廣東省中山市坦洲實驗中學(528467) 鄧凱

2019 年廣東省初中學業(yè)水平考試數學卷第23 題的第(3)小題是一道看似平常的題,但筆者抽查考生該題的答題情況后回頭琢磨該題的圖形結構及已知數據,才體會到命題者編制這道題時下足了功夫,這道題不失為一道好題.該題考查考生根據已知面積關系建立數學模型的能力,進而測評考生的數學建模、直觀想象、數學推理以及數學計算等數學核心素養(yǎng).考生解答時能否找到思考的切入口?能否根據試題搭建的模板建立模型?能否在推理比較中優(yōu)化思維進而尋求最優(yōu)解?這些都能體現考生之間數學素養(yǎng)的差異.就本題而言,命題者為考生預留了多個思考的切入口,搭建了多個數學模型的模板,提供了充足的思考空間,為學生展示其數學素養(yǎng)提供了充足的條件,因此能保證測評考生數學素養(yǎng)的信度和效度,從而更真實地測評出學生數學素養(yǎng)的發(fā)展情況.

1 試題呈現

(2) 求這兩個函數的表達式;

(3) 點P在線段AB上,且SΔAOP:SΔBOP=1:2,求點P的坐標.

圖1

圖2

參考答案: (1) 略;(2) 略;

(3) 如圖2,連接OP、OA、OB,設直線y=-x+3 與x軸交于點C.

當y=0 時,x=3,

∴點C的坐標為(3,0).

∵點P在線段AB上,設P的坐標為(m,-m+3),

2 試題評價

這道試題比較常規(guī),考查的知識點都是初中數學中的基礎知識與核心思想方法,包括一次函數、反比例函數、函數與不等式之間的關系、三角形的面積等知識,以及數學建模、待定系數法、轉化與化歸等數學思想方法.從考生答題情況來看,大多數考生都能解答第(1)小題和第(2)小題,能順利解答第(3)小題考生不超過半數.本題對學生數學核心素養(yǎng)的考查具有合理的區(qū)分度.

從考查學生數學核心素養(yǎng)的角度看這道題,第(1)小題主要考查學生直觀想象素養(yǎng),當學生理解了根據圖象理解函數與不等式之間的關系之后,直觀函數圖象即可得到答案;第(2)小題主要考查學生的數學運算素養(yǎng),當學生理解待定系數法求函數解析式之后,通過簡單的解方程和解方程組即可得到答案;第(3)小題能夠綜合考查學生數學建模、直觀想象、數學推理和數學運算等數學核心素養(yǎng),已知條件中給出兩個三角形的面積的比,可利用轉化與化歸思想將三角形的面積之比變?yōu)閮蓷l線段的長度之比,還可以轉化為求兩條線段的長度,部分數學素養(yǎng)突出的考生還可以直接通過“分點”的性質建立模型.事實上,該題為考生預留了多個思考切入口,考生任意選擇其中一個切入口,只要具備相應的直觀想象素養(yǎng)皆可建立數學模型,只要具備數學推理和數學計算素養(yǎng)就能順利解答本題.

另外,本題圖形簡潔,計算量很小,為數學核心素養(yǎng)的測評減少了干擾因素.

3 試題多解

整理抽查的1000 份考生答卷情況,不同于標準答案且符合學生學段認知的自然解法主要有以下四類六種.

第一類(選擇“面積關系”列式): 思路類似參考答案,設點P的坐標之后由面積之比列式計算.

解法一(直接求線段AP和PB的長): 如圖3, 連接OP、OA、OB,

設直線y=-x+3 與x軸交于點C,與y軸交于點D,設P的坐標為(m,-m+3).

當y=0 時,x=3,當x=0 時,y=3,

∴點C的坐標為(3,0),點D的坐標為(0,3).

圖3

圖4

圖5

第二類(根據“線段長度”列式): 思路是由面積之比轉化得到線段之比,設點P的坐標之后由線段之比列式計算.

解法二(直接求線段AP和PB的長): 如圖2, 連接OP,OA,OB,

∵SΔAOP:SΔBOP=1:2,

∴AP:PB=1:2.

∵點P在線段AB上,設P的坐標為(m,-m+3),

整理,得(m-4)2=4(m+1)2,

有考生用同樣的方法根據AB和PB(或AB與AP)的長度之比列等式求解,但過程比解法二稍微復雜一些.

解法三(構造直角三角形求線段AP和PB的長) :如圖4, 連接OP,OA,OB, 過點A,P分別作x軸的垂線,與過點B作x軸的平行線交于點M,N. 設P的坐標為(m,-m+3),

∵AM=BM=5,

∴ΔABM和ΔPBN都是等腰直角三角形.

∵SΔAOP:SΔBOP=1:2,

∴PB:AB=2:3.

第三類(根據“線段之比”構建相似三角形): 思路是由面積之比得到線段之比, 再根據線段之比構建相似三角形,設點P的坐標之后由線段之比列式計算.

解法四如圖4,連接OP,OA,OB,過點A,P分別作x軸的垂線,與過點B作x軸的平行線交于點M,N.設P的坐標為(m,-m+3),

由輔助線的作法可得ΔBAM∽ΔBPN.

∴BN:BM=BP:BA.

∵SΔAOP:SΔBOP=1:2.

∴BN:BM=BP:BA=2:3.

∴(4-m):5=2:3.

有考生過點P作x軸的平行線, 類似地根據AP和PB(或AB與AP)的長度之比列等式求解,但過程比這種解法四稍微復雜一些.

解法五如圖5,連接OP,OA,OB,過點A,B分別作x軸的平行線,與過點P作x軸的垂線交于點M,N.設P的坐標為(m,-m+3),

由輔助線的作法可得ΔAPM∽ΔBPN.

∴AM:BN=AP:BP.

∵SΔAOP:SΔBOP=1:2,

∴AM:BN=AP:BP=1:2.

∴(m+1):(4-m)=1:2.

有考生由ΔAPM∽ΔBPN得PM:PN=AP:BP,然后列式求解的,與解法五基本上是一樣的.

第四類(根據等分點性質計算): 思路是由面積之比得到點P為線段AB的三等分點,再三等分點的性質計算出點P的坐標.

解法六如圖4,連接OP,OA,OB,過點A,P分別作x軸的垂線,與過點B作x軸的平行線交于點M,N.

由輔助線的作法可得ΔBPN∽ΔBAM.

∴BN:BM=BP:BA.

∵SΔAOP:SΔBOP=1:2,

∴BN:BM=BP:BA=2:3.

即點N為線段BM的三等分點.

∵BM=5,

以上六種解法, 從不同角度展示了學生良好的數學建模、直觀想象、數學推理以及數學計算等數學核心素養(yǎng).一方面,說明這道題是一道好題,既能促成學生數學素養(yǎng)的展示,又能區(qū)分不同數學素養(yǎng)的差異,另一方面,我們在平時的教學中要善于運用類似的問題充分引導學生進行創(chuàng)新探索,充分發(fā)展他們的數學素養(yǎng).

4 教學建議

本文所論述的這道題屬于“數學建模型”類問題.基于本題及學生答題情況的抽樣調查研究,筆者認為在數學建模類問題解決的課堂教學中至少應該做好三個方面的工作:

4.1 引導學生實現“思維突破”

筆者抽樣的1000 名學生本題的得分情況如表1:

表1 2019 年廣東省初中學業(yè)水平考試數學科第23 題得分抽樣調查統(tǒng)計表

按照評分標準,考生做對第(1)小題得2 分,做對第(2)小題得4 分,做對第(3)小題得3 分.從上表可以看出,本題得滿分的人數只占14%,也就是說就本題考查的數學素養(yǎng)而言,達到考查最高要求的人數并不多.再看得分為7-9 分的人數的百分比發(fā)現,能做第(3)小題并且能得分的考生約占或者略超27%,這就是說大多數學生的數學建?；蛘吲c本題模型相關的直觀想象等素養(yǎng)是較弱的,他們存在的問題往往是解決問題時找不到思考的切入口,難以實現“思維突破”.因此,提升學生數學核心素養(yǎng)使其由弱到強,抓根務本的方法就是引導學生解決問題時能夠找到問題的切入口并實現“思維突破”.以本題的教學為例,教師可能通過“獨立解決”“小組合作”“成果展示”等活動引導學生分別將“面積之比”“線段之比”“線段長度”“三等分點”作為建立模型的模板作為切入口,之后不僅讓學生從不同的切入口建立模型,還要理解各個切入口之間的轉換關系,形成并積累尋找切入口的經驗.引導學生“思維突破”時,可以引導學生根據各模板選擇或者構造不同的幾何基本圖形建立數量關系.“思維突破”的過程有時是有規(guī)律可循的,有時是有靈感的,但都需要學生勇敢地、專注地、執(zhí)著地甚至急切地尋求解決思路.

4.2 激發(fā)學生堅持“思維優(yōu)化”

我們在平時的觀課議課中發(fā)現,一些不注重提升學生數學素養(yǎng)的課堂,教師和學生都是習慣于解決多個問題,每個問題都以解決為終點.與此相反,一些注重提升學生數學素養(yǎng)的課堂,教師和學生并不以問題的解決為終點,而是對這個問題探索多種解法并在比較中對問題的解決方案進行優(yōu)化.事實上,優(yōu)化思維是提升學生數學核心素養(yǎng)的一種很好的方法.我們提出的理念是備課時要精選經典題,在課堂教學中要對經典題進行充分的發(fā)散研究,并且在發(fā)散研究的基礎上比較研究,通過思維優(yōu)化才能保質保量地提升學生的數學核心素養(yǎng).以本題所述這道題的第(3)小題的教學為例,教學中要激發(fā)學生“一題多解”, 然后讓學生在多個解答中對比,找到每種解法的優(yōu)勢與不足,找到自己思維的優(yōu)勢與不足,從而通過反思達到“思維優(yōu)化”的目的.我們還主張對問題進行“變式”,然后引導學生對新的問題“一題多解”并重復上述過程.

4.3 鼓勵學生追求“思維創(chuàng)新”

閱卷完返校之后,筆者訪談自己教過的學生對本題的答題情況,有一位學生根據等分點性質給出了一種創(chuàng)新解法.

解: 如圖2,連接OP,OA,OB,

∵SΔAOP:SΔBOP=1:2,

∴AP:PB=1:2.

∵A(-1,4),B(4,-1),

我對這位學生的這種解法很好奇,因為其思想很像“定比分點”公式,我問他是否自學了高中數學課程,他說沒有.他告訴我, 他曾經研究過平面直角坐標系中線段的中點坐標公式的特點, 進而通過一些具體的坐標研究并得出了任意兩點之間線段的n等分點坐標公式.他的研究結論是: 已知點A(a,b),B(c,d),若點C為線段AB的n等分點,且

則

事實上,通過代入具體數據猜想并驗證確實容易發(fā)現這個公式.據這位學生的學習經驗,我們在教學中應該更多地為這類學生創(chuàng)造性學習提供資源和機會,鼓勵他們追求思維創(chuàng)新.很明顯,當學生能夠習慣性地追求思維創(chuàng)新之后何愁其數學核心素養(yǎng)不強?

總之,我們在教學中要做的就是選出經典的問題,然后就是扎扎實實地引導學生實現“思維突破”, 激發(fā)學生堅持“思維優(yōu)化”,鼓勵學生追求“思維創(chuàng)新”.因為這些環(huán)節(jié)或方法才是提升學生數學核心素養(yǎng)的行之有效的好方法.