廣東省佛山市南海區(qū)石門中學(xué) 劉偉

在2019 屆高考備考中,筆者任教實(shí)驗(yàn)班,承擔(dān)了學(xué)校尖子生培養(yǎng)的重任.高考備考中應(yīng)如何突破導(dǎo)數(shù)解答題,一直是筆者教學(xué)及備考過程中不斷思考的問題.本文中,筆者將結(jié)合對2019 年高考全國Ⅰ卷理科數(shù)學(xué)第20 題的研究,談?wù)勛约涸趯?dǎo)數(shù)題備考中的一些思考與體會.

1 試題呈現(xiàn)

已知函數(shù)f(x) = sinx-ln(1+x),f′(x)為f(x)的導(dǎo)數(shù).證明：

(2)f(x)有且僅有2 個零點(diǎn).

2 靜觀其“變”

該題的題干十分簡潔,給出一個不帶參數(shù)的函數(shù)解析式,題目設(shè)置兩問,都是零點(diǎn)問題(第一問本質(zhì)就是二階導(dǎo)函數(shù)的f′′(x)變號零點(diǎn)問題).題干十分簡潔,因?yàn)椴粠?shù),給人的第一印象不會太難.但仔細(xì)一看,該題還是有很多“與眾不同”的特點(diǎn)：

創(chuàng)新點(diǎn)1—-函數(shù)形式新：縱觀近十年全國Ⅰ卷的導(dǎo)數(shù)題,基本都是由超越函數(shù)或與多項(xiàng)式函數(shù)的組合或復(fù)合而成的,幾乎沒有出現(xiàn)超越函數(shù)與正余弦函數(shù)組合而成的高考題,因此該題中出現(xiàn)的函數(shù)f(x)=sinx-ln(1+x)會讓學(xué)生們感到十分陌生,不知如何下手.

創(chuàng)新點(diǎn)2—-考查方向新：2016 年起,廣東省恢復(fù)使用全國1 卷的試題,2016 年及2018 年均考查了二元不等式,備考老師很容易形成一種備考的思維定勢,過分關(guān)注二元不等式的相關(guān)問題,甚至把它放在導(dǎo)數(shù)備考中的首要地位,2019 年各地模擬題中層出不窮的二元(含x1,x2)不等式問題足以反映這種思維定勢.此題考查的方向也與“預(yù)估”的不同,有較明顯的反押題反刷題的味道,符合高考的公平性及選拔性要求.

創(chuàng)新點(diǎn)3—-設(shè)問形式新：本題兩個小問均為證明題,這在近十年的全國卷中也是絕無僅有的.證明題是很多考生較薄弱的一種題型,該題設(shè)問形式的創(chuàng)新對考生來講無疑是一種全新的挑戰(zhàn).

綜上,這道題有諸多創(chuàng)新,必然成為學(xué)生通往高分路上的攔路虎!

3 素養(yǎng)導(dǎo)向

該題的命制符合高考評價體系中的“一核四層四翼”.從考查目的開看,該題能體現(xiàn)高考的選拔功能,也能很好地引導(dǎo)教學(xué),引導(dǎo)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)回歸到本質(zhì),即學(xué)科素養(yǎng)和關(guān)鍵能力的培養(yǎng)；從考查內(nèi)容來看, 同時考查了四層即“必備知識、關(guān)鍵能力、學(xué)科素養(yǎng)、核心價值”；從考查要求來看,該題主要體現(xiàn)了高考的綜合性和創(chuàng)新性.

證明定理是科研尤其是數(shù)學(xué)研究中最重要的工作之一,要求證明者具備較強(qiáng)的創(chuàng)新探索精神、分析推理能力及符號表達(dá)能力.本題設(shè)置兩問,均為證明題,其用意是十分明顯的——淡化對計(jì)算能力的考查,著重考查學(xué)生的分析能力和推理能力.因此,本題能力素養(yǎng)導(dǎo)向明顯,考查學(xué)生分析問題、解決問題的能力,從數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)來看,本題主要考查了邏輯推理、直觀想象及數(shù)據(jù)分析三大核心素養(yǎng).

4 試題分析

4.1 第一問

4.1.1審題分析

題干中出現(xiàn)了“極大值點(diǎn)”的關(guān)鍵詞,不難想到該命題可化歸為研究f′(x)的導(dǎo)數(shù)即f(x)的二階導(dǎo)數(shù)f′′(x)的變號零點(diǎn)問題(由正到負(fù)),因此首先要正確求出f′′(x)；題干中的另一關(guān)鍵詞“存在”,則意味著要從零點(diǎn)存在性定理入手,所以需要用到取點(diǎn)的技巧[1].“唯一”的證明則需要借助f′′(x)的單調(diào)性進(jìn)行證明,所以在解決第一問的過程實(shí)際上需要求三階導(dǎo)數(shù)f′′′(x).

4.1.2難點(diǎn)突破

(1)取點(diǎn)的“初體驗(yàn)”：在“唯一性”的證明中,涉及到取點(diǎn)分析的技巧,對于此類函數(shù),應(yīng)該取什么點(diǎn)?

(2)借助高階導(dǎo)函數(shù)解決問題時應(yīng)注意什么?

筆者認(rèn)為,函數(shù)題的作答用的是代數(shù)語言,但分析問題的過程中用得更多的卻是“圖像語言”.由于此題的證明過程中涉及到不同階導(dǎo)數(shù)之間的聯(lián)系,解題時需要借助各階次導(dǎo)數(shù)的圖象,畫圖分析的能力顯得格外重要!一般的,解決函數(shù)問題的一個關(guān)鍵能力就是“畫圖”,借助函數(shù)圖象可以打開解題思路,還能避免在抽象的代數(shù)分析中犯錯.這是在平時教學(xué)中必須教會學(xué)生的一種關(guān)鍵能力,需要不斷灌輸,不斷強(qiáng)化.以此題為例,借助幾何畫板可得f′(x)、f′′(x)、f′′′(x)的圖象,可幫助直觀理解問題：

圖1 f′(x) = cos x-

圖2 f′′(x) = -sin x+

圖3 f′′′(x) = -cos x-

此外,從答題規(guī)范的角度來看,不建議考生在作答時使用高階導(dǎo)數(shù)f′′(x)及f′′′(x)的符號,要求學(xué)生有清晰的思路和較強(qiáng)的符號表達(dá)能力.綜上,第一問考查了求導(dǎo)運(yùn)算,利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性,零點(diǎn)存在性定理等知識；考查了考生取點(diǎn)的技巧,本質(zhì)是考查了數(shù)值分析的數(shù)學(xué)素養(yǎng)；考查了轉(zhuǎn)化與化歸及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.

4.2 第二問

4.2.1審題分析

第二問題干中的關(guān)鍵詞是“有且僅有”,所以在證明的過程中就必須把2 個零點(diǎn)找到,而且還要證明不存在其他的零點(diǎn).注意到第2 問與第1 問一個明顯的差異是研究的范圍變了,即在整個定義域而不是在一個有限的區(qū)間內(nèi)研究零點(diǎn)的個數(shù),而這是題目的困難之處!

4.2.2難點(diǎn)突破—-復(fù)雜問題的拆解

難點(diǎn)1：存在性—-“有2 個零點(diǎn)”如何證明?

在存在性的證明過程中,我們可進(jìn)一步體會到函數(shù)圖象的重要性：任何函數(shù)難題的切入都應(yīng)該把握函數(shù)的圖象,應(yīng)該借助函數(shù)的圖象打開解題思路.函數(shù)f(x)在(0,π)的圖象如下：

圖4 f(x)在(0,π)的草圖

思維誤區(qū)分析很多考生會有這樣的思維慣性,只要找到兩個零點(diǎn),再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性說明函數(shù)f(x)在零點(diǎn)x1,x2兩側(cè)是單調(diào)的就可以了,二次函數(shù)就是一個典型的例子.一旦進(jìn)入這一思維誤區(qū),在第二問的證明中將會陷入一種困境：出現(xiàn)了單調(diào)性“解決不了”的問題!這是因?yàn)榭忌X海中預(yù)期的理想模型圖象如圖5.

圖5 思維誤區(qū)中“理想模型”

事實(shí)上,單調(diào)性只是一個充分條件(條件太強(qiáng)),而不是充要條件,這就是該題的難點(diǎn)所在.

分析f(x)圖象變化趨勢的2 個角度：

(i)不難發(fā)現(xiàn)f(x)的零點(diǎn)即sinx= ln(1+x)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo),結(jié)合這兩個函數(shù)的圖象,也不難發(fā)現(xiàn)第二個交點(diǎn)后f(x)的圖象并非單調(diào).

(ii) 事實(shí)上,f(x) 的圖象在零點(diǎn)x2后有無限多個增減區(qū)間, 圖象必然是“飄”的, 借助幾何畫板畫出f(x) =sinx-ln(1+x)的圖象,可驗(yàn)證我們的分析,但在考場上,學(xué)生要分析到這一點(diǎn)是非常不容易的.

圖6 函數(shù)f(x)的圖象

因此證明f(x)在(x2,+∞)內(nèi)沒有零點(diǎn),利用單調(diào)性的思路是行不通的!這里需要另辟蹊徑—-分段放縮法!

解題技巧2—-分段放縮法[1]由于正余弦函數(shù)是有界的,在含有sinx或cosx的超越函數(shù)的符號時,經(jīng)常使用分段放縮法,這是處理這種形式的函數(shù)的一種通性通法.一方面,f(x)在(x2,π)上單調(diào)遞減,從而f(x)＜0；另一方面,由sinx的有界性和-ln(1+x)的單調(diào)性得：

x ∈[π,+∞)時,

f(x)=sinx-ln(1+x)＜1-ln(1+π)＜1-ln 3＜0

注意到,這里依然需要使用到取點(diǎn)的技巧.至此,本題解題思路及方法分析到此結(jié)束.

4.3 詳細(xì)解答

證明：(1)f(x)的定義域?yàn)?-1,+∞),

于是可得下表：

x (-1,0)0(0,x1)x1(x1, π π 2)(π π f′(x)-0+2 2,π)0----f(x)減函數(shù)0增函數(shù)大于0減函數(shù)大于0減函數(shù)小于0

綜上,f(x)有且僅有2 個零點(diǎn).

5 深度挖掘

5.1 命題者的意圖

變式訓(xùn)練1：證明函數(shù)f(x) = sin-x2有且僅有2 個零點(diǎn).

變式訓(xùn)練2：證明函數(shù)f(x) = sin-x3有且僅有3 個零點(diǎn).

通過以上3 個變式練習(xí)的解決, 我們可以體會到變式1 與變式2 的解決方法與變式3 的差異：變式1 及變式2的證明方法是類似的,直接用單調(diào)性即可解決；變式3 則是f(x)=sinx-ln(1+x)的“降級處理”,證明方法相同,但難度略低.借助這3 個函數(shù)的圖象,我們更能理解命題者的意圖：為了使圖象“飄起來”,需要恰當(dāng)控制f(x)=sinx-g(x)中g(shù)(x)的增長速度!命題者選中增長較慢的ln(1+x)與具備無限多個增減區(qū)間的sinx組合,原因就在于此!

圖7 變式1～3 的函數(shù)圖象

5.2 尋根溯源

取點(diǎn)賦值技巧實(shí)際上是解決函數(shù)零點(diǎn)問題的一種常用技巧,在證明零點(diǎn)存在時最嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖龇ㄒ彩侨↑c(diǎn)賦值(極限法并非最佳選擇),在以往的高考題中不乏設(shè)計(jì)到取點(diǎn)技巧的題目.在此,僅列出兩道高考題,作為橫向比較：

題組1 涉及放縮及取點(diǎn)技巧的高考題

(1) (2015. 全國高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)卷(1) 文21) 設(shè)函數(shù)f(x)=e2x-alnx.

(i)討論f′(x)零點(diǎn)的個數(shù)；

(2(2016. 全(1) 理21) 已知函數(shù)f(x) = (x -2)ex+a(x-1)2有兩個零點(diǎn).

(Ⅰ)求a的取值范圍；

再新的題目也有跡可循,今年全國一卷引入了含sinx的超越函數(shù),是一種新的嘗試.但此類函數(shù)題在其他省份的高考題也早已出現(xiàn),解題時使用到的取點(diǎn)技巧和放縮技巧也早已出現(xiàn)在高考中,在此,列出幾道舊題以備參考：

題組2 含sinx或cosx的超越函數(shù)的經(jīng)典問題

(1)(2017 年北京理)已知函數(shù)f(x)=excosx-x.

(i)求曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程；

(2) (2017 年山東理) 已知函數(shù)f(x) =x2+2 cosx,g(x)=ex(cosx-sinx+2x-2),其中e ≈2.71828...是自然對數(shù)的底數(shù).

(Ⅰ)求曲線y=f(x)在點(diǎn)(π,f(π))處的切線方程；

(Ⅱ)令h(x) =g(x)-af(x)(a ∈R),討論h(x)的單調(diào)性并判斷有無極值,有極值時求出極值.

(3)(2014 年遼寧理)已知函數(shù)

(3)(2013 年遼寧高考數(shù)學(xué)卷，理)已知函數(shù)

6 總結(jié)及反思

縱觀整份2019 年高考數(shù)學(xué)試題(尤其是第4 題, 第21題,第22 題),有很濃的扭轉(zhuǎn)應(yīng)試教育的傾向,即反押題、反刷題,題目背景新穎,注重考查學(xué)生的核心素養(yǎng)和學(xué)科能力.試題充分體現(xiàn)了高考的公平性、選拔性,對中學(xué)的數(shù)學(xué)教學(xué)有很強(qiáng)的導(dǎo)向性—-素養(yǎng)培養(yǎng)比機(jī)械刷題更重要!筆者是十分欣賞今年的全國卷試題的, 也希望命題者能夠扛住壓力,繼續(xù)命出如此高質(zhì)量的好題!如此,才能更有利于高校選拔人才,更科學(xué)引導(dǎo)中學(xué)的課堂教學(xué),回歸到數(shù)學(xué)能力和素養(yǎng)的培養(yǎng),而不是瘋狂搞“題海戰(zhàn)術(shù)”.如此,才是真正的利國利民,才能真正實(shí)現(xiàn)“減負(fù)”!

然而,導(dǎo)數(shù)題應(yīng)如何備考?導(dǎo)數(shù)題的解題教學(xué)應(yīng)該以什么為導(dǎo)向?教師應(yīng)該注重教什么?成為我們必須要認(rèn)真思考的一個問題!

筆者認(rèn)為, 備考中讓學(xué)生熟悉往年的高考題十分必要,但其目的不是押題.導(dǎo)數(shù)題備考的正確方向應(yīng)該首先回歸到關(guān)注學(xué)科研究的本質(zhì)、關(guān)注考查的數(shù)學(xué)素養(yǎng)(如直觀想象及數(shù)據(jù)分析的素養(yǎng)),關(guān)注考查的數(shù)學(xué)思想(如數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸、分類討論),其次才是處理問題的種種技巧.具體到函數(shù)與導(dǎo)數(shù)模塊的備考,教學(xué)中應(yīng)該教會學(xué)生：研究函數(shù)的問題要回歸函數(shù)圖象的變化,借助函數(shù)的圖象打開解題思路,一切的解題技巧都只是由圖象衍生出來的.而這才是真正的跳出題型看到問題的本質(zhì),這才是導(dǎo)數(shù)壓軸題的備考之道!