尹夢(mèng)偉 袁璐

[摘 要] 概念是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，APOS理論是一種建構(gòu)主義的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)理論，將數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)分為活動(dòng)、過程、對(duì)象和圖式四個(gè)階段。在APOS理論的指導(dǎo)下，以“指數(shù)函數(shù)”為例，進(jìn)行四階段的教學(xué)設(shè)計(jì)。

[關(guān)鍵詞] APOS理論;數(shù)學(xué)概念;指數(shù)函數(shù);概念教學(xué)

[作者簡(jiǎn)介] 尹夢(mèng)偉（1995—），女，山東青島人，青島大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院在讀研究生，研究方向：數(shù)學(xué)教育。

[中圖分類號(hào)] G642.0? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A? ? [文章編號(hào)] 1674-9324（2020）19-0279-02? ? [收稿日期] 2019-09-20

函數(shù)在高中階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容中有舉足輕重的地位，而函數(shù)概念的抽象性往往會(huì)造成學(xué)生理解的困難?！爸笖?shù)函數(shù)”作為高中階段學(xué)習(xí)的第一個(gè)基本初等函數(shù)，為后續(xù)研究對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)提供了方法和模式，因此學(xué)好指數(shù)函數(shù)至關(guān)重要。然而學(xué)生的學(xué)習(xí)現(xiàn)狀卻并不樂觀，存在著系數(shù)、指數(shù)考慮不周，概念、圖像理解不夠深刻等諸多問題。美國(guó)數(shù)學(xué)家Dubinsky于20世紀(jì)末期提出了APOS理論，這對(duì)數(shù)學(xué)概念教學(xué)有非常重要指導(dǎo)意義。如何運(yùn)用APOS理論指導(dǎo)指數(shù)函數(shù)概念的教學(xué)就成為本文要解決的問題?；诖耍P者借助幾何畫板，本文以指數(shù)函數(shù)的教學(xué)設(shè)計(jì)為例淺談APOS理論在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中的應(yīng)用。

一、APOS理論概述

APOS是由英文action（活動(dòng)）、process（過程）、object（對(duì)象）、schema（圖式）的首字母所組合而成的縮寫詞，代表著學(xué)生在發(fā)展他們對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解時(shí)所構(gòu)建的心理結(jié)構(gòu)（活動(dòng)、過程、對(duì)象和圖式）的類型[1]。

活動(dòng)是個(gè)體對(duì)于感知到的外部刺激進(jìn)行轉(zhuǎn)換，當(dāng)學(xué)習(xí)者不斷重復(fù)此活動(dòng)并對(duì)其進(jìn)行反思時(shí)，不再依賴于外部的持續(xù)刺激便能知其思想描述或反思活動(dòng)，就已到達(dá)過程階段。當(dāng)學(xué)生意識(shí)到把過程作為一個(gè)整體并且能夠?qū)υ撜w實(shí)施操作時(shí)，該過程被壓縮為一般的數(shù)學(xué)對(duì)象。從過程轉(zhuǎn)移到對(duì)象為從更高層次進(jìn)行研究提供了可能[2]。

二、文獻(xiàn)綜述

2006年，張偉平通過分析課例指出，APOS理論指導(dǎo)下的數(shù)學(xué)概念探究課可以有效提高學(xué)生的數(shù)學(xué)概念建構(gòu)水平。2007年，濮安山和史寧中的研究表明我國(guó)大部分高中生能達(dá)到函數(shù)概念建構(gòu)的操作階段和過程階段，只有較少的學(xué)生能達(dá)到對(duì)象階段和圖示階段;侯曉娟指出數(shù)學(xué)教學(xué)方式需發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)，并以“指數(shù)函數(shù)”為例進(jìn)行了教學(xué)設(shè)計(jì)。

三、APOS理論視角下的指數(shù)函數(shù)教學(xué)設(shè)計(jì)

（一）活動(dòng)階段

1.某種細(xì)胞分裂時(shí)，由1個(gè)分裂成2個(gè)，2個(gè)分裂成4個(gè)……以此類推，1個(gè)這樣的細(xì)胞經(jīng)過x次分裂后，得到的細(xì)胞個(gè)數(shù)y與x有怎樣的關(guān)系？

2.《莊子·天下篇》中寫道：“一尺之棰，日取之半，萬世不竭”。請(qǐng)你寫出取x次后，木棰的剩留量y與x的函數(shù)關(guān)系式。

（二）過程階段

1.上述兩個(gè)關(guān)系式是函數(shù)關(guān)系嗎？它們有什么共同特征？

設(shè)計(jì)意圖：通過提問該問題，學(xué)生可以通過“一一對(duì)應(yīng)”的原則判斷出這兩個(gè)關(guān)系式均為函數(shù)，為后面討論指數(shù)函數(shù)的圖像并研究其性質(zhì)做了鋪墊;通過讓學(xué)生歸納概括這兩個(gè)函數(shù)關(guān)系式的共同點(diǎn)，使學(xué)生得到3個(gè)共同要素：兩等式均為指數(shù)形式;底數(shù)為常數(shù);自變量在指數(shù)位置。

2.這兩個(gè)表達(dá)式都可以寫成什么形式？

設(shè)計(jì)意圖：提此問題可以使學(xué)生在上一問的基礎(chǔ)上，找到兩函數(shù)的不同之處——即底數(shù)，將底數(shù)用字母a表示，此過程需要學(xué)生能夠積極主動(dòng)地探究，教師可以適當(dāng)給出提示，幫助學(xué)生完成這個(gè)概括過程。

（三）對(duì)象階段

1.若用字母a來表示常數(shù)，將定義域推廣到全體實(shí)數(shù)，抽象出指數(shù)函數(shù)的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)化的語(yǔ)言給指數(shù)函數(shù)下定義，教師板書指數(shù)函數(shù)的概念：一般地，函數(shù)y=a（a>0且a≠1）叫做指數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)定義域?yàn)镽。

為什么規(guī)定a>0且a≠1？

設(shè)計(jì)意圖：“對(duì)象階段”需要給上一階段抽象出的本質(zhì)特征賦予形式化的定義和符號(hào)。在“過程”階段已經(jīng)歸納出共同特征的基礎(chǔ)上，依據(jù)其異同，給出一個(gè)具有概括性的數(shù)學(xué)表達(dá)式。

2.判斷下列函數(shù)是否為指數(shù)函數(shù)。

設(shè)計(jì)意圖：通過解決例題，可使學(xué)生鞏固指數(shù)函數(shù)的定義，加深對(duì)指數(shù)函數(shù)概念的理解，為后面探究其性質(zhì)作鋪墊。在這一過程中，學(xué)生需明確用概念作判斷的“操作步驟”：一是看系數(shù)：系數(shù)必須為1;二是看底數(shù)a：a>0且a≠1;三是看指數(shù)：只能為自變量x，不能是自變量的其他表達(dá)式。

3.學(xué)習(xí)函數(shù)的一個(gè)重要目的就是應(yīng)用，但應(yīng)用之前我們必須對(duì)函數(shù)的性質(zhì)有一個(gè)充分的認(rèn)識(shí)。數(shù)學(xué)上我們常借助圖像研究函數(shù)的性質(zhì)。大家還記得如何畫出一個(gè)給定函數(shù)的圖像嗎？可以通過圖像來研究函數(shù)的哪些性質(zhì)？

教師借助幾何畫板呈現(xiàn)這四條函數(shù)圖像，為接下來探究性質(zhì)做準(zhǔn)備。

從圖像的單調(diào)性來看能否將這4個(gè)函數(shù)分為兩類？你還能通過圖像得到什么信息？

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生回顧如何作圖，目的是為接下來自主繪圖做準(zhǔn)備。分組作業(yè)可節(jié)省時(shí)間。

這一過程需充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，提高課堂上學(xué)生的參與程度，體現(xiàn)學(xué)生的“主體性”，教師引導(dǎo)學(xué)生依據(jù)底數(shù)a的大小將4個(gè)函數(shù)分為兩類：01。通過圖像探究函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、值域以及恒過的定點(diǎn)（0，1），教師需指出，通過4個(gè)函數(shù)概括出全體指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的探究過程滲透了不完全歸納的數(shù)學(xué)思想方法。

依據(jù)APOS理論的要求，學(xué)生在“對(duì)象階段”需將指數(shù)函數(shù)看作是一個(gè)整體，不再著眼于“底數(shù)”“系數(shù)”“指數(shù)”這些要素，而是對(duì)“指數(shù)函數(shù)”這一整體進(jìn)行探究，繪制其圖像，研究單調(diào)性、奇偶性等性質(zhì)。

（四）圖式階段

1.比較下列各題中兩個(gè)值的大小。

設(shè)計(jì)意圖：3道練習(xí)題分別考查了比較指數(shù)函數(shù)值大小的三種情況：底數(shù)相同指數(shù)不同;底數(shù)不同指數(shù)相同;底數(shù)指數(shù)均不同。學(xué)生在解決此類問題時(shí)，需要依據(jù)底數(shù)的大小畫出函數(shù)圖像，再依據(jù)函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行比較。通過設(shè)計(jì)此練習(xí)，可使學(xué)生達(dá)到對(duì)概念認(rèn)識(shí)的進(jìn)一步深化，便于學(xué)生將新概念與頭腦中已有的其他概念、規(guī)則、圖形等建立聯(lián)系，在頭腦中構(gòu)成綜合的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

設(shè)計(jì)意圖：此題為復(fù)合函數(shù)求定義域和值域，學(xué)生在此前的學(xué)習(xí)中雖然尚未學(xué)習(xí)過復(fù)合函數(shù)這個(gè)概念，但其若能對(duì)指數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)的概念有一個(gè)精準(zhǔn)的把握，便可解決此題。

3.我們今天所學(xué)的內(nèi)容能與之前的內(nèi)容聯(lián)系起來嗎？你能把指數(shù)函數(shù)這個(gè)新知識(shí)納入你原先的知識(shí)結(jié)構(gòu)中嗎？（引導(dǎo)學(xué)生繪制知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖）

設(shè)計(jì)意圖：通過讓學(xué)生繪制知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖，可使學(xué)生將新的概念與頭腦中原有的概念建立聯(lián)系，完成新概念建構(gòu)的高級(jí)階段，即達(dá)到APOS理論的圖式階段。

四、教學(xué)反思及建議

實(shí)踐表明，APOS理論指導(dǎo)下的數(shù)學(xué)概念教學(xué)能夠有效激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、增強(qiáng)學(xué)生的課堂參與度，深化對(duì)新知識(shí)的理解。APOS理論的四個(gè)階段是緊密聯(lián)系的，教師在教學(xué)過程中切勿將其割裂開來，應(yīng)注意四階段的連續(xù)性;建構(gòu)主義理論認(rèn)為學(xué)習(xí)是學(xué)生積極主動(dòng)地建構(gòu)新知的過程，因此教師應(yīng)在發(fā)揮自身主導(dǎo)作用的同時(shí)，創(chuàng)造條件和時(shí)機(jī)充分發(fā)揮學(xué)生的主體地位。

參考文獻(xiàn)

[1]Mathematical Objects Through the Lens of Two Different Theoretical Perspectives：APOS and OSA[J].Educational Studies in Mathematics，2016，91（1）：107-122.

[2]喬連全.APOS：一種建構(gòu)主義的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)理論[J].全球教育展望，2001，30（3）：16-18.

Teaching Design of Exponential Function Concept Based on APOS Theory

YIN Meng-wei， YUAN Lu

（School of Mathematics and Statistics， Qingdao University， Qingdao， Shandong 266071， China）

Abstract：Concept is the basis of mathematics learning， and APOS theory is a constructivism mathematical learning theory， which divides the learning of mathematical concept into four stages： activity， process， object and schema. Under the guidance of APOS theory， this paper takes exponential function as an example to carry out four stages of teaching design.

Key words：APOS theory; mathematical concept; exponential function; concept teaching