朱清波，曹廣福

例談探究式解題課教學(xué)

朱清波1，曹廣福2

（1．廣州市執(zhí)信中學(xué)，廣東 廣州 510090；2．華南農(nóng)業(yè)大學(xué)，廣東 廣州 510005）

闡述了解題課的基本功能，指出了目前中學(xué)數(shù)學(xué)教育中解題課存在的問題．通過對(duì)一道平面幾何題的分析，討論了解題課環(huán)節(jié)如何創(chuàng)設(shè)一系列探究式問題，引導(dǎo)學(xué)生從問題的條件出發(fā)通過特例、試錯(cuò)等方法猜測(cè)一般規(guī)律并找到解決問題的方法，反思是如何想到這樣的方法的？進(jìn)一步對(duì)解題方法的優(yōu)劣進(jìn)行評(píng)判．通過方法的探究過程培養(yǎng)學(xué)生的元認(rèn)知以及提升學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)方法的價(jià)值與審美判斷能力．

探究式；解題課；元認(rèn)知；數(shù)學(xué)素養(yǎng)

1 問題提出

中學(xué)課堂通常分“概念課”“原理課”“解題課”3種課型，“復(fù)習(xí)課”可以歸類到“解題課”．解題課是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中非常重要的課型，也是教師們十分重視的教學(xué)環(huán)節(jié)．很多教師甚至把解題課比概念課、原理課看得更重，付出的精力更多．然而目前解題課普遍存在的問題是：課堂上反復(fù)刷題，提高學(xué)生解題的熟練度，缺少提升學(xué)生思維能力的考量．從高考的考題情況分析，除了最后的壓軸題，大多數(shù)題更多地依賴于考生的解題熟練度．刷題越多，遇到類似題型的幾率就越大，得分率也就越高．考試是根指揮棒，有什么樣的考試，就會(huì)有什么樣的教育方式，因此，改善基礎(chǔ)教育現(xiàn)狀的著眼點(diǎn)或許是考試方式．然而，涉及千萬學(xué)子的考試改革不是一件一蹴而就的事情，需要逐步進(jìn)行．考試是檢驗(yàn)教育效果的一種方式，并非目的，從教育的角度看，教學(xué)不能淪為考試的奴隸，考試與教學(xué)的關(guān)系不應(yīng)該本末倒置．但考試作為一種重要的選拔方式，在很大程度上決定了考生們的未來，教學(xué)不顧及考試的效果是不現(xiàn)實(shí)的．這就存在一個(gè)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升與應(yīng)試之間如何平衡的問題．解題課在這個(gè)平衡中無疑充當(dāng)了至關(guān)重要的角色，把握得好，可以二者兼顧；把握不好，可能二者皆失．研究者從一則普通的幾何題出發(fā)，層層拓展，分析在解題課教學(xué)中如何引導(dǎo)學(xué)生拋開慣性思維，不是基于經(jīng)驗(yàn)，而是從問題自身的條件出發(fā)尋找解決問題的思路，并從中發(fā)現(xiàn)有規(guī)律性的現(xiàn)象，從而達(dá)到舉一反三的效果．

2 解題課在數(shù)學(xué)教育中的作用

哈爾莫斯說：“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的唯一方法是做數(shù)學(xué)．”[1]適度地解題是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)必不可少的環(huán)節(jié)，但教師應(yīng)該選擇具有啟發(fā)性的好題，通過這類問題能夠讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)其中所蘊(yùn)含的規(guī)律，起到觸類旁通的效果．

解題課的功能是什么？這是需要首先搞清楚的問題．解題課的功能是在概念課、原理課基礎(chǔ)上固化已學(xué)的概念、原理、思想與方法，并能熟練運(yùn)用它們解決問題．其基本特征即探究式或研究式解題，關(guān)于探究式教學(xué)模式有一個(gè)相對(duì)傳統(tǒng)的解釋：“探究性教學(xué)模式不僅可以較深入地達(dá)到對(duì)知識(shí)技能的理解與掌握，更有利于創(chuàng)新思維與創(chuàng)新能力的形成與發(fā)展，即有利于創(chuàng)新人才的培養(yǎng)．在此過程中，能否取得成就的關(guān)鍵是，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中的主體地位是否能得到比較充分的體現(xiàn)，同時(shí)還需要有教師方面的引導(dǎo)、幫助與支持．換句話說，探究性教學(xué)模式的成功實(shí)施涉及兩個(gè)方面——既要充分體現(xiàn)學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中的主體地位，又要重視發(fā)揮教師在教學(xué)過程中的主導(dǎo)作用．離開其中的任何一方，探究性學(xué)習(xí)都不可能有良好效果．可見，‘主導(dǎo)—主體相結(jié)合’是這種教學(xué)模式的基本特征．”上述定義稍顯籠統(tǒng)，并未解釋清楚什么叫“探究”．

探究式解題是指教師針對(duì)給定的問題從條件出發(fā)，創(chuàng)設(shè)一系列引導(dǎo)式問題，形成一個(gè)層層遞進(jìn)的問題鏈，引導(dǎo)學(xué)生尋找解決問題的思路，其理論基礎(chǔ)是弗賴登塔爾的“數(shù)學(xué)教育是數(shù)學(xué)的再創(chuàng)造”．眾所周知，數(shù)學(xué)并非是一門演繹科學(xué)，當(dāng)人們?cè)噲D解決一個(gè)數(shù)學(xué)問題時(shí)，并非僅僅是羅列一些條件，然后進(jìn)行推理．實(shí)際上，解決問題是一個(gè)不斷摸索、試錯(cuò)、猜想、檢驗(yàn)的過程．解題課不僅為了固化已學(xué)的概念、原理，同時(shí)也是培養(yǎng)學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題正確方法的重要環(huán)節(jié)．與數(shù)學(xué)家研究過程不同的是，學(xué)生的認(rèn)知能力與知識(shí)積累有限，不可能像數(shù)學(xué)家那樣完全獨(dú)立地研究數(shù)學(xué)問題．事實(shí)上，數(shù)學(xué)教育是在教師引導(dǎo)下學(xué)生的“有限再創(chuàng)造”過程．換言之，教師需要通過一系列引導(dǎo)式問題啟發(fā)學(xué)生尋找解決問題的思路．然而，實(shí)際的解題課常常是通過重復(fù)訓(xùn)練達(dá)到一定的解題熟練度，從而提高應(yīng)試效率．實(shí)踐表明，重復(fù)訓(xùn)練可以有效增加學(xué)生的解題經(jīng)驗(yàn)與熟練度，憑借經(jīng)驗(yàn)解決相對(duì)比較熟悉的題型，從而提高解題速度，它對(duì)于應(yīng)付選拔式考試具有一定的效果．

無論出于提升分析問題解決問題的目的還是應(yīng)試的目的，兩者并無根本矛盾，考試的初衷也是為了檢驗(yàn)考生掌握概念、原理、思想與方法的程度，檢驗(yàn)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)與運(yùn)用數(shù)學(xué)理論與方法解決問題的能力．所以，一方面，作為指揮棒的選拔式考試需要改革，使之能真正促進(jìn)素質(zhì)教育與考生數(shù)學(xué)能力的提升；另一方面，課堂教學(xué)要兼顧素養(yǎng)與應(yīng)試兩個(gè)方面．概念課與原理課兩個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)不能弱化，關(guān)于該問題，已經(jīng)有一些論著論及（見文[2-7]）．但關(guān)于解題課如何兼顧素養(yǎng)與解題能力的提升，相關(guān)的研究并不多見．很多關(guān)于解題課的討論都是基于如何解題的，糾纏于解題技巧與細(xì)節(jié)者較多，缺少解題課對(duì)學(xué)生思維能力提升方面的剖析．研究者認(rèn)為，探究式解題課至少應(yīng)該在教師引導(dǎo)下完成3個(gè)方面的教學(xué)環(huán)節(jié)：（1）如何從問題的條件出發(fā)通過特例、試錯(cuò)等方法猜測(cè)一般規(guī)律？（2）如何在前述基礎(chǔ)上找到解決問題的方法并反思是如何想到這個(gè)方法的？（3）什么是好的方法？第一個(gè)環(huán)節(jié)屬于方法的探究過程，第二個(gè)環(huán)節(jié)本質(zhì)上屬于元認(rèn)知問題，第三個(gè)環(huán)節(jié)則涉及對(duì)數(shù)學(xué)方法的價(jià)值與審美判斷．

當(dāng)然，在探究式解題基礎(chǔ)上進(jìn)行適度的解題訓(xùn)練也是需要的，尤其是引導(dǎo)學(xué)生通過解題訓(xùn)練進(jìn)而學(xué)會(huì)題型與方法分類，對(duì)于增加解題經(jīng)驗(yàn)、提高解題速度無疑是有幫助的，但這已超出本論題的范圍．

3 一道平面幾何題的思考

平面幾何是初中數(shù)學(xué)的重要組成部分，傳統(tǒng)的平面幾何邏輯性與系統(tǒng)性都比較強(qiáng)．新課標(biāo)下的平面幾何在此方面有所弱化，更注重與代數(shù)之間的聯(lián)系，生活化的味道也相對(duì)濃了一些．幾何是培養(yǎng)學(xué)生的直觀思維與邏輯推理能力的重要載體，如何通過幾何問題提升學(xué)生的思辨能力值得探討．

下面這道題的難度中等偏下，有解題經(jīng)驗(yàn)的學(xué)生并不難找到它的解答：“正方形內(nèi)一點(diǎn)與4個(gè)中點(diǎn)依次連接，得到4個(gè)區(qū)域，其部分區(qū)域面積如圖1所示，求剩余區(qū)域面積．”

這道題蘊(yùn)含著一個(gè)非常有趣的一般規(guī)律，如何發(fā)現(xiàn)這樣的規(guī)律則是件有難度的事情．

該題如果出現(xiàn)在解題課上，學(xué)生由于清楚了多邊形的面積以及計(jì)算多邊形面積的一般方法，那就是化多邊形為三角形或特殊的多邊形（例如矩形、平行四邊形、梯形等），所以，學(xué)生很容易想到的一種方法就是把上述圖形分解成若干三角形：

點(diǎn)在正方形內(nèi)部時(shí)，相對(duì)的兩個(gè)區(qū)域面積之和相等，即Ⅰ+Ⅲ=Ⅱ+Ⅳ，連接4個(gè)頂點(diǎn)，如圖2，每塊區(qū)域利用中點(diǎn)平均分成2塊，共8塊，重新組合成4塊大區(qū)域，即：

對(duì)比可知：?+20=32+16，

故 ?=32+16-20=28 cm2．

由于已經(jīng)有了前期的經(jīng)驗(yàn)積累，因此，學(xué)生想到上述方法并不奇怪．

圖1 正方形區(qū)域面積

圖2 正方形分割

還有一種分割方法也不難想到，那就是連接正方形4條邊的中點(diǎn)（如圖3），也可完成對(duì)4個(gè)多邊形的三角剖分．

從圖形結(jié)構(gòu)來看，4塊區(qū)域都有一部分面積相等的小區(qū)域，同時(shí)去掉后，還是一個(gè)小正方形，在新的正方形中探究這些小區(qū)域的面積關(guān)系（如圖3）．記4個(gè)新區(qū)域面積分別為Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，則有：

所以Ⅰ+Ⅲ=Ⅱ+Ⅳ，同時(shí)增加4個(gè)全等等腰直角三角形后，上述規(guī)律保持不變，故?=32+16-20=28 cm2．

看起來上述問題似乎已經(jīng)得到解決，但有一種情況可能會(huì)出現(xiàn)，大正方形內(nèi)的點(diǎn)有可能不在小正方形內(nèi)部（如圖4）：設(shè)內(nèi)點(diǎn)為，當(dāng)在小正方形外（同時(shí)在大正方形內(nèi)）時(shí)，區(qū)域的劃分會(huì)顯得復(fù)雜．為方便起見，記Ⅰ=△PEF，Ⅱ=△PFG，Ⅲ=△PGH，Ⅳ=△PEH,同理可推得Ⅰ+Ⅲ=Ⅱ-Ⅳ．這說明若點(diǎn)不在小正方形內(nèi)部,需將兩個(gè)面積相減．

圖3 多邊形的三角剖分

圖4 正方形內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)

上述兩個(gè)方法的思路是類似的，出發(fā)點(diǎn)都是試圖將四邊形分割成三角形，利用“三角形等底等高則面積相等”這一性質(zhì)完成問題的解答．但顯然第一個(gè)方法比第二個(gè)方法更簡(jiǎn)潔，避開了可能出現(xiàn)的分類討論．所以從方法上評(píng)判，第一個(gè)方法比第二個(gè)方法更優(yōu)．

然而，以上方法都是基于經(jīng)驗(yàn)，經(jīng)過了訓(xùn)練的學(xué)生都不難發(fā)現(xiàn)這類解題思路，但它們是不是好的方法？什么叫好的方法？通常有幾個(gè)判斷標(biāo)準(zhǔn)：簡(jiǎn)潔，抓住了問題的本質(zhì)，方法具有一般性．

上述問題的本質(zhì)是什么？如果把問題稍微變換一下，類似的結(jié)論是否還成立？類似的方法是否還適用？例如，若是把正方形換成矩形呢？或者把正方形邊界的中點(diǎn)換成更一般的點(diǎn)呢？此時(shí)的問題沒有發(fā)生本質(zhì)的變化，上述兩個(gè)方法依然是適用的．如果將正方形換成圓（到了高中甚至可以換成橢圓）呢？類似的結(jié)論是否還成立？這就涉及問題的本質(zhì)與方法的一般性討論了．一旦邊界是“彎曲的”，第一種方法顯然就不能照搬了，因?yàn)橛么朔椒o法將4個(gè)小區(qū)域分割成三角形．第二種方法或許可行，將圓周上的4個(gè)等分點(diǎn)連接之后，得到了4個(gè)面積相等的曲邊區(qū)域，割掉這4個(gè)小區(qū)域后得到一個(gè)正方形，問題回到了正方形的情形．從這個(gè)角度看，第二個(gè)方法比第一個(gè)方法更具有一般性．換言之，第一個(gè)方法更具簡(jiǎn)潔性，第二個(gè)方法更具一般性．所以兩種方法各有千秋，優(yōu)劣在伯仲之間．

還有其它方法嗎？這就需要暫時(shí)擺脫化多邊形為三角形的慣性思維，以對(duì)問題本質(zhì)的探索作為出發(fā)點(diǎn)尋找新的方法．

數(shù)學(xué)研究的一個(gè)基本特征是從特殊到一般．姑且不管是何種區(qū)域，問題的關(guān)鍵是區(qū)域內(nèi)一點(diǎn)與區(qū)域的4個(gè)邊界點(diǎn)連接得到4個(gè)不同的子區(qū)域，這4個(gè)子區(qū)域之間的關(guān)系與內(nèi)部點(diǎn)的位置是否有關(guān)？不妨先從特殊的點(diǎn)出發(fā)考察一下這些子區(qū)域之間的關(guān)系．例如，若內(nèi)部的點(diǎn)是正方形的中心或者在正方形的一條中線上，結(jié)果如何？此時(shí)將會(huì)發(fā)現(xiàn)一個(gè)共同的規(guī)律：相對(duì)的兩個(gè)區(qū)域面積之和相等．再考察更一般情形，中線上的點(diǎn)發(fā)生了偏移，變成了正方形內(nèi)的任意一點(diǎn)，類似的現(xiàn)象是不是還會(huì)出現(xiàn)？這樣的思考方式有效避開了分割多邊形為三角形的慣性思維，雖然最終還是需要利用三角形的面積，但這是探索出來的必然方法，而不是經(jīng)驗(yàn)的結(jié)果，這也是進(jìn)行科學(xué)研究的普適性思維，兩者不可同日而語．

不妨先探究一下第三種解答：連接對(duì)邊中點(diǎn)、，相交于點(diǎn)（如圖5），連接、、、、，因?yàn)槭菍?duì)稱中心，有△POE=△POG，△POF=△POH，同時(shí)減去公共部分后有①+②=③+④（數(shù)字符號(hào)代表區(qū)域面積）這說明相對(duì)的區(qū)域面積總是“相互補(bǔ)充的”（即某塊區(qū)域面積增加，其對(duì)角區(qū)域面積會(huì)減少相應(yīng)部分），且對(duì)角區(qū)域的面積之和為全部面積的一半，對(duì)比原圖，則必然有?=32+16-20=28 cm2．

上述解法的出發(fā)點(diǎn)并非化多邊形為三角形，雖然最終還是用到了三角形面積之間的關(guān)系，但這種關(guān)系建立在探索的基礎(chǔ)上而不是經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上．更重要的是，第三種解答抓住的是區(qū)域內(nèi)部點(diǎn)的位置，沒有直接去關(guān)心邊界，這也就使得這種方法具有了普適性．邊界是不是直的并不重要，最終需要的并非正方形圖形本身，而是正方形的對(duì)稱性．只要保證交點(diǎn)是整個(gè)平面圖形的對(duì)稱中心，即可讓“對(duì)角區(qū)域面積之和為定值”這一性質(zhì)得以保留，因?yàn)橹行膶?duì)稱圖形的對(duì)稱中心可以保證原始劃分中的對(duì)角區(qū)域面積之和相等，這可以從平行四邊形和橢圓這兩種特殊圖形中加以檢驗(yàn)．

圖5 正方形對(duì)邊中點(diǎn)連線

兩種圖形均滿足SⅠ+SⅢ=SⅡ+SⅣ．

4 解題課課例設(shè)計(jì)

以上述問題為例，如何在解題課中引發(fā)學(xué)生去思考從而尋找解決問題的最佳方法，進(jìn)而提升思維能力？

通過如下一系列問題的設(shè)計(jì)層層遞進(jìn)，可以引導(dǎo)學(xué)生深入思考．

問題1：正方形內(nèi)一點(diǎn)與4邊中點(diǎn)依次連接，得到4個(gè)區(qū)域，其部分區(qū)域面積如圖1所示，求剩余區(qū)域的面積．

相信無需多少時(shí)間，就會(huì)有學(xué)生給出解答，學(xué)生給出的解答很可能是前面的第一種解法．如果學(xué)生無法回答，不妨輔以這樣的問題：一般的多邊形面積如何計(jì)算？有了這樣的提示后，學(xué)生是可以想到化多邊形為三角形的．如果學(xué)生給出了上述兩種不同的解答，則直接進(jìn)入問題3，否則先考慮下面的問題2．

問題2：這是分割多邊形為三角形的唯一方法嗎？

學(xué)生如果了解了第一種方法，很容易想到另一種分割方法，所以這個(gè)問題的回答對(duì)于學(xué)生應(yīng)該沒有多少難度．

問題3：上述幾種方法哪種方法更好？好在哪里？

這個(gè)問題的提法可能令學(xué)生一頭霧水，不知從何回答，不妨問得更具體一點(diǎn)：哪個(gè)方法更簡(jiǎn)潔？哪個(gè)方法更具有一般性？

問題4：上述方法的缺陷是什么？除了將多邊形分割成三角形，還能想出別的辦法嗎？

在分析這個(gè)問題的過程中應(yīng)該同時(shí)闡明問題的重要性，上述兩種方法僅適用于多邊形，一旦區(qū)域的形狀發(fā)生變化，這種方法可能就不適用了，但類似的結(jié)論是否仍然成立？例如將正方形換成圓怎么辦？此時(shí)學(xué)生或許會(huì)想到第二個(gè)辦法也適用于圓，但如果換成更一般的對(duì)稱區(qū)域呢？通過對(duì)這個(gè)問題的分析，可以幫助學(xué)生了解：分割多邊形的方法依賴于區(qū)域的形狀．它僅適用于正方形或平行四邊形，如果邊界彎曲，就要想辦法把邊界割成多邊形，所以第二種方法才更具有一般性，但它仍然具有局限性，因?yàn)槿绻歉话愕膮^(qū)域，第二種方法可能也不適用．這兩種方法之所以具有局限性，根本原因就在于兩種方法都需要轉(zhuǎn)換成多邊形才能利用三角形面積完成計(jì)算．在此基礎(chǔ)上拋出下面更一般的問題．

問題5：假設(shè)兩條直線交于區(qū)域內(nèi)一點(diǎn)，與區(qū)域邊界分別交于點(diǎn)、、、（如圖7），構(gòu)成一個(gè)平行四邊形．線段與將區(qū)域分割成4塊小區(qū)域，使得相對(duì)的兩塊區(qū)域面積之和等于整個(gè)區(qū)域面積的一半．任取區(qū)域內(nèi)一點(diǎn)，與、、、的連線將區(qū)域分成4個(gè)小的區(qū)域，相對(duì)的兩塊區(qū)域面積之和是否仍是整個(gè)區(qū)域面積的一半？為什么？

這個(gè)問題中的區(qū)域很寬泛，甚至不必要求它是中心對(duì)稱圖形，只要過區(qū)域內(nèi)部一點(diǎn)的任意兩條線段被點(diǎn)平分且能將區(qū)域分割成4塊小區(qū)域使得相對(duì)兩塊區(qū)域面積之和等于整個(gè)區(qū)域的一半，那么這4個(gè)點(diǎn)就決定了區(qū)域內(nèi)任意點(diǎn)的性質(zhì)：到4個(gè)邊界點(diǎn)連線得到的4個(gè)小區(qū)域相對(duì)區(qū)域面積之和相等．有了前面的分析基礎(chǔ)，學(xué)生已經(jīng)不難應(yīng)對(duì)這個(gè)問題．這個(gè)結(jié)論與區(qū)域形狀無關(guān)，只與分割區(qū)域的兩條直線的位置有關(guān)．在此基礎(chǔ)上還可以進(jìn)一步拓展：

圖7 兩條直線分割區(qū)域

問題6：是不是所有的區(qū)域都能找到兩條相交直線具有問題5中所說的性質(zhì)？

這個(gè)問題的難度比較大一些，可以作為課外思考題，供有余力且有興趣的學(xué)生思考．其基本的思路是：（1）有沒有一條直線將一個(gè)給定的區(qū)域面積平分？這個(gè)問題不難有肯定的回答；（2）過平分區(qū)域面積的線段之中點(diǎn)是否存在一條直線將區(qū)域分割成具有問題5中所說性質(zhì)的4塊小區(qū)域而且交點(diǎn)也是該線段的中點(diǎn)？結(jié)論就未必了．不妨把問題5中所說的性質(zhì)稱為區(qū)域面積對(duì)分性質(zhì)．

定義1 假設(shè)區(qū)域的邊界上有4個(gè)點(diǎn)，內(nèi)的點(diǎn)到這4個(gè)邊界點(diǎn)的連線將區(qū)域分割成4個(gè)相對(duì)的區(qū)域面積之和相等的小區(qū)域，則稱為相對(duì)于這4個(gè)邊界點(diǎn)的區(qū)域面積對(duì)分點(diǎn)．如果區(qū)域的邊界上存在4個(gè)點(diǎn)，使得區(qū)域內(nèi)的任意點(diǎn)相對(duì)于這4個(gè)邊界點(diǎn)都具有面積對(duì)分性質(zhì)，就稱該區(qū)域具有面積對(duì)分性質(zhì)．

由此可以得到一個(gè)一般性的結(jié)論，不妨讓學(xué)生總結(jié)成一個(gè)定理：

定理1 假設(shè)是中心對(duì)稱的有界凸區(qū)域，則具有面積對(duì)分性質(zhì)．

以上一系列問題的分析體現(xiàn)了探索的一般思維方法，思維能力正是在這種探索中慢慢形成的．當(dāng)然，由于時(shí)間所限，所有的解題課都如法炮制顯然是不現(xiàn)實(shí)的，正如前文所說，需要考慮到素養(yǎng)、能力與應(yīng)試之間的平衡．定期進(jìn)行一些類似的探究式解題，學(xué)生慢慢就能掌握分析問題過程中的探究方法．

可以作為課外的研究習(xí)作，引導(dǎo)有興趣并有余力的學(xué)生圍繞著這個(gè)問題進(jìn)一步展開討論．

問題7：定理1中的中心對(duì)稱條件是不是必需的？區(qū)域的凸性是不是必需的？

中學(xué)雖然沒有專門介紹凸區(qū)域的概念，但此概念并不抽象，學(xué)生在理解上并無難度．通過具體的例子很容易發(fā)現(xiàn)，如果區(qū)域不是凸的，就不能保證區(qū)域內(nèi)任意點(diǎn)到邊界點(diǎn)的連線都在區(qū)域中，面積對(duì)分性質(zhì)可能不成立，所以區(qū)域的凸性是必要條件．那么，中心對(duì)稱性條件是否可以去掉呢？此時(shí)，不妨引導(dǎo)學(xué)生先考慮特殊情形，例如，三角形情形如何？凸四邊形情形又如何？通過分析會(huì)發(fā)現(xiàn)，三角形與凸四邊形區(qū)域都可以通過連接各邊的中點(diǎn)得到一個(gè)平行四邊形（其中三角形為3邊的中點(diǎn)加上任意一個(gè)頂點(diǎn)）．但到了五邊形以上的情形，類似方法就不適用了．問題的焦點(diǎn)集中在能否找到具有類似對(duì)稱圖形中心性質(zhì)的那種點(diǎn)？利用凸區(qū)域邊界的連續(xù)性可以證明，所有的凸區(qū)域都存在一個(gè)內(nèi)接平行四邊形，該平行四邊形對(duì)角線交點(diǎn)就是這樣的點(diǎn)．換句話說，該平行四邊形的對(duì)角線將凸區(qū)域分成了4塊相對(duì)區(qū)域面積之和相等的小區(qū)域，因而凸區(qū)域內(nèi)的任意點(diǎn)相對(duì)于該平行四邊形的4個(gè)頂點(diǎn)都具有面積對(duì)分性質(zhì)．于是得到一個(gè)更一般的結(jié)論：

定理2 假設(shè)是平面內(nèi)的有界凸區(qū)域，則具有面積對(duì)分性質(zhì)．

5 結(jié)束語

概念課、原理課與解題課是數(shù)學(xué)教學(xué)過程中3個(gè)不可或缺的基本課型，無論是為了強(qiáng)化對(duì)概念、原理的理解與靈活運(yùn)用，夯實(shí)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，提升數(shù)學(xué)思維能力與數(shù)學(xué)應(yīng)用能力還是為了應(yīng)試，解題課都起著舉重輕重的作用．探究式解題對(duì)于強(qiáng)化學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念、原理的理解，提升數(shù)學(xué)思維能力與解決問題的能力無疑是有幫助的．在現(xiàn)實(shí)的大背景下，兼顧學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培育與解題的熟練度是解題課需要肩負(fù)起的重任．

[1] 哈爾莫斯．怎樣做數(shù)學(xué)研究[EB/OL]．（2019-04-16）[2019-06-12]．https://chuansongme.com/n/2909741451012．

[2] 曹廣福．課標(biāo)與教材淺議[J]．課程·教材·教法，2016，36（4），12-16．

[3] 何勇，曹廣福．課堂教學(xué)中如何兼顧學(xué)生素養(yǎng)與應(yīng)試能力[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2014，23（2）：63-65．

[4] 張蜀青，曹廣福．以問題驅(qū)動(dòng)對(duì)數(shù)概念課教學(xué)[J]．中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2014（7）：12-13．

[5] 張蜀青，曹廣福．以問題驅(qū)動(dòng)的原理課教學(xué)[J]．中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2014（8）：34-35．

[6] 張蜀青，曹廣福．大學(xué)教師與中學(xué)教師關(guān)于《基本不等式》的“同課異構(gòu)”評(píng)析[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2015，24（6）：40-43．

[7] 曹廣福，張蜀青．問題驅(qū)動(dòng)的中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)（理論與實(shí)踐卷）[M]．北京：清華大學(xué)出版社，2018：1．

Inquiry Teaching of Solving Problems by Examples

ZHU Qing-bo1, CAO Guang-fu2

(1. Guangzhou Zhixin High School, Guangdong Guangzhou 510090, China; 2. South China Agricultural University, Guangdong Guangzhou 510642, China)

Problem-solving lesson is an important link to help students solidify knowledge and learn to use mathematical knowledge to solve problems in classroom teaching. Traditional problem-solving lesson pays attention to cultivating students’ proficiency in solving problems and lacks consideration of improving students' thinking ability. The function of problem-solving lesson has two levels, one is educational level, the other is utilitarian level. Through the analysis of a plane geometry problem, this paper discusses how to guide the students to think that what methods can we think of in the face of a problem, and how do we think of this method? What is the best way? Through the inquiry process of methods, students’ meta-cognition is trained and their value and aesthetic judgment ability of mathematical methods are improved.

inquiry; problem solving course; meta-cognitive; mathematical literacy

G622.4

A

1004–9894（2020）02–0049–04

2019–11–06

國家“萬人計(jì)劃”人才項(xiàng)目——問題驅(qū)動(dòng)的中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)

朱清波（1978—），男，中學(xué)高級(jí)教師，主要從事數(shù)學(xué)教學(xué)與數(shù)學(xué)教育研究．

朱清波，曹廣福．例談探究式解題課教學(xué)[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2020，29（2）：49?52．

[責(zé)任編校：陳漢君、陳雋]