竺屹　袁智強(qiáng)

摘要：基于STEM教育理念，以“6E”教學(xué)模式為框架，融入工程問題和物理知識(shí)以及數(shù)學(xué)史，運(yùn)用GeoGebra軟件，設(shè)計(jì)和實(shí)施了《曲邊梯形的面積》一課教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生從實(shí)際問題出發(fā)探究知識(shí)本質(zhì)，從“割圓術(shù)”出發(fā)探究曲邊梯形面積的計(jì)算方法，并通過技術(shù)的運(yùn)用體會(huì)“以直代曲”“無限逼近”的數(shù)學(xué)思想，再利用知識(shí)遷移啟發(fā)思考、拓展應(yīng)用。得到的教學(xué)啟示有：尋找實(shí)際問題，凸顯STEM教育應(yīng)用價(jià)值;重視技術(shù)應(yīng)用，體現(xiàn)STEM教育時(shí)代特征;實(shí)現(xiàn)交叉融合，達(dá)成STEM教育培養(yǎng)目標(biāo)。

關(guān)鍵詞：STEM教育“6E”教學(xué)模式GeoGebra《曲邊梯形的面積》

進(jìn)入21世紀(jì)，我國的綜合實(shí)力日益強(qiáng)盛，但核心技術(shù)受制于人的局面沒有得到根本性改變。2018年1月，《國務(wù)院關(guān)于全面加強(qiáng)基礎(chǔ)科學(xué)研究的若干意見》印發(fā)，指出要加強(qiáng)基礎(chǔ)科學(xué)研究，促進(jìn)自然科學(xué)、人文社會(huì)科學(xué)等不同學(xué)科間的交叉融合。2018年9月，《教育部等六部門關(guān)于實(shí)施基礎(chǔ)學(xué)科拔尖學(xué)生培養(yǎng)計(jì)劃2.0的意見》印發(fā)，要求促進(jìn)學(xué)科交叉、科教融合。2020年1月，《教育部關(guān)于在部分高校開展基礎(chǔ)學(xué)科招生改革試點(diǎn)工作的意見》印發(fā)，決定自2020年起，在部分高校開展基礎(chǔ)學(xué)科招生改革試點(diǎn)，這就是“強(qiáng)基計(jì)劃”?！皬?qiáng)基計(jì)劃”主要選拔培養(yǎng)有志于服務(wù)國家重大戰(zhàn)略需求且綜合素質(zhì)優(yōu)秀或基礎(chǔ)學(xué)科拔尖的學(xué)生;聚焦高端芯片與軟件、智能科技、新材料、先進(jìn)制造和國家安全等關(guān)鍵領(lǐng)域以及國家人才緊缺的人文社會(huì)科學(xué)領(lǐng)域，由有關(guān)高校結(jié)合自身辦學(xué)特色，合理安排招生專業(yè);要突出基礎(chǔ)學(xué)科的支撐引領(lǐng)作用，重點(diǎn)在數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、生物以及歷史、哲學(xué)、古文字學(xué)等相關(guān)專業(yè)招生。可見，在中小學(xué)滲透以科學(xué)（Science）、技術(shù)（Technology）、工程（Engineering）和數(shù)學(xué)（Mathematics）為主的學(xué)科交叉融合教育（即STEM教育）理念變得越來越重要了。

目前，我國中小學(xué)開展STEM教育還面臨著很多困難，不少學(xué)校的STEM課程是不加修改直接引自國外的。然而，我國的教學(xué)模式和國外的教學(xué)模式有著較大的差別，生搬硬套國外的教學(xué)模式未必能起到較好的效果。因此，在開發(fā)STEM課程的同時(shí)，更應(yīng)該尋找國外STEM教學(xué)模式與我國分科式教學(xué)模式的“中間地帶”，在常規(guī)課程（如中學(xué)數(shù)學(xué)課程）中融入跨學(xué)科的STEM教育理念，培養(yǎng)學(xué)生的理工科綜合思維。

根據(jù)上述想法，筆者基于STEM教育理念，以“6E”教學(xué)模式為框架，融入工程問題和物理知識(shí)以及數(shù)學(xué)史，運(yùn)用GeoGebra軟件，設(shè)計(jì)和實(shí)施了《曲邊梯形的面積》一課教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生從實(shí)際問題出發(fā)探究知識(shí)本質(zhì)，從“割圓術(shù)”出發(fā)探究曲邊梯形面積的計(jì)算方法，并通過技術(shù)的運(yùn)用體會(huì)“以直代曲”“無限逼近”的數(shù)學(xué)思想，再利用知識(shí)遷移啟發(fā)思考、拓展應(yīng)用。

一、設(shè)計(jì)思路

“6E”教學(xué)模式是在“5E”教學(xué)模式的基礎(chǔ)上修改與拓展建立的，教學(xué)過程主要包括情境引入（Engage）、科學(xué)探究（Explore）、原理解釋（Explain）、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)（Experiment）、模型精致（Elaborate）和總結(jié)評(píng)價(jià)（Evaluate）六個(gè)環(huán)節(jié)?；谶@一模式，本節(jié)課的教學(xué)分為六步：

（1）介紹大橋側(cè)截面面積對(duì)側(cè)面抗風(fēng)能力的影響，提出實(shí)際問題，讓學(xué)生對(duì)曲邊梯形有一個(gè)初步的認(rèn)識(shí)，激發(fā)學(xué)生的好奇心。

（2）讓學(xué)生通過小組合作的方式初步探索曲邊梯形面積的求解方法，培養(yǎng)學(xué)生的合作學(xué)習(xí)能力;然后由學(xué)生分享探究結(jié)果，培養(yǎng)學(xué)生的語言表達(dá)能力。

（3）通過GeoGebra軟件展示“割圓術(shù)”，總結(jié)思想方法，引導(dǎo)學(xué)生類比歸納出曲邊梯形面積的求解方法。

（4）引導(dǎo)學(xué)生利用GeoGebra軟件求解曲邊梯形的面積，感受不足近似值與過剩近似值之間的關(guān)系，力圖對(duì)逼近過程有更直觀的理解。

（5）引導(dǎo)學(xué)生利用獲得的數(shù)學(xué)模型，通過GeoGebra軟件解決課始提出的問題;然后介紹曲邊梯形面積的求解方法在其他領(lǐng)域的應(yīng)用，促進(jìn)學(xué)生遷移知識(shí)，對(duì)定積分形成初步認(rèn)識(shí)。

（6）進(jìn)行總結(jié)性評(píng)價(jià)，使教師與學(xué)生分別對(duì)各自的教與學(xué)有清晰的認(rèn)識(shí)，促進(jìn)教學(xué)與學(xué)習(xí)能力的發(fā)展。

二、實(shí)施過程

（一）視頻賞析，情境引入

教師帶領(lǐng)學(xué)生觀看視頻，了解創(chuàng)造了四項(xiàng)世界紀(jì)錄的湘西矮寨大橋（圖1為大橋側(cè)面照片）。

然后，用問題驅(qū)動(dòng)法引入曲邊梯形概念——

師如果用一個(gè)平行于橋側(cè)面的平面去截大橋，會(huì)得到什么樣的平面圖形呢？哪位同學(xué)能上臺(tái)把圖形畫在黑板上？

（一位學(xué)生上臺(tái)在黑板上畫出圖2。）

師非常好！這就是我們今天要學(xué)習(xí)的曲邊梯形。（出示圖3）把這個(gè)圖形放到平面直角坐標(biāo)系中，就可以得到曲邊梯形的解析定義：由直線x=a、x=b（a≠b）、y=0和曲線y=f（x）所圍成的圖形。

接著，提出求曲邊梯形面積的實(shí)際問題——

已知懸索橋側(cè)截面的上邊界是拋物線，由于側(cè)截面面積對(duì)側(cè)面抗風(fēng)能力有一定的影響，所以，工程師需要算出大橋的側(cè)截面面積。湘西矮寨大橋全長1176米，高度330米，懸索最低點(diǎn)與橋面的距離為2米，你能幫助工程師算出矮寨大橋的側(cè)截面面積嗎？

（二）小組合作，科學(xué)探究

學(xué)生以小組為單位合作探究如何計(jì)算矮寨大橋的側(cè)截面面積。小組討論后，全班分享各組的方法——

生（出示圖4）可以連接曲邊梯形的兩個(gè)上端點(diǎn)，用梯形的面積代替曲邊梯形的面積。

師這位同學(xué)想到了用梯形的面積來代替曲邊梯形的面積，可是誤差是不是有些大了？其他同學(xué)有沒有能使誤差更小的方法？

生（出示圖5）我們認(rèn)為，可以將整體面積分為一個(gè)矩形和另一個(gè)特殊的曲邊梯形（曲邊三角形）。矩形的面積可以求出，但是特殊曲邊梯形面積的求解有些困難，我們還無從下手。

師這位同學(xué)將面積分為了兩部分，其中一部分容易求解，另一部分較難求解。

生老師，我們有好方法。（出示圖6）我們可以先將曲邊梯形一分為二，再用梯形來代替每一個(gè)小曲邊梯形，這樣就可以減小誤差了。如果分得更細(xì)，則誤差會(huì)更小。

師這位同學(xué)為我們提供了非常好的思路。我們可以先分割，再近似代替，這樣就可以減小誤差了。

（三）歷史介紹，原理解釋

教師引領(lǐng)學(xué)生走進(jìn)歷史，回顧古人的思想方法——

師其實(shí)，這位同學(xué)的思路和我國魏晉時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉徽的思想如出一轍。哪位同學(xué)還記得劉徽計(jì)算的是哪種圖形的面積？

生圓。

師他使用的是什么方法？

生（遲疑）割圓術(shù)。

師沒錯(cuò)，我國古代數(shù)學(xué)家劉徽用“割圓術(shù)”求出了圓的面積。

然后，帶領(lǐng)學(xué)生回顧“割圓術(shù)”的步驟：（1）將圓等分成n個(gè)小扇形;（2）用小三角形的面積近似代替小扇形的面積;（3）求小三角形的面積之和（即正多邊形的面積）;（4）隨著n的不斷增大，正多邊形的面積不斷逼近圓的面積。其中，用圓內(nèi)接正n邊形的面積代替圓的面積，稱作“不足近似值”;用圓外切正n邊形的面積代替圓的面積，稱作“過剩近似值”。

接著，用GeoGebra軟件演示“割圓術(shù)”中隨著n的增大，圓內(nèi)接和外切正n邊形面積逐漸逼近圓面積的過程（如圖7）。

最后，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出劉徽的“割圓術(shù)”體現(xiàn)的“以直代曲”“無限逼近”的數(shù)學(xué)思想后，利用這一思想，從特殊的情況出發(fā)，探究直線x=0、x=1、y=0和拋物線y=x2所圍成的曲邊梯形的面積的求法——

1.分割。

師采用什么方式分割？

生可以在x軸上將[0，1]等分為n個(gè)小區(qū)間。

生也可以在y軸上將[0，1]等分為n個(gè)小區(qū)間。

師非常好！我們不妨以x軸為例來分割。（出示下頁圖8）分割后的n個(gè)小區(qū)間分別是——

師你發(fā)現(xiàn)了什么？

生兩種近似值的極限相同。

師這就說明了，無論采用小矩形、大矩形還是梯形來近似代替曲邊梯形，最終得出的面積都是一樣的。通過上述方法，我們得到了曲邊梯形的面積。這一方法的核心是四個(gè)步驟：分割、近似代替、求和、取極限。

（四）技術(shù)整合，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)

教師引導(dǎo)學(xué)生利用GeoGebra軟件，體會(huì)動(dòng)態(tài)逼近的過程，驗(yàn)證上述結(jié)論的正確性——

首先，在指令欄中輸入“x^2”，并設(shè)置頁面屬性使繪圖區(qū)只顯示函數(shù)自變量取值在0—1的部分。

然后，點(diǎn)擊“滑動(dòng)條”，并在繪圖區(qū)單擊創(chuàng)建滑動(dòng)條，在彈出的對(duì)話框中設(shè)置名稱為“a”，類型為“整數(shù)”，區(qū)間為1到500，增量為1。

接著，在指令欄中輸入求下和（不足近似值）指令“Lower Sum（f，0，1，a）”。拖動(dòng)滑動(dòng)條逐漸增加a的取值，記錄下不足近似值隨矩形個(gè)數(shù)增加的變化趨勢(shì)（如表1）。

最后，在代數(shù)區(qū)隱藏不足近似值，并在指令欄中輸入求上和（過剩近似值）指令“Upper Sum（f，0，1，a）”。拖動(dòng)滑動(dòng)條逐漸增加a的取值，記錄下過剩近似值隨矩形個(gè)數(shù)增加的變化趨勢(shì)（如表2）。

（五）遷移啟思，模型精致

教師對(duì)“分割—近似代替—求和—取極限”的模型加以拓展，指出此模型是求不規(guī)則圖形面積的一般方法。

然后，回到課始的實(shí)際問題，請(qǐng)學(xué)生運(yùn)用這一方法，利用GeoGebra軟件，計(jì)算矮寨大橋的側(cè)截面面積：首先，以橋中心為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，由已知條件可以求出矮寨大橋懸索上邊界的函數(shù)表達(dá)式為y=0.00095x2+2;其次，在GeoGebra軟件中，運(yùn)用不足近似值計(jì)算得到矮寨大橋的側(cè)截面面積約為130335.57平方米（如圖11）。

接著，引導(dǎo)學(xué)生思考計(jì)算曲邊梯形面積的數(shù)學(xué)模型在其他領(lǐng)域的應(yīng)用——

師大家現(xiàn)在都知道了計(jì)算曲邊梯形面積的方法，那么，這種方法還可以運(yùn)用在哪些實(shí)際問題中呢？

生可以計(jì)算變速運(yùn)動(dòng)中的位移，只需要畫出vt圖。

生還可以求變力做功。

師非常好！那老師就給大家布置一道課后作業(yè)題。

（出示作業(yè)題：某汽車在道路上直線行駛，前8秒鐘的vt圖如圖12所示，已知兩段曲線都為拋物線，求在這8秒中汽車開了多遠(yuǎn)？答案保留整數(shù)。）

師其實(shí)，農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中常用的土地面積測(cè)量儀也是以計(jì)算曲邊梯形面積的方法為原理進(jìn)行工作的。而且，牛頓和萊布尼茲利用計(jì)算曲邊梯形面積的思想方法創(chuàng)立了微積分，極大地推動(dòng)了數(shù)學(xué)的發(fā)展，也推動(dòng)了力學(xué)、工程等學(xué)科的發(fā)展。

（六）自我反思，總結(jié)評(píng)價(jià)

教師帶領(lǐng)學(xué)生回顧本節(jié)課學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容，并且再次歸納求曲邊梯形面積的四個(gè)步驟：（1）分割——化整為零;（2）近似代替——以直代曲;（3）求和——積零為整;（4）取極限——無限逼近。同時(shí)，再次明確其中蘊(yùn)含的重要數(shù)學(xué)思想就是“以直代曲”“無限逼近”。

最后，教師與學(xué)生對(duì)整個(gè)探究過程的各個(gè)環(huán)節(jié)提出修改意見，并對(duì)各個(gè)環(huán)節(jié)表現(xiàn)比較好的小組給予積極的評(píng)價(jià)——當(dāng)然，評(píng)價(jià)貫穿于整節(jié)課，即在每個(gè)環(huán)節(jié)都給出階段性評(píng)價(jià)，最后再給出總結(jié)性評(píng)價(jià)。

三、教學(xué)啟示

（一）尋找實(shí)際問題，凸顯STEM教育應(yīng)用價(jià)值

本節(jié)課的教學(xué)由實(shí)際的工程情境引入，并將數(shù)學(xué)知識(shí)遷移運(yùn)用到物理領(lǐng)域的位移計(jì)算和生活中的土地測(cè)量中，可以有效引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)在科學(xué)技術(shù)和社會(huì)發(fā)展中的作用，感悟數(shù)學(xué)的價(jià)值，提升學(xué)生的科學(xué)精神、人文素養(yǎng)和應(yīng)用意識(shí)。要自然地將STEM教育的理念融入常規(guī)課堂，還需盡可能地挖掘各種素材，將工程、科學(xué)與數(shù)學(xué)知識(shí)融為一體，在實(shí)際問題的解決中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，凸顯STEM教育的應(yīng)用價(jià)值。

（二）重視技術(shù)應(yīng)用，體現(xiàn)STEM教育時(shí)代特征

通過本課例不難看出，GeoGebra等軟件能幫助學(xué)生感受無限分割與無限逼近的動(dòng)態(tài)過程，使數(shù)學(xué)知識(shí)達(dá)到“可視化”的效果。也就是說，教育技術(shù)深入到學(xué)科中可以幫助學(xué)生更加深刻地理解學(xué)科內(nèi)涵。在當(dāng)今“互聯(lián)網(wǎng)+”時(shí)代，信息化教學(xué)技能是教師必須掌握的核心技能之一。學(xué)校應(yīng)當(dāng)以教育技術(shù)培訓(xùn)為依托，培養(yǎng)教師實(shí)施信息技術(shù)與學(xué)科教學(xué)深度融合的信息化教學(xué)能力。在教學(xué)設(shè)計(jì)中，教師要以信息技術(shù)支持的跨學(xué)科教育為切入點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力，體現(xiàn)STEM教育的時(shí)代特征。

（三）實(shí)現(xiàn)交叉融合，達(dá)成STEM教育培養(yǎng)目標(biāo)

學(xué)科交叉融合已經(jīng)成為科技和教育發(fā)展的重要趨勢(shì)。STEM教育能夠?yàn)閷W(xué)生提供充分的機(jī)會(huì)，有效地發(fā)展多元的思維方式。因此，學(xué)校和教師應(yīng)當(dāng)正確認(rèn)識(shí)STEM教育的內(nèi)涵與意義，結(jié)合我國國情，尋找數(shù)學(xué)與工程、科學(xué)知識(shí)的整合點(diǎn)，系統(tǒng)地進(jìn)行課程開發(fā)與研究;在教學(xué)設(shè)計(jì)中，既保留傳統(tǒng)教學(xué)內(nèi)容，又結(jié)合科學(xué)與工程知識(shí)，并且運(yùn)用信息技術(shù)，搭建起各學(xué)科之間的橋梁，實(shí)現(xiàn)多學(xué)科的交叉融合;同時(shí)，著力建設(shè)STEM教育的評(píng)價(jià)體系，從而達(dá)成STEM教育的培養(yǎng)目標(biāo)——通過跨學(xué)科的教學(xué)培養(yǎng)具備理工科綜合思維的創(chuàng)新型人才。

參考文獻(xiàn)：

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