組織者”理論做了完美的填補(bǔ)。此外，維果茨基提出的“最近發(fā)展區(qū)”理論指出，不論同化還是順應(yīng)，都發(fā)生在“最近發(fā)展區(qū)”。一般而言，同化比順應(yīng)更容易。

例如，《橢圓的幾何性質(zhì)》這節(jié)課的內(nèi)容很簡單，可選擇的先行組織者很多。即使不用先行組織者，學(xué)生直接看書也能基本掌握這些內(nèi)容——他們會自動調(diào)用頭腦中的先行組織者。但是，教師可以將其處理成同化，也可以將其處理成順應(yīng)，不同的處理會使學(xué)習(xí)的過程有很大的區(qū)別。

【同化的路徑】

直接觀察橢圓圖形，可以結(jié)合畫圖的過程感受拉線的不同位置（每一種拉線的夾角或長度分配都可以處于四個對稱位置，如圖1），或者結(jié)合圓壓扁的過程（對稱性不變），學(xué)生非常容易整體感覺到它是對稱的，于是把橢圓納入對稱圖形中。

當(dāng)然，感覺是不可靠的，還需要證明。有幾何和代數(shù)兩條途徑。以F1F2的中垂線為對稱軸、中點為對稱中心，結(jié)合橢圓的定義（生成的方法），可以證明橢圓上任意一點的對稱點仍然在橢圓上。通過從（x，y）到（-x，y）、（x，-y）、（-x，-y）的變換，結(jié)合橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，也可以證明橢圓的對稱性。教學(xué)過程中，可以讓學(xué)生感受這兩種途徑，進(jìn)而做出自己的選擇（大多數(shù)會選擇代數(shù)途徑）。這樣，他們的數(shù)學(xué)體驗是自由而真實的，解析幾何的核心觀念（用代數(shù)方法研究幾何問題）也就變成了他們的自覺實踐。

【順應(yīng)的路徑】

證明的教學(xué)同上。

為什么說同化比順應(yīng)更容易呢？這里，從特殊點的對稱到一般點的對稱，到點集的對稱，再到圖形的對稱，每一步推進(jìn)都不是簡單明了的，因為橢圓不能簡單地理解為“點的集合”，而應(yīng)該理解為“點集+結(jié)構(gòu)”，“結(jié)構(gòu)”并不能從一個個點或者全部的點（點集）中推演出來;而且這樣做拉長了思維的過程，把本可以直覺感知的內(nèi)容變成了邏輯推演，大大增加了學(xué)習(xí)的難度。某次省級優(yōu)質(zhì)課評比選的就是這個課題，其中多位選手采用了順應(yīng)的路徑。就筆者的現(xiàn)場觀察和課后了解，沒有一堂課是順利的，個別選手的講解反而干擾了學(xué)生生成的流暢性——學(xué)生已經(jīng)從圖形中看出結(jié)果了，教師硬是反復(fù)地加以阻止。

（二）歸納與演繹

“先猜后證”是科學(xué)發(fā)現(xiàn)重要的途徑之一。以演繹的形式呈現(xiàn)材料是專著撰寫的模式，是最終成型的形態(tài)，不是生長過程的形態(tài)。著名教育家海納特說過：“所有具有活力的思想都有一個緩慢的發(fā)展過程，應(yīng)給學(xué)生足夠的時間，而向?qū)W生預(yù)示結(jié)果或者解決方法都會阻礙學(xué)習(xí)研究?！卑凑崭ベ嚨撬柕睦碚?，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)也是一個“再發(fā)現(xiàn)”的過程。教學(xué)中，讓學(xué)生通過歸納的途徑發(fā)現(xiàn)定理，更符合人的認(rèn)知習(xí)慣，也更能在感情上拉近知識和人的距離。

例如，在“圓的標(biāo)準(zhǔn)方程”的基礎(chǔ)上，教學(xué)“圓的一般方程”，可引導(dǎo)學(xué)生采取歸納的路徑，也可引導(dǎo)學(xué)生采取演繹的路徑。教學(xué)設(shè)計分別如下：

結(jié)合問題1和問題2，引入圓的一般方程，完成意義建構(gòu)。

這里，歸納的路徑可以概括為“此類方程可以表示圓（感知）—某些可以而某些不可以（疑問）—需要附加條件（新觀念）—一般結(jié)論”，演繹的路徑可以概括為“圓有這種方程（標(biāo)準(zhǔn)式）—可以化為這種方程（一般式）—反過來如何（疑問）—需要附加條件（新觀念）—一般結(jié)論”。二者的最大區(qū)別在于“疑問”是怎么來的：從具體材料的觀察與分析中感知矛盾，疑問是自然產(chǎn)生的，它來自直覺與情感;對一個確定性結(jié)論生發(fā)“反過來如何”，疑問是不自然的，它需要動用邏輯與理性。二者激發(fā)的學(xué)習(xí)動機(jī)強(qiáng)度則因人而異。一般而言，對于自己發(fā)現(xiàn)的矛盾、提出的問題，好奇心會促使學(xué)生一探究竟。“反之如何”如果是學(xué)生自己提出來的，激發(fā)的學(xué)習(xí)動機(jī)一定很強(qiáng);如果是教師提出來的，就很難一言盡說了。

（三）上位學(xué)習(xí)與下位學(xué)習(xí)

基于對“先行組織者”理論的分析，奧蘇伯爾提出了“上位學(xué)習(xí)”和“下位學(xué)習(xí)”的概念。上位學(xué)習(xí)也稱總括學(xué)習(xí)，簡單地說，是指用包容程度低的知識來組織一個包容程度更高的知識的學(xué)習(xí)，比如，先學(xué)習(xí)一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)，再學(xué)習(xí)“函數(shù)”。下位學(xué)習(xí)又稱類屬學(xué)習(xí)，是指用包容程度高的知識來組織一個包容程度較低的知識的學(xué)習(xí)，比如，先學(xué)習(xí)“函數(shù)”，再學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)。

簡單地說，上位學(xué)習(xí)是歸納出新知識，下位學(xué)習(xí)是演繹出新知識。在可行的情況下，下位學(xué)習(xí)比上位學(xué)習(xí)的效率更高。前提是，學(xué)生已經(jīng)掌握了所需要的上位知識，并且到了能綜合運(yùn)用的程度。如果失去這個前提，下位學(xué)習(xí)即便不是不可能的，最起碼也不會很順暢（如果想通過下位學(xué)習(xí)促進(jìn)對上位概念的理解，那是另一回事，它在本質(zhì)上是上位學(xué)習(xí)）。

但是，歸納往往會產(chǎn)生新的知識，帶來認(rèn)識上的突破，故而從認(rèn)知結(jié)構(gòu)改變的角度看，是順應(yīng);演繹則是在已有的框架內(nèi)做等價變形或特殊指認(rèn)，不產(chǎn)生新的知識，故而是同化。實際教學(xué)中，我們也可以不在同化與順應(yīng)上糾結(jié)，而用歸納與演繹或上位學(xué)習(xí)與下位學(xué)習(xí)來理解，這樣能有比較客觀的標(biāo)準(zhǔn)。

三、數(shù)學(xué)定理學(xué)習(xí)的水平

我們可以從正用、逆用、變用、綜合、引申等方面考查學(xué)生定理學(xué)習(xí)的水平（掌握的層次）。具體可以將其分為以下四個層次：

（一）水平1：要素的認(rèn)識

能回憶定理，知道條件是什么、結(jié)論是什么，但是僅停留在孤立、機(jī)械識別的層面上。這樣的水平下，學(xué)生只能做標(biāo)準(zhǔn)化的題目，也就是條件和結(jié)論都是恰好的，而且表述都是清晰、明白的。在應(yīng)用定理解決這樣的題目時，學(xué)生會對照定理，逐個尋找條件，有時還要一個個地列出來（或圈出來）;在所有條件都具備后，學(xué)生知道結(jié)論成立了。他們不能在復(fù)雜的環(huán)境中找到稍微有些隱蔽的條件，也不能在簡單的環(huán)境中找到變化的條件?？傊?，他們只能進(jìn)行復(fù)述或進(jìn)行再現(xiàn)式的應(yīng)用。

（二）水平2：解析的認(rèn)識

能在復(fù)雜的環(huán)境中尋找所需要的條件，能在找到的條件和結(jié)論之間建立起邏輯聯(lián)系，但是，如果條件不是明確存在的，就不能發(fā)現(xiàn)它。簡單地說，這樣的水平下，學(xué)生只能直接發(fā)現(xiàn)邏輯關(guān)系，不能重構(gòu)邏輯關(guān)系;只能進(jìn)行一次邏輯推理，不能進(jìn)行連續(xù)多次的邏輯推理。因此，經(jīng)過指點，也能解決基本題，但是，背景稍微復(fù)雜一點，學(xué)生就茫然無助了。

例如，學(xué)生遇到不會做的題目，教師問：你看，條件是×××，你能知道什么？學(xué)生答：能知道×××。教師問：又能知道什么？……學(xué)生答：我會了。這樣的思維沒有跳躍性，每一步都能“明白”，但必須是在“看到”之后——在“看到”之前，沒有這個想象能力，因而構(gòu)造不出來?！耙恢v就懂，不講不會”就是這個水平。

（三）水平3：過程的認(rèn)識

能回顧定理的形成以及推導(dǎo)的大致過程，因此能運(yùn)用變化的觀點對待其中的條件和結(jié)論，能在背景中發(fā)現(xiàn)隱藏的條件或重構(gòu)條件。解決基本題時，思維有流暢性;如果時間允許，也能解決中檔題或者難題。

例如，結(jié)論alogab=b形式上很精細(xì)，容易記混。如果從形式上記憶，就算記住了，也很難熟練地運(yùn)用，因為在用的時候，必須辨別清楚哪個是a、哪個是b，稍有偏差，就會出錯。由此可知，這樣的思維是不可能流暢的。而如果理解這個式子其實來源于對數(shù)的定義ab=Nb=logaN，是它的直接改寫，那記起來就毫無問題，而且看起來非常自然。把一個思維過程濃縮起來，記憶量非常小，而其所包含的東西卻非常多。

（四）水平4：整體的認(rèn)識

能把定理的條件、結(jié)論、過程以及背景組織成一個整體，形成直覺。這時的定理已經(jīng)成為一個完整的思維單元，相當(dāng)于一個大的概念。我們知道，概念形成直覺之后，反應(yīng)是不需要耗費(fèi)時間的，就像我們認(rèn)出一只大象和認(rèn)出一只小貓都不費(fèi)力氣一樣。這樣的人，思維敏捷、深刻、靈活，能把某個思維過程當(dāng)作一個模塊，整體嵌入新的思維過程中，可以解決困難的問題，而且對整個解題過程有清晰的謀劃。就像超大規(guī)模的集成電路，不是用一個個電容、電阻、晶體管焊接成的，而是直接用集成塊組成新的更大規(guī)模的集成塊，因而在組裝時，工作量和難度都大為減少和降低。

四、數(shù)學(xué)定理教學(xué)的原則

（一）生成性原則

從學(xué)生的經(jīng)驗出發(fā)，用他們所熟悉的知識、方法得出新的規(guī)律，這樣的體驗是自然的、愉悅的。如果突然給學(xué)生一個結(jié)論要求他記住，他的情感態(tài)度一定是不痛快的。即使后來理解了，變得“痛快”了，也不是因為當(dāng)初的“突然給”，而是因為后來的“理解”。定理不能用告知的方法教給學(xué)生，正確的教法是探究、發(fā)現(xiàn)，讓學(xué)生自己生成（建構(gòu)），這樣才是符合人性和學(xué)理的。這時，學(xué)生獲得的不僅是定理本身，還有數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗和數(shù)學(xué)思維方法。

例如，教學(xué)“平面平行的性質(zhì)定理”，教師提問：兩個平面平行，會怎樣？學(xué)生做了如下回答：（1）任意兩點的距離相等（經(jīng)討論，調(diào)整為：一個平面內(nèi)任意一點到另一個平面的距離相等）;（2）一個平面內(nèi)的任意一條直線都平行于另一個平面;（3）一個平面內(nèi)的直線和另一個平面內(nèi)的直線平行（經(jīng)討論，發(fā)現(xiàn)是錯誤的）;（4）一個平面內(nèi)的直線與其在另一個平面的射影平行（經(jīng)討論，發(fā)現(xiàn)這太特殊）;（5）兩個平面都和第三個平面相交，所得兩條交線平行;（6）兩個平面和同一條直線垂直（經(jīng)討論，調(diào)整為：一個平面垂直于一條直線，則另一個平面也垂直于這條直線）;（7）一條直線如果和其中一個平面平行，則和另一個平面也平行（經(jīng)討論，加“平面外”條件）;（8）一個平面如果和其中一個平面平行，則和另一個平面也平行;（9）一個平面如果和其中一個平面垂直，則和另一個平面也垂直;（10）同一條斜線與這兩個平面所成的角相等……最后，經(jīng)協(xié)商，選擇其中的（5）作為性質(zhì)定理。這樣的生成過程讓學(xué)生知道：平面平行的性質(zhì)定理只是“選擇”的結(jié)果;其余的結(jié)論有些并非不正確，只是人為地要求在解題時不能直接使用（否則容易產(chǎn)生“所有要證明的命題都是對的，因而不需要證明”的詭辯）。

這里，特別要注意一種“偽探究、偽發(fā)現(xiàn)”的教學(xué)，體現(xiàn)為通過灌輸思路和以提問的形式告知，讓學(xué)生“生成”。灌輸思路剝奪了學(xué)生思考的權(quán)利，以提問的形式告知其實是給出了不需要思考就能回答的問題。

例如，《任意角的三角函數(shù)》一課教學(xué)，一位教師設(shè)計了如下問題和追問：

問題1前面學(xué)習(xí)了角的概念的推廣，推廣后的角是如何定義的？它和初中所學(xué)的角有哪些不同？

問題2依據(jù)初中所學(xué)的銳角三角函數(shù)概念及角的推廣，如果將銳角的頂點放在坐標(biāo)原點，相鄰的直角邊放在x軸的正半軸上，那么直角三角形中的對邊、斜邊、鄰邊分別對應(yīng)直角坐標(biāo)系中的哪個量？用坐標(biāo)系中的量又是怎樣定義銳角三角函數(shù)的？

問題3在銳角三角函數(shù)的定義中，終邊上取任意一點，得到的三角函數(shù)值都不變，如果取終邊與單位圓的交點（在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點為圓心、以1為半徑的圓叫單位圓），又該如何簡化三角函數(shù)的定義？

問題4如果將角的終邊繞原點旋轉(zhuǎn)，當(dāng)角的終邊在第一象限時，它和銳角三角函數(shù)的定義吻合;當(dāng)角是鈍角時，角的對邊、鄰邊不見了，說明用角的對邊、鄰邊等關(guān)系定義三角函數(shù)有一定的局限性。那么用終邊與單位圓交點的坐標(biāo)能否行得通？行的話，又該如何定義？

問題5如果角的終邊在第三象限、第四象限，在y軸正半軸、負(fù)半軸上，在x軸正半軸、負(fù)半軸上，其三角函數(shù)是否都可以用終邊與單位圓交點的坐標(biāo)定義？行的話，又是如何定義的？

追問1按照上述方法，如果角的終邊相同，那么它的三角函數(shù)值相同嗎？

追問2三角函數(shù)值的正負(fù)由哪些量決定？三角函數(shù)值隨著角的變化又是如何變化的？

問題6任意三角函數(shù)應(yīng)該如何定義？

這里的問題和追問一共8個，細(xì)致無遺，讓學(xué)生毫無思考的空間，只能跟著“確認(rèn)”。這樣的提問其實等同于“直接告知”。

（二）形式化原則

首先需要說明的是，“數(shù)學(xué)的本質(zhì)在于它的自由”，唯有自由的思考才有自由的創(chuàng)造，才有美好的情感體驗。即使是偉大的數(shù)學(xué)家，在創(chuàng)造數(shù)學(xué)的時候，也把形式和邏輯的嚴(yán)謹(jǐn)放在次要的位置，而更重視內(nèi)容和思想的創(chuàng)新（實在）和自由（開闊）——一切數(shù)學(xué)理論在提出的初期都非常粗糙，經(jīng)過后期數(shù)學(xué)家的努力才甄于完美。作為“教育形態(tài)”的數(shù)學(xué)，其形式和邏輯更應(yīng)該“適度嚴(yán)謹(jǐn)”，從而解放學(xué)生，真正實現(xiàn)“再發(fā)現(xiàn)”“再創(chuàng)造”——當(dāng)然，正因為數(shù)學(xué)教育面對的是足夠“完美”的理論，所以很容易把“嚴(yán)謹(jǐn)性”放到最主要的地位。

其次來看要不要記憶?；趯W(xué)科核心素養(yǎng)、學(xué)科育人以及數(shù)學(xué)精神和思想等教育理念，我們很容易反對要求學(xué)生背定理、默公式的做法。但考慮到應(yīng)試等現(xiàn)實，很多教師又一直在這么做。筆者的觀點是，應(yīng)該讓學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上背定理、默公式。

要記住定理的原因有四。其一，數(shù)學(xué)是一種語言，一種精密的語言系統(tǒng);語言必然有規(guī)范的詞匯和語法，這就必須從范文中學(xué)習(xí)，定理就是數(shù)學(xué)中的范文。其二，學(xué)習(xí)定理是要應(yīng)用的，沒有對定理的明確記憶，就無法應(yīng)用或者用起來不順手;如果還需要臨時去查看，一定是磕磕絆絆的。其三，能說出來、寫下來的東西，才有利于記憶;如果只保留一個大致印象，只有在看見時才能認(rèn)出來，不在眼前就想不起來，這樣的記憶不會長久。其四，就算所謂的“素養(yǎng)”是“忘掉以后剩下的”，也得先記住，再忘掉;從沒記住，便談不上忘掉。

記住定理的方法是經(jīng)歷過程，基于理解。比如，學(xué)生常常把平面垂直的性質(zhì)定理背成“兩個平面垂直，垂直于交線的直線必垂直于另一個平面”。對照書本時，他們也接受“在一個平面內(nèi)”這個條件，但認(rèn)為這個條件是不需要說的。為什么？因為他們在頭腦里構(gòu)造了圖，覺得自己說的就是那個圖;在圖上，這個條件是自然的，不需要再說。怎么辦？可以讓學(xué)生畫圖并寫出符號表示。這樣，他們就會發(fā)現(xiàn)這個條件需要說出來。再如，學(xué)生常常把等差數(shù)列的前n項和公式默成Sn=（a1+an）d2，把等比數(shù)列的前n項和公式默成Sn=n（a1+an）1-q。怎么辦？最好連帶記住公式的推導(dǎo)過程，起碼要對推導(dǎo)過程有深刻的印象。

（三）結(jié)構(gòu)化原則

大量的知識不能讓人變得聰明，經(jīng)過組織的知識才可以;散亂的、碎片化的知識儲存基本沒有用處，應(yīng)用能力強(qiáng)的人都是知識結(jié)構(gòu)良好的人——人們反對機(jī)械記憶的原因也在于此，組織化、結(jié)構(gòu)化是一種更好的理解。

例如，立體幾何里的線線、線面、面面關(guān)系定理分為“判定定理”和“性質(zhì)定理”，學(xué)生學(xué)習(xí)時很容易在名稱上混淆。那么，為什么要區(qū)別判定定理和性質(zhì)定理呢？其實，分清“判定”和“性質(zhì)”，對于這些定理的應(yīng)用有莫大的好處，而對于知識的結(jié)構(gòu)化則是必需的。立體幾何研究的對象是點、線、面、體，依次是0維、1維、2維、3維。從低維到高維推進(jìn)的就是判定定理，從高維到低維解析的就是性質(zhì)定理。以平行關(guān)系為例，教學(xué)中，可以引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出如圖2所示的知識結(jié)構(gòu)。用這個結(jié)構(gòu)圖來理解“判定”和“性質(zhì)”，就顯得比較清晰了：每一種關(guān)系的判斷都有3條途徑，每一種關(guān)系的應(yīng)用也是。再對照書本體會被選定的“判定定理”和“性質(zhì)定理”，就會豁然開朗。

而且，還可以用這個圖作為先行組織者來總結(jié)垂直關(guān)系，只要把其中的“平行”換成“垂直”就行了（不是指記憶上的，而是指理解上的）。這樣，我們就不僅找到了“最近發(fā)展區(qū)”，簡直是找到了“鄰近可視區(qū)”——新的結(jié)論一眼就可以看出來。這時候的學(xué)習(xí)就不是“跳一跳，摘桃子”，而是“扭頭一看，桃李滿園”。

這里需要注意的是，判定定理的導(dǎo)出都比性質(zhì)定理困難，教師要多安排相應(yīng)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動及體驗，多調(diào)動學(xué)生既有的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，遵循歸納的途徑形成認(rèn)知，盡量不用演繹的方式“發(fā)現(xiàn)”。

五、數(shù)學(xué)定理教學(xué)的環(huán)節(jié)

（一）定理的引入

定理的引入應(yīng)當(dāng)貼近學(xué)生的經(jīng)驗，包括生活經(jīng)驗和數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗。

例如，教學(xué)“基本不等式”，通常有以下幾種引入方式：

1.給出臂長不等的天平稱物的情境，引導(dǎo)學(xué)生想到左右兩次稱量，根據(jù)力學(xué)原理算出質(zhì)量為ab，介紹常見的簡單平均a+b2的錯誤做法，提出比較兩個平均數(shù)大小的問題，引出作差比較法……

這里，方式1—3使用的情境都比較復(fù)雜，不太貼近學(xué)生的經(jīng)驗，比較突兀，不夠自然，只能起到引出比較a+b2與ab（或a2+b2與2ab）大小的作用，是典型的“用過就扔”的情境。方式1中，錯誤做法的給出尤其突兀（學(xué)生會覺得這個問題明明有解，為什么還要比較正確結(jié)果與錯誤結(jié)果的大?。７绞?和3的圖形雖然比較直觀，但是同樣很突兀：為什么構(gòu)圖、為什么設(shè)量，只能硬講。其實，方式2和3更適合用于定理發(fā)現(xiàn)后的“解釋”和“驗證”。

方式4拋棄了這些多余的情境，基于學(xué)生對（a-b）2≥0的熟悉，直接讓學(xué)生比較a2+b2與2ab的大小，幫助學(xué)生回顧數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，簡單明了、自然流暢（把數(shù)學(xué)成果本身作為一個現(xiàn)象對待，展開研究，也是自然的思路）。優(yōu)秀學(xué)生一眼就能看出作差比較法，發(fā)現(xiàn)a2+b2與2ab的大小關(guān)系以及等號成立的條件。

（二）定理的證明

定理的證明應(yīng)該選用最自然、最便捷的路徑——如果不能兼顧，應(yīng)該優(yōu)先考慮前者。

在定理的意義清晰地建構(gòu)起來后，一題多證可以從多個側(cè)面審視、理解定理，讓它伸出更多的觸角，為建立知識結(jié)構(gòu)做好鋪墊。但是，多種證明應(yīng)該盡量來自學(xué)生，而不是教師。也就是說，應(yīng)該讓學(xué)生的思維之泉自然流淌。如果學(xué)生認(rèn)為“可以這樣看待定理，也可以這樣看待，還可以……”，那么這些方法就都可以也應(yīng)該給出，不論多少都不算“過多”。而教師刻意安排的、需要花大力氣講解的或技巧性很強(qiáng)的證明，則應(yīng)該避免。思維和方法的訓(xùn)練不是一節(jié)課的事情，而需要長期的堅持;它是潤物無聲的細(xì)雨，而不是摧枯拉朽的海嘯。比如，在一次教研活動中，一位教師執(zhí)教《基本不等式》第一課時，用了3種以上的方法證明基本不等式（詳細(xì)板書3種，還有口頭敘述的），而且用了學(xué)生很難理解的分析法。這種做法是很不可取的。

（三）定理的應(yīng)用

用定理來解決問題，不論生活實際中的還是純粹數(shù)學(xué)上的問題，都是定理的應(yīng)用。定理的應(yīng)用有正用、逆用、變用，每一種應(yīng)用都應(yīng)該讓學(xué)生見識一下。這樣有助于理解，也有助于記憶。

基于這樣的認(rèn)識，教學(xué)中的第一個例題應(yīng)該是再現(xiàn)式的，不能太難：只要能夠反映定理的本質(zhì)，越簡單越好。如果教師能隨手提出一個（或多個），學(xué)生也能憑直觀口答，那就很好。比如，教學(xué)“基本不等式”的第一個例題，“a+1a≥2（a>0）”就比“a+1a-2≥4（a>2）”好。

教學(xué)中的第二個以及以后的多個例題，都應(yīng)該是變式，但是同樣不能太煩瑣，不能有太多無關(guān)因素的干擾。中國數(shù)學(xué)教育有“變式教學(xué)”的傳統(tǒng)。變式教學(xué)就是讓學(xué)生在不同的情境、不同的表征下識別定理應(yīng)用的模式，體會（歸納）不變的規(guī)律。設(shè)計變式，需要考慮“符合定理條件時能用，不符合定理條件時是否能用？”“如果能用，需要怎么處理？”等問題。比如，用基本不等式求最值，如果“一正二定三相等”中的“等號”不能取到，應(yīng)該怎么辦？這就需要掌握通常說的“第二手段”。

（四）定理的反思

在應(yīng)用的過程中必然有對定理的反思，但那是無意的、順帶的。此處所說的反思，是在鞏固后主動的、專門的反思，包括該定理在學(xué)科體系中的地位，逆命題（偏逆命題）是否成立，降低條件之后如何，結(jié)論是否可以加強(qiáng)等。這已經(jīng)進(jìn)入元認(rèn)知的領(lǐng)域，是在做科學(xué)研究了。

參考文獻(xiàn)：

[1] 孫四周.概念的分層和教學(xué)——現(xiàn)象學(xué)視域下[J].教育研究與評論，2019（3）.