楊慧娟，郭蓉蓉，孟 夢(mèng)，王晶瑩

中韓小學(xué)數(shù)學(xué)教材中分?jǐn)?shù)除法的比較研究

楊慧娟1，郭蓉蓉2，孟 夢(mèng)3，王晶瑩1

（1．青島大學(xué) 師范學(xué)院，山東 青島 266000；2．青島市第二實(shí)驗(yàn)小學(xué)，山東 青島 266000；3．中國(guó)教育科學(xué)研究院，北京 100088）

分?jǐn)?shù)除法是小學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容．對(duì)比中韓兩國(guó)的課程標(biāo)準(zhǔn)，發(fā)現(xiàn)兩國(guó)都注重算理：韓國(guó)要求掌握帶分?jǐn)?shù)的計(jì)算，中國(guó)則注重含分?jǐn)?shù)除法的混合運(yùn)算與應(yīng)用．從宏觀與微觀比較兩國(guó)的數(shù)學(xué)教材，在結(jié)構(gòu)編排方面，兩國(guó)都注重分?jǐn)?shù)除法的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)與循序漸進(jìn)，中國(guó)更注重內(nèi)容的縱向聯(lián)系與應(yīng)用，韓國(guó)突顯螺旋上升．針對(duì)具體的教學(xué)內(nèi)容，兩國(guó)都注重設(shè)置情境引入課題；注重以幾何直觀幫助學(xué)生理解分?jǐn)?shù)除法算理；中國(guó)更為抽象概括，韓國(guó)更看重算法的多樣化和發(fā)揮教材的“學(xué)材”功能．

小學(xué)數(shù)學(xué)；教材；分?jǐn)?shù)除法

1 問(wèn)題提出

教材（教科書(shū)）是課程的重要載體，也是課程實(shí)施過(guò)程中教師教學(xué)和學(xué)生學(xué)習(xí)的重要資源與依據(jù)，“以教材為依據(jù)”已經(jīng)成為“教、學(xué)、研”的一個(gè)重要特征．隨著時(shí)代的發(fā)展，教材的功能也在發(fā)生變化，如數(shù)學(xué)教材正由靜態(tài)的文本悄悄地具有了動(dòng)態(tài)屬性，它影響著教什么和如何教，學(xué)什么和如何學(xué)，還兼有隱性地承載與傳播社會(huì)文化價(jià)值的功能．國(guó)家教材局的成立，進(jìn)一步表明教材的編撰對(duì)于文化傳播、落實(shí)課程標(biāo)準(zhǔn)、明確教學(xué)內(nèi)容、提升學(xué)習(xí)品質(zhì)等具有至關(guān)重要的作用．

小學(xué)數(shù)學(xué)中很大一部分為“數(shù)及其運(yùn)算”，而其中分?jǐn)?shù)的出現(xiàn)不僅是“數(shù)”發(fā)展的第一次擴(kuò)展，也是小學(xué)生學(xué)習(xí)“數(shù)”過(guò)程的一個(gè)飛躍．“研究表明，分?jǐn)?shù)概念的理解是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)與難點(diǎn)”[1-4]，在分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算的算理和算法上，加、減、乘相對(duì)容易理解，分?jǐn)?shù)除法跟整數(shù)除法有相同之處，又不盡相同，所以在概念和運(yùn)算的學(xué)習(xí)過(guò)程中，無(wú)法將已有的經(jīng)驗(yàn)直接類(lèi)比，因而分?jǐn)?shù)除法又是分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)中的一個(gè)門(mén)檻，在理解分?jǐn)?shù)概念的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步理解分?jǐn)?shù)除法的算理和培養(yǎng)相應(yīng)的運(yùn)算能力是解決有關(guān)分?jǐn)?shù)問(wèn)題（如含分?jǐn)?shù)的方程）以及理解分式計(jì)算的重要基礎(chǔ)．

分?jǐn)?shù)除法是小學(xué)數(shù)學(xué)中教師最難教、學(xué)生最難學(xué)的內(nèi)容之一，難就難在學(xué)生對(duì)“某數(shù)除以一個(gè)分?jǐn)?shù)等于某數(shù)乘該分?jǐn)?shù)的倒數(shù)”的算理不容易理解[5]．國(guó)外的相關(guān)研究也表明，不管對(duì)老師還是對(duì)學(xué)生而言，分?jǐn)?shù)除法都是較為復(fù)雜的內(nèi)容[6]．雖然僅就算法程序而言，它是不難的，但這一主題在概念上是豐富和困難的，因?yàn)樗暮x需要通過(guò)它與其它數(shù)學(xué)知識(shí)、各種表示形式或現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系來(lái)解釋[7]．在教材的編排方面，張平等比較了大陸（蘇教版）和臺(tái)灣（康軒版）小學(xué)數(shù)學(xué)教材中分?jǐn)?shù)除法部分，發(fā)現(xiàn)兩者在編排的整體結(jié)構(gòu)和理念上都有差異，并提出“在教材編寫(xiě)以及教學(xué)實(shí)踐中需關(guān)注學(xué)生概念的理解，而非聚焦于規(guī)則的記憶和答案的獲得”[8]．Yeping Li等從宏觀和微觀方面關(guān)注并比較了中、日、美3個(gè)國(guó)家教材中的分?jǐn)?shù)除法概念引入、內(nèi)容組織和例題習(xí)題等的呈現(xiàn)方式，研究發(fā)現(xiàn)與美國(guó)不同，中國(guó)和日本的教材在分?jǐn)?shù)除法的概念化和組織結(jié)構(gòu)上相似；并進(jìn)一步指出，教育差異會(huì)體現(xiàn)在數(shù)學(xué)教材中，而這種差異也為進(jìn)一步探討跨文化教材對(duì)教與學(xué)的影響提供了基礎(chǔ)[9]．

新一輪的數(shù)學(xué)課程改革中，理解算理是一項(xiàng)重要目標(biāo)，理解了算理才能理解算法的真正意義．對(duì)于教師不容易教，學(xué)生不容易理解的算理內(nèi)容教學(xué)，應(yīng)該成為教學(xué)研究的重點(diǎn)．尤其對(duì)于分?jǐn)?shù)除法，“對(duì)這一內(nèi)容（分?jǐn)?shù)除法）的關(guān)注，應(yīng)該會(huì)給我們提供一個(gè)有趣的機(jī)會(huì)，以便了解在不同的教科書(shū)中組織教學(xué)內(nèi)容時(shí)可能采取的方法”[9]．

韓國(guó)作為中國(guó)的友好鄰邦，同屬亞洲文化圈，但其社會(huì)文化、環(huán)境以及教育的很多理念又與中國(guó)不同，孔凡哲的研究得到韓國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)教科書(shū)編寫(xiě)通常采用的基本體例是，由“在實(shí)際生活中認(rèn)識(shí)”“活動(dòng)”“約定”“解題的方法”“熟記”“趣味游戲”“問(wèn)題解決”“生活應(yīng)用”等模塊多次反復(fù)拼排而成[10]．蔡慶有等人的對(duì)比研究表明在四年級(jí)“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域，背景題占比中國(guó)顯著高于日韓，習(xí)題行為要求中國(guó)顯著高于韓國(guó)，即韓國(guó)的模仿題占比更高[11]．這些研究從不同側(cè)面反應(yīng)了韓國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)教材的一些特色與內(nèi)容．而對(duì)于小學(xué)數(shù)學(xué)中分?jǐn)?shù)除法這一“難教難學(xué)”的內(nèi)容，研究發(fā)現(xiàn)兩國(guó)的課程標(biāo)準(zhǔn)有很大差異，因而有必要進(jìn)一步對(duì)兩國(guó)教材中分?jǐn)?shù)除法的內(nèi)容、組織編排、呈現(xiàn)形式等進(jìn)行比較．

2 研究方法與工具選取

研究采用文本分析法，選取了中韓兩國(guó)的小學(xué)數(shù)學(xué)教材進(jìn)行內(nèi)容分析比較．中國(guó)教材選取由人民教育出版社2014年3月出版的小學(xué)數(shù)學(xué)六年級(jí)上冊(cè)（簡(jiǎn)稱(chēng)“人教版”）；韓國(guó)教材選取由韓國(guó)科學(xué)創(chuàng)意財(cái)團(tuán)編撰、韓國(guó)國(guó)立國(guó)語(yǔ)院語(yǔ)言規(guī)范編審、2015年8月出版的數(shù)學(xué)5-2，2016年3月出版的數(shù)學(xué)6-1（簡(jiǎn)稱(chēng)“科創(chuàng)版”），這兩套教材是兩國(guó)較新出版并使用范圍較廣，具有一定的權(quán)威性與代表性．

首先比較兩國(guó)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中對(duì)分?jǐn)?shù)除法內(nèi)容的要求，在此基礎(chǔ)上從宏觀和微觀層面對(duì)兩國(guó)教科書(shū)進(jìn)行了比較．宏觀層面，主要涉及內(nèi)容的年級(jí)分布與整體結(jié)構(gòu)特征．

“一般來(lái)說(shuō)，教材的知識(shí)編排方式、內(nèi)容呈現(xiàn)形式、習(xí)題數(shù)量與分布、插圖風(fēng)格、課堂活動(dòng)設(shè)計(jì)等都是體現(xiàn)教材特色的重要方面”[12]，教材內(nèi)容的編排與呈現(xiàn)方式直接影響學(xué)生對(duì)內(nèi)容的認(rèn)知，所以微觀層面，研究剖析教材，對(duì)教材中分?jǐn)?shù)除法內(nèi)容的編排方式和內(nèi)容呈現(xiàn)形式進(jìn)行了比較研究．通過(guò)比較并非分辨孰優(yōu)孰劣，而是引發(fā)思考，批判和吸收國(guó)外的數(shù)學(xué)課程經(jīng)驗(yàn)，以期能為教材編寫(xiě)帶來(lái)有益的啟示，進(jìn)一步加強(qiáng)中國(guó)的教材建設(shè)等．

3 研究結(jié)果與討論

3.1 中韓數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中分?jǐn)?shù)除法內(nèi)容的比較與討論

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011）》（簡(jiǎn)稱(chēng)《中課標(biāo)》）的內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)沒(méi)有具體分年級(jí)表述，第二學(xué)段“數(shù)與代數(shù)”中，在“數(shù)的運(yùn)算”部分對(duì)分?jǐn)?shù)的四則運(yùn)算給出要求：能分別進(jìn)行簡(jiǎn)單的小數(shù)和分?jǐn)?shù)（不含帶分?jǐn)?shù)）的加、減、乘、除運(yùn)算及混合運(yùn)算（以?xún)刹綖橹?，不超過(guò)三步）．能解決小數(shù)、分?jǐn)?shù)和百分?jǐn)?shù)的簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題[13]．

通過(guò)比較發(fā)現(xiàn)，在課程目標(biāo)的要求上，《韓課標(biāo)》對(duì)分?jǐn)?shù)除法教學(xué)目標(biāo)的描述更為詳細(xì)清晰，并明確了應(yīng)該理解算理．《中課標(biāo)》雖然沒(méi)有明確指出理解算理，但在數(shù)學(xué)課程改革中，幫助學(xué)生理解算理已是計(jì)算教學(xué)的重點(diǎn)．

從目標(biāo)的描述上看，《中課標(biāo)》兩次提到“簡(jiǎn)單”，一是進(jìn)行簡(jiǎn)單的運(yùn)算；二是進(jìn)行簡(jiǎn)單的應(yīng)用，《韓課標(biāo)》的描述則著重于“理解”．在具體“分?jǐn)?shù)”的要求上，《中課標(biāo)》明確要求“不含帶分?jǐn)?shù)”，韓國(guó)沒(méi)有這一要求，所以從目標(biāo)上看，對(duì)分?jǐn)?shù)類(lèi)型的要求，《韓課標(biāo)》難度顯然高于《中課標(biāo)》；韓國(guó)沒(méi)有提到“混合運(yùn)算”和分?jǐn)?shù)除法的“應(yīng)用”，《中課標(biāo)》對(duì)“混合運(yùn)算”和“應(yīng)用”提出了要求，所以在運(yùn)算步驟、應(yīng)用廣度和深度上，中國(guó)也強(qiáng)于韓國(guó)．

3.2 教材中分?jǐn)?shù)除法編排方式（組織結(jié)構(gòu)）的比較與討論

數(shù)學(xué)教材的編排方式應(yīng)該尋求知識(shí)體系、邏輯順序和心理生成的統(tǒng)一．分?jǐn)?shù)除法的學(xué)習(xí)是分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算的最后一項(xiàng)，也是后面運(yùn)用分?jǐn)?shù)及其運(yùn)算的轉(zhuǎn)折，在知識(shí)的整體結(jié)構(gòu)和邏輯體系上起著承上啟下的關(guān)鍵價(jià)值．

3.2.1 兩版本“分?jǐn)?shù)除法”的組織分布與結(jié)構(gòu)特征

人教版中分?jǐn)?shù)的除法全部集中在六年級(jí)上冊(cè)（六上），科創(chuàng)版分布在數(shù)學(xué)5-2（五下）和6-1（六上）兩冊(cè)中，具體內(nèi)容如表1．

表1 中韓“分?jǐn)?shù)除法”內(nèi)容分布

從教材的整體安排可以看出，人教版分?jǐn)?shù)除法一章共有8小節(jié)，科創(chuàng)版兩章共有11小節(jié)，兩版本這部分知識(shí)的結(jié)構(gòu)關(guān)系如圖1．

編排結(jié)構(gòu)圖可以看出，兩國(guó)的編排方式有很大不同，但教學(xué)內(nèi)容均與課程標(biāo)準(zhǔn)相吻合，即人教版分運(yùn)算和應(yīng)用兩部分，科創(chuàng)版將分?jǐn)?shù)類(lèi)型進(jìn)行了分類(lèi)，并特別有關(guān)于帶分?jǐn)?shù)的除法運(yùn)算．

3.2.2 比較討論

（1）兩版本都注重了學(xué)習(xí)基礎(chǔ)與循序漸進(jìn)．

圖1 人教版分?jǐn)?shù)除法編排結(jié)構(gòu)

圖2 科創(chuàng)版分?jǐn)?shù)除法編排結(jié)構(gòu)

整體而言，兩版本都是以“分?jǐn)?shù)的除法意義”和“倒數(shù)”為基礎(chǔ)（雖然科創(chuàng)版沒(méi)有提出倒數(shù)概念），對(duì)分?jǐn)?shù)除法的理解是從被除數(shù)是分?jǐn)?shù)，除數(shù)是自然數(shù)開(kāi)始，進(jìn)而過(guò)渡到被除數(shù)和除數(shù)都是分?jǐn)?shù)，不管是被除數(shù)還是除數(shù)，分?jǐn)?shù)都是從簡(jiǎn)到繁，整體設(shè)計(jì)注重了學(xué)生的心理基礎(chǔ)與生成．

（2）韓國(guó)科創(chuàng)版突顯螺旋上升理念．

在教材編排方式上，螺旋上升與直線上升各有利弊，不同版本的教材有不同的編排理念與方式．當(dāng)前大家普遍認(rèn)同的是螺旋上升模式，尤其是對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)教材從整體內(nèi)容安排來(lái)看，中國(guó)目前也提倡螺旋上升模式．但如果把分?jǐn)?shù)除法作為一個(gè)知識(shí)體系看，無(wú)疑人教版偏重的是直線上升式編排，科創(chuàng)版偏重的是螺旋上升式編排．所以在集中程度上，科創(chuàng)版將分?jǐn)?shù)除法的知識(shí)分散在兩冊(cè)中，較好地體現(xiàn)了“螺旋式上升”這一課程教材設(shè)計(jì)的基本原則[10]．相比之下，人教版更為集中，分?jǐn)?shù)除法安排在一章中，完成了由基礎(chǔ)到新知識(shí)再到應(yīng)用的過(guò)程．

（3）中國(guó)人教版更注重知識(shí)的縱向應(yīng)用．

從兩版本的內(nèi)容組織上看，人教版簡(jiǎn)單直接，更注重滲透數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用意識(shí)，尤其是分?jǐn)?shù)除法在方程之后學(xué)習(xí)，所以這部分知識(shí)自然地與方程聯(lián)系起來(lái)．如在學(xué)習(xí)了分?jǐn)?shù)除法的運(yùn)算之后，教材安排有3小節(jié)列方程解應(yīng)用題，在解方程的過(guò)程中要運(yùn)用分?jǐn)?shù)除法的運(yùn)算法則，這既是“無(wú)處不用數(shù)學(xué)”的體現(xiàn)，也是中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)思想的體現(xiàn)．相比之下科創(chuàng)版的這兩章則只講了分?jǐn)?shù)除法的算理與算法，并沒(méi)有涉及應(yīng)用方面．

3.3 教學(xué)內(nèi)容呈現(xiàn)形式的比較與討論

知識(shí)內(nèi)容以什么樣的方式呈現(xiàn)于教材，會(huì)直接影響教師的教學(xué)與學(xué)生的學(xué)習(xí)，不同版本教材內(nèi)容的呈現(xiàn)形式也是教材比較研究的重要方面．中韓兩國(guó)教材的分?jǐn)?shù)除法部分在內(nèi)容的呈現(xiàn)上有共同點(diǎn)，同時(shí)也各有特色．

3.3.1 兩版本具體教學(xué)內(nèi)容呈現(xiàn)舉例

由上述圖表可以看出，人教版在六上的分?jǐn)?shù)除法一章有兩個(gè)重點(diǎn)：一是分?jǐn)?shù)除法的運(yùn)算（算理）；二是在解決問(wèn)題（解方程）中應(yīng)用分?jǐn)?shù)除法．

科創(chuàng)版教材共有11小節(jié)來(lái)講授分?jǐn)?shù)除法，第1、2小節(jié)為基礎(chǔ)，后面9節(jié)均為含有分?jǐn)?shù)的除法，在此，隨機(jī)選擇一節(jié)內(nèi)容展示．如科創(chuàng)版6-1第2章第4節(jié)，內(nèi)容為異分母分?jǐn)?shù)的除法．如圖3所示．

圖3 科創(chuàng)版一節(jié)分?jǐn)?shù)除法內(nèi)容

3.3.2 比較討論

（1）兩版本都注重情境引入，情境各具特色．

適當(dāng)?shù)那榫衬軌驇椭鷮W(xué)生理解正在學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)外部世界的關(guān)系，并迅速帶領(lǐng)學(xué)生走進(jìn)知識(shí)殿堂，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生開(kāi)展數(shù)學(xué)思考、解決數(shù)學(xué)問(wèn)題．研究發(fā)現(xiàn)兩版本都非常注重情境引入．人教版從第3小節(jié)開(kāi)始，每一節(jié)都從一個(gè)設(shè)定的情境引出該節(jié)課要學(xué)習(xí)的知識(shí)；科創(chuàng)版幾乎每一小節(jié)都從一個(gè)生動(dòng)活潑的情境或是兩個(gè)小學(xué)生的對(duì)話(huà)開(kāi)始，提出該節(jié)課要解決的問(wèn)題．

在情境素材的選取上，人教版通常以一個(gè)現(xiàn)實(shí)情境開(kāi)始，如該章第4小節(jié)，是一個(gè)大夫與小學(xué)生的對(duì)話(huà)：“每次吃半片，每天吃3次”，“這盒藥共有12片，可以吃幾天？”情境來(lái)源于現(xiàn)實(shí)，有助于讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到現(xiàn)實(shí)生活中的數(shù)學(xué)．

科創(chuàng)版的情境則一般不拘泥于現(xiàn)實(shí)，有的多了幾分生動(dòng)，有的則多了幾分?jǐn)?shù)學(xué)味道．如在圖3中，給出的情境是將一根長(zhǎng)棍子做成魔法棒，另外還有小朋友乘坐魔法掃帚到學(xué)校等情境．另如5-2第三章第1節(jié)的內(nèi)容是分?jǐn)?shù)除以自然數(shù)與分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的關(guān)系，教材給出的情境問(wèn)題是：如果最大圓的直徑是1米，那么最小圓的直徑是多少米？如圖4．

圖4 科創(chuàng)版引入情境

這里通過(guò)融會(huì)數(shù)學(xué)中若干個(gè)基本問(wèn)題，使得科幻情境中的數(shù)學(xué)味道更加豐富．雖然學(xué)生還沒(méi)有深入學(xué)習(xí)圓的有關(guān)知識(shí)，但是從圓的基本性質(zhì)，以及直觀觀察圖形之間的關(guān)系，學(xué)生則容易理解其中的分?jǐn)?shù)問(wèn)題．

（2）兩版本都注重利用幾何直觀幫助學(xué)生理解算理．

“數(shù)缺形時(shí)少直觀”，幾何直觀是國(guó)際數(shù)學(xué)教育界的公認(rèn)理念，也是《中課標(biāo)》中的10個(gè)核心概念之一，同時(shí)，在中國(guó)《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017版）》中，直觀想象也是6個(gè)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一．不管是幾何直觀還是直觀想象，都注重建立數(shù)與形的聯(lián)系，利用幾何圖形描述問(wèn)題，借助幾何直觀理解抽象的算理，這是解決問(wèn)題的有效手段之一．

在分?jǐn)?shù)知識(shí)的教學(xué)中，利用直觀圖形幫助理解分?jǐn)?shù)的概念、算理等已是大家認(rèn)可的方法．中韓兩國(guó)的教學(xué)內(nèi)容中，注重運(yùn)用幾何圖形來(lái)幫助學(xué)生理解分?jǐn)?shù)除法．如人教版從分割長(zhǎng)方形開(kāi)始，到運(yùn)用線段圖來(lái)理解題意并幫助列方程、解方程．

（3）中國(guó)人教版更為概括和抽象．

相比較而言，科創(chuàng)版則用了11小節(jié)來(lái)講分?jǐn)?shù)的除法，11小節(jié)的區(qū)別主要體現(xiàn)與被除數(shù)和除數(shù)中分?jǐn)?shù)的類(lèi)型．由此可見(jiàn)，在內(nèi)容的深度、抽象性和概括性上，人教版更為明顯．

（4）韓國(guó)科創(chuàng)版更注重算法多樣化．

圖5 科創(chuàng)版學(xué)生活動(dòng)

教材在完成了第一個(gè)問(wèn)題后，總結(jié)給出了3種運(yùn)算思路．思路一在中國(guó)的教材中并沒(méi)有提到，文[5]提出在教學(xué)中可以采用這種思路，同時(shí)也說(shuō)明這種思路有一定的局限性，但從培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的角度講，對(duì)分?jǐn)?shù)除法運(yùn)算規(guī)則的推導(dǎo)不失為一種很好的思考方式．在沒(méi)有認(rèn)識(shí)到“除以一個(gè)數(shù)等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)”之前，從算理上講，分?jǐn)?shù)除法——除數(shù)或被除數(shù)是分?jǐn)?shù)，最終必然要將兩者化為整數(shù)進(jìn)行計(jì)算[16]．思路二和思路三的區(qū)別在約分的順序上．教材中對(duì)這3種運(yùn)算思路的總結(jié)，實(shí)際上也是對(duì)這一章或者分?jǐn)?shù)除法的一個(gè)總結(jié)，最后給出提示思考：請(qǐng)?jiān)谏厦?種計(jì)算方法中找出你覺(jué)得最簡(jiǎn)單快捷的一個(gè)，并說(shuō)出理由．

由最后的一個(gè)思考提示可以看出，教材并不給學(xué)生規(guī)定一定要用哪種計(jì)算方法（思路），而是給學(xué)生提供多種選擇，讓學(xué)生主動(dòng)納入自我已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)．這種提倡算法多樣化的思想也表現(xiàn)在韓國(guó)的數(shù)學(xué)課堂上，“會(huì)鼓勵(lì)學(xué)生利用多元表征或多種方法解決問(wèn)題，讓他們?cè)谌嗤瑢W(xué)面前，呈現(xiàn)自己的解決辦法，鼓勵(lì)全班同學(xué)積極參與討論，討論不同方法之間的差異和聯(lián)系或者最優(yōu)方法的選擇．課堂小結(jié)時(shí)，再次強(qiáng)調(diào)這些不同方法．整個(gè)過(guò)程中，教師不以方法的優(yōu)劣來(lái)評(píng)價(jià)學(xué)生．采用多種方法解決問(wèn)題，已成為韓國(guó)數(shù)學(xué)課堂普遍的社會(huì)規(guī)則”[17]．由此可見(jiàn)，從教材到課堂，注重算法多樣化是韓國(guó)數(shù)學(xué)教育的特點(diǎn)．

（5）韓國(guó)科創(chuàng)版教材更注意發(fā)揮“學(xué)材”的功能．

科創(chuàng)版教材繼承了韓國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)教材編寫(xiě)的理念，即教材也是學(xué)生學(xué)習(xí)的學(xué)材[10]．如在圖3中，3個(gè)活動(dòng)分別給出了計(jì)算思路，值得注意的是教材中每一步都不給出答案，以填空的方式幫助學(xué)生理解分?jǐn)?shù)除法的意義，從引導(dǎo)學(xué)生的思考出發(fā)，讓學(xué)生自己完成，最后在理解的基礎(chǔ)上，歸納運(yùn)算法則（兩章分?jǐn)?shù)除法的內(nèi)容均為如此）．這種方式在中國(guó)的教材中并不多見(jiàn)．這并非是說(shuō)中國(guó)不注重學(xué)材，相反，中國(guó)不同版本的教材幾乎都配有相應(yīng)的課堂練習(xí)冊(cè)（同步練習(xí)冊(cè)等），以至于英國(guó)在引進(jìn)上海教材的同時(shí)也引進(jìn)了相應(yīng)的“一課一練”．從世界范圍來(lái)看，教材的功能正在變成學(xué)材，呈現(xiàn)出從教的方面向?qū)W的方面轉(zhuǎn)化的趨勢(shì)，指向了教師的課堂教學(xué)實(shí)踐，更是明確指向了學(xué)的主體——學(xué)生，這實(shí)際上也是教材滿(mǎn)足數(shù)學(xué)課堂教學(xué)實(shí)踐需要的一大轉(zhuǎn)向[18]．科創(chuàng)版將教材與學(xué)材融為一體，也是教材功能轉(zhuǎn)變的體現(xiàn)．

4 結(jié)語(yǔ)

教材中的其它內(nèi)容，如章末練習(xí)題、章頭圖等，兩個(gè)版本也呈現(xiàn)不同的特點(diǎn)，如科創(chuàng)版中的章末練習(xí)模塊多樣（故事、游戲等），章頭圖的設(shè)計(jì)、篇幅以及內(nèi)涵上呈現(xiàn)出的開(kāi)放性與多樣化都值得借鑒．

科學(xué)知識(shí)本無(wú)國(guó)界，雖為東亞鄰國(guó)，且具有相同的文化淵源，但由于國(guó)情不同，人教版的高效率、短平快，科創(chuàng)版的小步走、慢節(jié)奏都體現(xiàn)了中韓小學(xué)數(shù)學(xué)教材在分?jǐn)?shù)除法內(nèi)容處理上的特色．早有研究表明，“在涉及到整數(shù)的乘、除運(yùn)算以及含有分?jǐn)?shù)、小數(shù)的基本運(yùn)算能力上來(lái)看，韓國(guó)學(xué)生的正確率略高于中國(guó)學(xué)生”[19]．無(wú)獨(dú)有偶，在趙冬臣等關(guān)于職前小學(xué)數(shù)學(xué)教師教學(xué)知識(shí)（分?jǐn)?shù)除法）的調(diào)查研究中發(fā)現(xiàn)，“韓國(guó)師范生在多數(shù)題目上的得分率都明顯高于中國(guó)師范生；理解算理的韓國(guó)師范生的比例高于中國(guó)師范生；使用直觀表征的師范生的比例高于中國(guó)師范生”[20-32]．這些研究結(jié)果以及兩國(guó)教材中對(duì)分?jǐn)?shù)除法截然不同的處理方式引發(fā)進(jìn)一步深思，教材的編排對(duì)學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)及培養(yǎng)其運(yùn)算能力的影響有多大；更為具體的問(wèn)題如小學(xué)六年級(jí)是否可以接受帶分?jǐn)?shù)與相關(guān)運(yùn)算以及帶分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)的意義與價(jià)值；在分?jǐn)?shù)的乘除法學(xué)習(xí)中，是否有必要將分?jǐn)?shù)分類(lèi)（真分?jǐn)?shù)、假分?jǐn)?shù)、帶分?jǐn)?shù)）進(jìn)行處理；將分?jǐn)?shù)除法轉(zhuǎn)變?yōu)檎麛?shù)除法（通分法）的弊端到底在哪里；九章算術(shù)中的通分術(shù)能否帶給學(xué)生新的學(xué)習(xí)感悟？隨著社會(huì)與時(shí)代的前進(jìn)，如何進(jìn)一步促進(jìn)教材的多樣化與開(kāi)放性發(fā)展，使之更有助于師生開(kāi)展數(shù)學(xué)教學(xué)與自主探究．這些問(wèn)題也促使廣大研究者審視教材編寫(xiě)中如何做到“學(xué)科邏輯與心理邏輯的均衡統(tǒng)一”“知識(shí)的學(xué)科性與文化性的均衡統(tǒng)一”“時(shí)代開(kāi)放性與數(shù)學(xué)傳統(tǒng)性的均衡統(tǒng)一”“國(guó)家特色與世界主流觀念的均衡統(tǒng)一”[12]，這樣才能推進(jìn)教材的良性有序發(fā)展．

致謝：感謝中國(guó)海洋大學(xué)外國(guó)語(yǔ)學(xué)院黃大華教授的翻譯指導(dǎo)與幫助．

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[26] 李化俠．學(xué)習(xí)進(jìn)階視角下小學(xué)生統(tǒng)計(jì)思維發(fā)展水平研究[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2019，28（6）：55-57．

[27] 葉育樞．香港小學(xué)數(shù)學(xué)課程評(píng)價(jià)：“理念”“方式”與“啟示”[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2019，28（5）：19-21．

[28] 徐云鴻．小學(xué)高年段空間觀念測(cè)評(píng)體系研究[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2019，28（5）：9-13．

[29] 李懷軍，張維忠．小學(xué)生數(shù)學(xué)問(wèn)題提出能力發(fā)展研究[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2019，28（5）：2-8．

[30] 俞宏毓，朱向陽(yáng)，顧泠沅．管窺小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)現(xiàn)狀——“兩位數(shù)減兩位數(shù)退位減法”教學(xué)案例分析[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2019，28（1）：43-45．

[31] 楊紅萍，楊捷．小學(xué)生數(shù)學(xué)閱讀能力結(jié)構(gòu)的因素分析[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2019，28（5）：14-18．

[32] 付天貴，宋乃慶．走向小學(xué)數(shù)學(xué)文化自覺(jué)的思考[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2019，28（6）：51-54．

A Comparative Study on Fractional Division in Primary School Mathematics Textbooks between China and Korea

YANG Hui-jun1, GUO Rong-rong2, MENG Meng3, WANG Jing-ying1

(1. Teacher Education College of Qingdao University, Shandong Qingdao 266000, China;2. Second Experimental Primary School of Qingdao, Shandong Qingdao 266000, China;3. National Institute of Education Sciences, Beijing 100088, China)

Fractional division was significant to mathematics learning during primary school. Compared the curriculum standards between China and South Korea, it was found that both of them think highly of calculation rules: South Korea requires to master the calculation of mixed fractions, while China laid emphasis on the mixed calculation and application of fractional division. By further compared the content of fractional division in each textbook from macro and micro perspective, it was found that both textbooks took the basic and progressive learning content seriously: textbook in China had more focus on the vertical links of content and application, otherwise textbook in South Korea had more focus on the content spiraling upward. For the specific teaching content, both textbooks paid attention to setting the context for introducing the topic; paying attention to help students understand the fractional division by geometric intuition; textbook in China was more abstract and general, otherwise textbook in South Korea had more values to the diversity of algorithms and the “l(fā)earning materials” function of the textbook.

primary school mathematics; textbooks; fractional division

G40–059.3

A

1004–9894（2020）02–0064–06

2019–12–21

青島大學(xué)2017年教學(xué)研究項(xiàng)目——《數(shù)學(xué)文化》研究性課堂教學(xué)改革與課程建設(shè)——基于卓越小學(xué)教師的培養(yǎng)（2017JG26）；山東省哲學(xué)社會(huì)科學(xué)重點(diǎn)課題——山東省免費(fèi)師范生招生、培養(yǎng)與聘用一體化研究（16BJYJ01）

楊慧娟（1974—），女，山東招遠(yuǎn)人，副教授，博士，主要從事數(shù)學(xué)教育和教師教育研究．

楊慧娟，郭蓉蓉，孟夢(mèng)，等．中韓小學(xué)數(shù)學(xué)教材中分?jǐn)?shù)除法的比較研究[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2020，29（2）：64-69．

[責(zé)任編校：周學(xué)智、張楠]