孔凡哲

教育學博士，中南民族大學教育學院副院長、二級教授、博士生導師，中南民族大學教育碩士學位中心主任，湖北民族教育研究中心主任，全國高考數(shù)學命題專家，國家義務教育數(shù)學課程標準研制組核心成員，高中數(shù)學課程標準研制組成員，教育部中學教師專業(yè)標準研制組成員、義務教育質(zhì)量監(jiān)測專家、教育現(xiàn)代化縣級示范區(qū)評估專家、哲學社會科學重大重點項目評審專家;主持完成國家、省部級以上科研項目12項;出版專著47部;先后獲得教育部第七屆高等學?？茖W研究（人文社會科學）優(yōu)秀成果獎著作獎、教育部第四屆全國教育科學優(yōu)秀成果獎著作獎、教育部第五屆全國教育科學優(yōu)秀成果獎著作獎等獎項。

發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學問題的能力、分析和解決問題的能力，簡稱“四能”，是一種復合的數(shù)學能力。培養(yǎng)“四能”是新版《義務教育數(shù)學課程標準》的亮點之一。

在新版《義務教育數(shù)學課程標準》中，“四能”作為課程目標的一部分被明確提出。新中國成立以來，我國中小學數(shù)學教學大綱對數(shù)學課程目標的定位不斷演變發(fā)展，而數(shù)學能力始終是其中的重要內(nèi)容之一，提高學生的數(shù)學能力一直是數(shù)學教學的主要任務。

1963年頒布的《全日制小學算術(shù)教學大綱（草案）》首次明確將數(shù)學能力界定為“正確迅速地進行計算的能力，初步的邏輯推理能力和空間觀念”“正確解答應用題的能力”。1992年《九年義務教育全日制小學數(shù)學教學大綱（試用）》將能力界定為“具有進行整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)四則計算的能力，培養(yǎng)初步的邏輯思維能力和空間觀念，能夠運用所學的知識解決簡單的實際問題”?！读x務教育數(shù)學課程標準》（2011年版）將能力界定為“培養(yǎng)學生的抽象思維和推理能力，創(chuàng)新意識和實踐能力”“發(fā)展學生的數(shù)感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運算能力、推理能力和模型思想”以及“應用意識和創(chuàng)新意識”，在總目標中明確“增強發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力”。新版的《義務教育數(shù)學課程標準》，將能力界定為“獲取數(shù)據(jù)和處理數(shù)據(jù)的能力”“思維能力、實踐能力和創(chuàng)新意識”“應用數(shù)學解決實際問題的能力”“價值觀念、必備品格、關(guān)鍵能力”“數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算和數(shù)據(jù)分析”“交流能力”“從數(shù)學角度發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力”“自主學習的能力”。從“三大能力”（即計算能力、初步的邏輯推理能力、初步的空間觀念）到“六核”（數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算和數(shù)據(jù)分析），從“一能”（應用能力）到“兩能”（分析問題和解決問題的能力）到“四能”（從數(shù)學角度發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力），中國數(shù)學教育在繼承中發(fā)展，在發(fā)展中創(chuàng)新。

一、“四能”的內(nèi)涵及其關(guān)系

（一）含義

所謂“發(fā)現(xiàn)問題的能力”是指學生在數(shù)學學習和問題探究中有困惑，或在顯而易見之中發(fā)現(xiàn)“問題”的能力。其核心是經(jīng)過多方面、多層次、多角度的數(shù)學思維，從看似無關(guān)的表面現(xiàn)象中找到空間形式或數(shù)量關(guān)系方面的某些矛盾或聯(lián)系。

所謂“提出數(shù)學問題”，就是把找到的矛盾或聯(lián)系以數(shù)學問題的形態(tài)，用數(shù)學語言表達出來，簡稱“提出問題”。

發(fā)現(xiàn)問題與提出問題是一對相對獨立又彼此關(guān)聯(lián)的數(shù)學活動，即觀察分析數(shù)學情景，形成問題意識→對問題信息收集整理、分析加工→形成問題表征→選擇恰當?shù)臄?shù)學語言表達數(shù)學問題。其中，提出問題是把發(fā)現(xiàn)問題的內(nèi)容用某種數(shù)學語言形式表達出來，也可以說，提出問題是發(fā)現(xiàn)問題的進一步升華。如果僅僅停留在發(fā)現(xiàn)問題，而尚未提出問題，認識的層次和高度就會缺失。

特別地，這里的“發(fā)現(xiàn)問題”不同于“科學發(fā)現(xiàn)”。科學發(fā)現(xiàn)旨在對未知事物或規(guī)律的揭示，包括事實的發(fā)現(xiàn)和理論的提出，它是科學活動的直接目標和科學進步的主要標志。對中小學生而言，發(fā)現(xiàn)問題更多地指發(fā)現(xiàn)了不曾學習過的新方法、新觀點、新途徑，知道了以前不曾知道的新內(nèi)容。

學生自己發(fā)現(xiàn)和提出問題是創(chuàng)新的基礎(chǔ)，學習發(fā)現(xiàn)問題、提出數(shù)學問題，就構(gòu)成創(chuàng)新意識、創(chuàng)造能力培養(yǎng)的重要內(nèi)容之一。

“分析與解決問題的能力”是指能理解問題的陳述材料，綜合應用所學的數(shù)學內(nèi)容（包括數(shù)學知識技能、思想方法、觀念意識等）解決相應問題的能力。這里的問題不僅包括數(shù)學問題，還包括相關(guān)學科中的問題、社會中的相關(guān)現(xiàn)實問題。

發(fā)現(xiàn)與提出問題的能力、分析與解決問題的能力，其實是運算能力、推理能力、直觀想象能力等多種數(shù)學基本能力的綜合體現(xiàn)。

（二）關(guān)系

愛因斯坦說：“提出一個問題往往比解決一個問題更重要?！狈治雠c解決問題涉及的是已知，而發(fā)現(xiàn)與提出問題涉及的是未知。和分析與解決問題相比，發(fā)現(xiàn)與提出問題更重要，難度也更高。在發(fā)現(xiàn)問題的基礎(chǔ)上提出問題，需要理論抽象與邏輯推理，需要精準的概括，即在錯綜復雜的事物中能抓住問題的核心，進行條理清晰的陳述，并給出解決問題的初步思路。提出問題的關(guān)鍵是能夠認清問題、概括問題。提出好的問題，關(guān)鍵是要具備數(shù)學抽象、數(shù)學建模的能力。

發(fā)現(xiàn)與提出問題、分析與解決問題的綜合能力，有時也稱作問題解決能力。

二、如何培養(yǎng)“四能”

（一）利用“問題解決”整體培養(yǎng)發(fā)現(xiàn)與提出問題、分析與解決問題的能力

《義務教育數(shù)學課程標準》（2011年版）將“問題解決”作為總目標的一個方面，明確要求“初步學會從數(shù)學的角度發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，綜合運用數(shù)學知識解決簡單的實際問題，增強應用意識，提高實踐能力，獲得分析問題和解決問題的一些基本方法，體驗解決問題方法的多樣性，發(fā)展創(chuàng)新意識，學會與他人合作交流，初步形成評價與反思的意識”。其核心是“培養(yǎng)發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力”，即問題解決能力。

新版《義務教育數(shù)學課程標準》和《普通高中數(shù)學課程標準》（2017年版）都明確提出，“提高從數(shù)學角度發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力”。

無論是義務教育階段，還是高中階段，發(fā)現(xiàn)與提出問題、分析與解決問題的能力培養(yǎng)，都需要整體規(guī)劃，體現(xiàn)在概念的生成、法則公式的形成和定理的確認之中。

數(shù)學探究、數(shù)學建模、數(shù)學文化作為貫穿整個數(shù)學課程的重要活動，滲透或安排在數(shù)學課程的每個內(nèi)容模塊或?qū)ｎ}中，既是與此能力培養(yǎng)的一個呼應，又是希望強調(diào)如何引導學生去發(fā)現(xiàn)問題、提出問題。在教學中，我們可以按照不同的層次進行。例如：可以改變結(jié)論的條件、結(jié)論，或是對結(jié)論推廣;可以在不同維度之間類比，或者從一維到多維的推廣;可以是帶著任務的實驗操作，也可以是針對某個問題進行數(shù)學建?；顒?等等。教材編寫、教案設計中必須關(guān)注問題的提出，為學生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題留有空間。

特別地，問題驅(qū)動式教學是培養(yǎng)發(fā)現(xiàn)與提出問題、分析與解決問題的能力的有效途徑。

問題驅(qū)動式教學實際上是將數(shù)學知識、技能、經(jīng)驗、思想、方法等新知的學習，融入一個有趣的問題解決的過程之中，通過“問題情境→建立模型→解釋應用→拓展反思”的基本環(huán)節(jié)，誘發(fā)學生在有趣的、有個人意義的問題串之中，自覺地思考其中的問題，探索其“謎底”。隨著“謎底”的揭曉，新概念、公式、法則、原理、觀念、思維方法等新知自然“登場”，爾后在“解釋應用”之中，新學習的內(nèi)容得到鞏固、強化?！巴卣狗此肌眲t將新舊內(nèi)容更好地融為一體。

（二）專項培養(yǎng)發(fā)現(xiàn)與提出問題的能力

培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)與提出問題的能力，需要從質(zhì)疑意識、問題意識培養(yǎng)、創(chuàng)設良好氛圍與恰當?shù)膯栴}情境等方面開展。

1.引導學生敢于質(zhì)疑，有理有據(jù)地質(zhì)疑

創(chuàng)新始于問題，問題往往產(chǎn)生于質(zhì)疑。質(zhì)疑是探索知識、發(fā)現(xiàn)問題的開始，是獲得真知的必要步驟。沒有質(zhì)疑就沒有創(chuàng)新，沒有反思就沒有提高。如，兩位數(shù)乘法的常規(guī)鞏固練習中，教師出示了“比一比，看誰算得快”系列習題：即12×11，13×23，15×38，45×11，22×63。這些練習僅僅是為了強化熟練技巧而已，有簡單重復之嫌。如果將這些習題修改為12×11、13×11，45×11、11×62，11×67、11×78的形式，并提出“計算并觀察各式所得的結(jié)果，你能發(fā)現(xiàn)規(guī)律并嘗試驗證你的猜測嗎？”的要求，這組練習題就變成了螺旋上升、呈梯度深化的精心安排。下面，我們針對這組題做具體分析。

從數(shù)學角度發(fā)現(xiàn)與提出問題：從12×11=132，13×11=143 中，學生似乎可以得出“乘積是三位數(shù)，百位都是1，十位數(shù)字是兩個因數(shù)數(shù)字之和”的猜測。

分析與解決問題：當學生再分析45×11=495后，往往會修改自己的猜測。部分學生馬上得出“兩邊一拉，中間一加”的猜測，即“將因數(shù)45的兩位數(shù)字分開，中間放上這兩個數(shù)字之和9，得到的數(shù)字495就是乘積”。同時，學生還可以用11×62（或者自編題目，如11×27）驗證自己的發(fā)現(xiàn)，即先猜11×62是多少，即682，再用列豎式計算的方法驗證自己的猜想。一旦嘗試計算11×67、11×78，部分學生會發(fā)現(xiàn)，剛才的“規(guī)律”不總是成立，必須修改。經(jīng)過一番思考、討論，學生認識到：一個數(shù)和11相乘，如果不是11的那個因數(shù)的兩個數(shù)位上的數(shù)字之和大于10，需要向百位進一，并把相加結(jié)果的個位數(shù)字寫在兩個因數(shù)之間，其他的規(guī)律不變。如，11×67，6、7數(shù)字之和為13，結(jié)果不是6135，而是737。

這種設計的真正意圖在于，在鞏固“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”基礎(chǔ)知識、基本技能的過程中，讓學生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)與提出問題、分析與解決問題的過程，培養(yǎng)學生的“四能”。

2.培養(yǎng)學生的問題意識

所謂問題意識是指學生在認識活動中意識到一些難以解決的問題，并產(chǎn)生一種懷疑、困惑、探究的心理狀態(tài)。這種狀態(tài)可以驅(qū)使學生積極思維，不斷提出問題和積極解決問題。

讓學生認識到問題的存在，并有意識地培養(yǎng)學生的問題意識，是發(fā)現(xiàn)與提出問題能力培養(yǎng)的非常重要的一個方面。教師應當整合學習過程中可利用的“質(zhì)疑點”，創(chuàng)設合適的學習時機，引導質(zhì)疑，鼓勵質(zhì)疑，培養(yǎng)學生的問題意識。

3.設置恰當?shù)膯栴}情境，營造良好的氛圍

數(shù)學研究從問題開始，而問題總是依托于某種數(shù)學情境，離開了數(shù)學情境，數(shù)學問題的產(chǎn)生就失去了肥沃的土壤。有效的數(shù)學情境能起到引趣、激疑、誘思的作用。

例如，某版本的數(shù)學課程標準實驗教科書上有一幅彩圖：一塊綠茵茵的草地中間有一條小河，河上有一座小橋，草地上零星地分散著幾棵小樹，還有一些小白兔正在吃草，小白兔是一對一對（兩只兩只）在一起的，一共有6對。這段情境設計的目的在于導入“6對小白兔蘊含了乘法2×6”這一數(shù)學內(nèi)容，但是，如果教學處理僅僅停留在情境的襯托物（綠茵茵的草地、小橋、小樹、小河等吸引了學生的注意力，使得學生的注意力遲遲不能轉(zhuǎn)移到小白兔上）上，教師的引導不能盡快步入“2×6”的正題上來，對這段教學內(nèi)容的處理就是失敗的。其實，這個情境可以處理為：你能發(fā)現(xiàn)什么問題？你能提出幾個數(shù)學問題嗎？你能分析解決大家提出的數(shù)學問題嗎？

一般地，高質(zhì)量的數(shù)學問題情境滿足三個基本條件：首先，高質(zhì)量的問題情境與學生的生活經(jīng)驗有關(guān)，適宜充當數(shù)學課程內(nèi)容與學生已有經(jīng)驗之間的接口和橋梁。其次，能成為學生運用所學內(nèi)容做出創(chuàng)新與發(fā)現(xiàn)的載體。第三，幫助學生完成從現(xiàn)實內(nèi)容到數(shù)學內(nèi)容的抽象或從數(shù)學內(nèi)容到現(xiàn)實內(nèi)容的建模。

（三）定向培養(yǎng)分析與解決問題的能力

培養(yǎng)分析與解決問題的能力，一直是我國數(shù)學教育的傳統(tǒng)，需要融入義務教育數(shù)學課程教學的每個階段。

解決問題的思維活動開始于問題情境，在分析問題的已知與未知條件，明確問題的意義和目的狀態(tài)后，就進入了轉(zhuǎn)換和尋求解決途徑的階段。所謂轉(zhuǎn)換，即變換問題，把問題變換為自己的語言和易于解決的形式，尋求問題解決的途徑并求得解答。它并不是簡單利用已知信息，而是把各種信息進行加工和改造，通過對解決問題的各種可能途徑的比較與篩選，確定出問題解決的方法并求得問題的解答。最后，還需要對解決問題的途徑和問題的解答進行檢驗、反思，這個過程正是分析與解決問題的過程。提升分析與解決問題的能力，必須從提升審題能力、合理選擇使用分析與解決問題的一些基本方法、提升數(shù)學建模能力、體驗解決問題方法的多樣性等多方面綜合培養(yǎng)。

責任編輯 ?姜楚華