鄔建寧 戴啟猛

【摘要】本文以人教版數(shù)學七年級上冊《角》第一課時教學為例，闡述“四度六步”教學法在初中平面幾何教學中的應用，這節(jié)課以溫習角、定義角、表示角、度量角、應用角為主線，為學生梳理學習幾何基本圖形的思路，打造精彩數(shù)學課堂，為深入研究平面幾何圖形打下基礎。

【關鍵詞】初中數(shù)學 《角》 “四度六步”教學法 精彩課堂

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2020）02A-0020-04

人教版數(shù)學七年級上冊《角》一課，要求學生能辨認角、會畫角，能給角下定義，會用數(shù)學符號表示角。教師在學生已經(jīng)會辨認角、會畫角的基礎上，通過豐富的實例引導學生進一步認識角，并能從靜態(tài)和動態(tài)兩種描述給角下定義，再借助類比的學習方法了解角的度量方法等，讓學生體驗從具體到抽象，從圖形到文字、到符號、再到性質(zhì)等，是初中階段研究幾何基本圖形的學習思路。

一、復習提問，溫故孕新

師：同學們，我們已經(jīng)學習了線段、射線、直線和兩點確定一條直線的基本事實（教師在黑板上任意畫兩個點A，B），請問過同一平面的兩點能畫多少條直線？

生：一條。

師（在黑板上畫出兩點A，B確定的直線，并在直線右側標上小寫字母l，然后強調(diào)）：對。經(jīng)過兩點有一條直線，并且只有一條直線。

師：你能用數(shù)學符號表示黑板上的這條直線嗎？

生：直線AB，直線BA，直線l.

師：剛才大家說的都是直線的表示方法，誰能說說這么表示的合理性？

生：根據(jù)兩點確定一條直線，我們在直線上任取兩點就可以表示這條直線。也可以用一個小寫字母表示一條直線。

師：如果老師在直線上再標一個點C，直線AC表示的還是這條直線嗎？

生：是。

師：不錯，同學們在剛才的回顧中抓住了“兩點確定一條直線”的本質(zhì)，準確地完成了直線的表示。老師還想問大家，經(jīng)過平面內(nèi)一點可以引出多少條射線？

生：無數(shù)條。

（教師在黑板上畫出一條射線OA）

師：你會用數(shù)學語言表示嗎？

生：射線OA.

師：能表示成射線AO嗎？

生：不能，射線的表示要求第一個字母必須是射線端點的字母。

師：如果從一點出發(fā)的無數(shù)條射線只留下兩條，會出現(xiàn)什么圖形？

（教師在黑板上畫出圖形，學生看圖識角）

生1：一個角。

生2：銳角。

師：很好。大家都發(fā)現(xiàn)從一點出發(fā)的兩條射線構成的圖形是角，今天老師就和大家一起來學習“角”。

評析：教師通過引導學生回顧熟悉的直線、射線的表示方法和相關性質(zhì)，為角的概念和角的表示法學習生成建立聯(lián)系，進行鋪墊，可謂“復習提問，溫故孕新”。

二、創(chuàng)設情境，引入課題

師：對于角的概念，同學們并不陌生，請看投影上的圖畫。這幅圖蘊含著我們今天學習的內(nèi)容——角，你能用一句詩來形容這幅圖嗎？（教師板書課題《4.3.1 角》）

生：小荷才露尖尖角，早有蜻蜓立上頭。

師：不錯，今天同學們就是這尖尖角，老師期待你們在今天的課堂上有精彩的表現(xiàn)。

師：在我們的現(xiàn)實生活中存在著許許多多的角，你們能從教室的物品中找到角嗎？

生1：黑板的邊框上有角。

生2：鬧鐘上的時針和分針組成角。

生3：課桌上兩條邊成一個角。

師：同學們在教室里找了不少角，誰能在老師出示的圖片中找出角的形象？

……

師：這兩張圖片中有很多的角，你們有沒有發(fā)現(xiàn)這兩張圖片中的角有什么不同之處呢？

生：第二張圖片中的角是會動的。

評析：教師通過古詩及讓學生在生活環(huán)境中找角，激發(fā)了學生學習幾何圖形和相關知識的興趣，讓學生去深刻感受數(shù)學無處不在，同時體會我們的生活離不開數(shù)學，打造有溫度的課堂。

師：我們身邊的角有靜止的也有會動的，老師把它們的形象代表畫在黑板上，誰能用自己的語言概括一下，怎樣的圖形叫做角？

生：有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角。（教師板書）

評析：數(shù)學概念的形成和掌握是建立在學生已有經(jīng)驗之上的。教師在本環(huán)節(jié)讓學生借助已有的生活經(jīng)驗觀察身邊的實物和圖片，初步感知生活中角的形象，引導學生觀察圖形，回憶小學的知識，再現(xiàn)角的定義。

師：這個點叫什么？（生：端點）這兩條射線叫什么？（生：角的兩條邊）這兩條射線之間的部分也稱為角的內(nèi)部，兩條射線以外的部分稱為角的外部。（教師一邊說，一邊在黑板圖上用簡潔的文字標注）

評析：教師引導學生理解角的概念，重點放在對角的典型特征的認識，即認識角的各部分名稱，明確頂點、邊的作用。

師：角可以畫在練習本上、黑板上，地面上有角，墻面上有角，那么角的位置是由誰決定的？

生：角的頂點。

師：很好。那么角的大小由什么來決定呢？與角的兩條邊的長短有關系嗎？

生：沒有。

師：角的大小和什么有關？

生1：角度。

生2：與角的兩條邊張開的大小有關。

師：角的大小與角的兩邊張開的程度有關，與兩條邊的長短無關。如果把沒有打開的圓規(guī)看成一條射線，請同學們觀察老師手中圓規(guī)的變化，你能說一說，老師手中的角是怎么形成的嗎？

生：角是由一條射線繞著它的端點旋轉而成的圖形。（教師板書）

師：如果把有公共端點的兩條射線形成的角看成角的靜態(tài)定義，我們就可以說這是角的動態(tài)定義了。同學們，你能用角的動態(tài)定義來描述平角和周角嗎？

生3：當射線OB繞O點旋轉，當終止位置OA與起始位置OB在一條直線上時，形成平角;當射線OB繞O點旋轉，當終止位置OA與起始位置OB重合時，形成周角。

師：如無特殊說明，在初中階段所說的角一般都是指小于平角的角。

評析：觀察圓規(guī)的展開，發(fā)現(xiàn)角可以由一條射線繞著它的端點旋轉而成，這不僅豐富學生對角的概念認識，更可以讓學生從運動的觀點去描述角。

完成角的靜態(tài)和動態(tài)兩種定義，教師出示下列題組，要求學生一題一題地判斷并說出錯誤的原因，加深對概念的理解。

【判一判】

①角就是兩條射線（? ?）

②平角就是一條直線（? ?）

③角的邊畫得越長角就越大（? ?）

④時鐘指向18時整，時針和分針形成一個平角（? ?）

評析：認識角的概念，關鍵是幫助學生明確角的典型特征（公共端點和兩條射線），容易遺漏的是“公共端點”。教師引導學生通過觀察、思辨、交流等活動明辨角的概念，意在把學生的內(nèi)部思維活動轉化為外部語言表述，不僅深化對角的理解與認識，更培養(yǎng)了學生初步使用幾何語言的能力。

三、合作探究，活動領悟

師：同學們已經(jīng)會從兩個角度來描述角的定義，每個新生事物誕生時，人們總會給他一個標記，取個名字。我們小學時就已經(jīng)掌握用角的符號“∠”（讀作“角”）來標記角，你能聯(lián)系線段、直線及射線命名的方法給由射線OA，OB組成的角起個合理的名字嗎？請同桌之間交流討論后再回答老師的問題。

生1：可以在角的頂點上標上弧和寫一個數(shù)字1，這個角可以表示成∠1.

生2：我覺得可以給這個角取名為∠O.

師：理由是什么？為什么不命名為∠A或∠B.

生2：因為角的頂點決定了角的位置，O點是角的頂點。

師：真棒！你抓住了角的本質(zhì)，有公共端點的兩條射線中的公共端點。如果老師從頂點O再引一條射線OC，還能用∠O來表示這個角嗎？

生3：這時候不能用∠O來表示，我想用三個字母表示這個角。

師：哪三個字母？

生3：∠OAB.

師：說一說你用這種方法表示的理由。

生3：因為這個角是由具有公共端點的兩條射線OA，OB 組成的。

師（進一步追問）：為什么你不選擇∠AOB或∠OBA，而是用∠OAB來給這個角命名呢？

生3：第一感覺。

師：請你再觀察黑板上的圖形，想想射線的命名，給自己用三個字母命名角的合理性找找理由。其他同學有什么不同的意見嗎？

生3：老師，我要改成∠AOB，因為這個角是由射線OA，OB組成的，但是公共端點O決定了它的位置。

師：其他同學有不同的意見嗎？

生4：我認為還可以表示成∠BOA，因為有公共端點的兩條射線組成角，但是并沒有規(guī)定邊的順序。

師：很好，三個大寫字母表示角只要求表示角的頂點字母寫在中間，并不要求表示射線方向的字母順序，這個角可以表示成∠AOB或∠BOA。由此我們就得到了角的三種表示方法，此外，角也可以用弧線加希臘字母表示，因此角的常用的表示方法有四種。

（教師板書）

角的表示法：

1.用一個大寫字母表示：表示角的頂點的字母∠O（注：以O為頂點的角只有一個）。

2.用三個大寫字母表示：表示角的頂點的字母寫在中間∠AOB或∠BOA（表示角的頂點字母一定要寫在中間）。

3.用數(shù)字表示：∠1，∠2.

4.用希臘字母表示：∠[α]，∠[β]（必須在圖上標注后才能使用，并且只能表示單獨的一個角）。

評析：因為有聯(lián)系，所以有感悟?！读x務教育數(shù)學課程標準》（2011年版）指出：“學生學習應當是一個生動活潑的、主動的和富有個性的過程。除接受學習外，動手實踐、自主探索與合作交流同樣是學習數(shù)學的重要方式。學生應當有足夠的時間和空間經(jīng)歷觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證等活動過程?！痹诮虒W中，教師讓學生討論，大膽猜想，去探究表示角的恰當方法，教師通過對學生命名角的表示法的合理性進行追問剖析，緊扣課標，強化學生角的頂點意識，追求有深度的課堂;教師在學生討論角的表示方法不完整或不正確時加以引導和糾正，對學生領悟角的概念起到了畫龍點睛的作用。

四、師生互動，變式深化

【找一找】下面表示∠DEF的圖是（? ?）

【換一換】如圖，你能用不同方式把表格中的角表示出來嗎？

【寫一寫】

（1）寫出圖中能用一個字母表示的角;

（2）寫出圖中以E為頂點的角;

（3）圖中共有幾個小于平角的角？

師：通過練習，請同學們再次總結角的表示方法。

評析：完成角的靜態(tài)和動態(tài)兩種定義之后，教師出示一組變式題，通過“找一找”“換一換”“寫一寫”三個層次的推進，不僅可以促進學生對角的表示法的熟練掌握，更可以通過“換一換”以滿足不同層次學生的需求，實現(xiàn)有梯度的課堂。完成練習后引導學生再次對角的四種表示方法進行總結，也是絕妙一筆。一節(jié)好的數(shù)學課，核心概念理解，問題解決，解題技巧等方法的歸納和梳理，應該是隨時隨地、恰時恰點發(fā)生，恰到好處，對于重點內(nèi)容的強調(diào)，也應是次第重復，螺旋上升。尤其在教學中每講解完一道題或一類題，引導學生回頭思考問題和解法的特點和異同，從而適時感悟規(guī)律，及時提煉方法。

師：時間的度量單位是什么？它們之間有什么關系？

生：時、分、秒;1小時等于60分鐘，1分鐘等于60秒。

師：半小時是多少分鐘？

生：30分鐘。

師：90分鐘是多少小時？

生：1.5小時。

師：時間的單位和換算我們很熟悉，那么常用的角的測量工具是什么？角的度量單位又是什么呢？

生：常用的角的測量工具是量角器，角的度量單位是度。

師：大家回答得不錯，請同學們翻開課本，閱讀133頁，再思考老師提出的問題。

（學生閱讀完畢后，教師結合課本提出的角度的起源和密位制等做個簡單的知識性拓展和小結，引導學生完成練習）

【算一算】

評析：好的課堂應是動靜結合的，既有師生、生生互動，也有學生的獨立思考和自主閱讀。優(yōu)秀的教師總能契合學生的實際，運用恰當?shù)慕虒W方法，讓學生富有成效地學習。此外，教師讓學生帶著問題自學書本內(nèi)容，自主探索角的換算，引導學生類比時間的度量單位，去發(fā)現(xiàn)以度、分、秒為單位的計算都是以60進制進行的，適時讓學生表達自己對角的運算的想法，并適當介紹角度制的起源和它在軍事上的運用，將數(shù)學課堂知識延伸到歷史、軍事等領域，在激發(fā)學生數(shù)學學習興趣的同時，實現(xiàn)有寬度的課堂。

五、嘗試練習，鞏固提高

師：我們已經(jīng)學習角的相關知識，接下來想請同學們?nèi)ヌ魬?zhàn)與角有關的兩道拓展規(guī)律性的問題?？凑l能又快又準地回答。

1.同時使用一副三角板（兩塊）可以畫出哪些度數(shù)的角？

2.發(fā)現(xiàn)下列圖中角的個數(shù)：思考從一端點引n條射線，共有多少個角？

評析：初中學生正處在好強好勝的年齡，出示上述兩道與角有關的拓展規(guī)律性的問題，不僅是對與角有關知識的鞏固提高，更是把學生的思維活動推向高潮，實現(xiàn)有深度的課堂。

六、適時小結，興趣延伸

1.本節(jié)課我們學到了什么知識？你還有什么問題嗎？

2.本節(jié)課我們在命名角的時候，聯(lián)系了前面哪些幾何基本圖形的表示方法？

3.對比線段的學習，你認為在學習了角的表示方法后，還有什么值得我們?nèi)パ芯浚?/p>

評析：本節(jié)課的小結歸納分為兩條線：一條是“暗線”，對概念特征、表示方法及解法歸類的小結是貫穿在整課學習和探究過程之中的，可謂適時歸納，反復強調(diào)，螺旋上升。一條是“明線”，即課的結尾小結，重在引導學生回顧本節(jié)課重難點，教師利用精心設計的板書，幫助學生把握知識要點，厘清知識脈絡，培養(yǎng)學生自我歸納概括的能力，形成知識系統(tǒng)。同時通過類比了解學習幾何圖形基本概念的思路，為后續(xù)的學習搭建探究的橋梁，對所學知識進行延伸。

【板書設計】

【總評】

本課運用“溫故——引新——探究——變式——嘗試——提升”六步教學法精心演繹初中數(shù)學精彩課堂?！皽毓省杯h(huán)節(jié)通過對線段和射線的表示法及其緣由的回憶為角的表示法的命名埋下伏筆;“引新”環(huán)節(jié)由學生觀察生活中熟悉的校園環(huán)境和實物圖形并從中抽象出角定義，培養(yǎng)學生的抽象概括能力，學生會用靜止和運動的觀點來說明角的形成，培養(yǎng)學生多角度分析思考問題的能力;“探究”環(huán)節(jié)學生通過給角命名及探討命名的合理性，激發(fā)學習的興趣，強化對知識的記憶，還通過獨立閱讀掌握有關角的單位的換算，培養(yǎng)獨立思考和閱讀理解的能力;“變式”環(huán)節(jié)通過變式題層層升入，加深學生對角的表示法的熟練應用，尤其是“換一換”是開放性的問題，不同掌握程度的學生能寫出的角的個數(shù)也不同，滿足不同層次學生的需求，實現(xiàn)課堂的梯度教學;“嘗試”環(huán)節(jié)通過對知識的辨析，強化學生對概念的理解，及時鞏固所學知識，并把學生思維活動推向高潮;“提升”環(huán)節(jié)體現(xiàn)適時、適度和恰到好處，讓人感受到精彩課堂總是以問題開始，同樣應以問題結束。讓學生帶著問題進來，同樣讓學生帶著更高層次的問題離開課堂。

精彩的數(shù)學課堂，應促使學生進行積極而深刻的思考。本節(jié)課教師努力從學生已有的基礎出發(fā)，層層鋪墊、精心設計“問題串”，以激發(fā)學生多角度思考、探究知識的形成過程，進而形成學習幾何基礎圖形的學習思路。盡管教師在時間把握上前松后緊，導致知識拓展練習未能在課內(nèi)精彩呈現(xiàn)，同時因是借班上課，教師對個別學生的回答未能給予及時而有質(zhì)量的關注，但本節(jié)課仍然不失為一節(jié)有溫度、有梯度、有深度和有寬度的精彩課堂。

作者簡介：鄔建寧（1976— ），女，廣西柳江人，高級教師，理學學士，南寧市教學骨干，南寧市教育系統(tǒng)優(yōu)秀共產(chǎn)黨員，戴啟猛特級教師工作室成員。研究方向：中學數(shù)學課堂教學及管理。

戴啟猛（1966— ），江蘇省鹽城人，正高級教師，廣西特級教師、南寧市學科帶頭人、南寧市教壇明星、南寧市專業(yè)技術拔尖人才。研究方向：基礎教育、中學數(shù)學教學研究。

（責編 劉小瑗）