李定平

【摘要】?jī)?yōu)質(zhì)課決賽是同一課題《兩角差的余弦公式》，對(duì)優(yōu)勝者的教學(xué)過(guò)程進(jìn)行了介紹與評(píng)述，基于數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)下對(duì)本課教學(xué)內(nèi)容所蘊(yùn)含的育人教育價(jià)值提出了不同的教學(xué)設(shè)計(jì)，即“問(wèn)題引領(lǐng)，自主建構(gòu)”的“問(wèn)題串”教學(xué)設(shè)計(jì)，在問(wèn)題解決的過(guò)程中發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)。

【關(guān)鍵詞】?jī)?yōu)質(zhì)決賽課;教學(xué)設(shè)計(jì);問(wèn)題串

佛山市順德區(qū)高中數(shù)優(yōu)質(zhì)課決賽是兩位老師執(zhí)教同一課題《兩角差的余弦公式》，筆者有幸聽了他們的課，其中，碧桂園學(xué)校國(guó)際課程熊曉敏老師的課讓筆者很有感想，下面分享筆者的心得，以饗同行。

一、流程簡(jiǎn)單，卻憾動(dòng)人

熊老師的課沒(méi)有挖掘什么教材內(nèi)涵，也沒(méi)有補(bǔ)充什么綜合題、高考題，教學(xué)流程非常簡(jiǎn)潔，效果卻非常好，教學(xué)過(guò)程如下：

1.課題引入

熊老師從廣州塔的英文視頻介紹引入要測(cè)量塔尖的高，抽象出：一個(gè)人站在某處，想測(cè)量一個(gè)電視塔塔尖的高度，他現(xiàn)在擁有以下數(shù)據(jù)，請(qǐng)文該如何求得塔尖CD的高度呢？

CD=BD-BC ，BD=ABtan60°

AB=60cos15°，BC= 60sin15°

提煉出：cos15°=？sin15°=？

15°能否寫成兩個(gè)特殊角的差的形式？

cos15°=cos（45°-30°）=？

2.研究問(wèn)題1

（2）從上表格你可以發(fā)現(xiàn)什么？請(qǐng)寫出來(lái)。

3.研究問(wèn)題2

設(shè)α、為銳角且β<α

（1）∠POM=? ? ? ? ? ? ?。

（2）根據(jù)（1）的結(jié)論用含有α，β的三角函數(shù)式表示OM。OM=? ? ? ? ? ?。

（3）作PA⊥P1O，垂足為A，過(guò)點(diǎn)A作AB⊥x軸，垂足為B，作PC⊥AB，垂足為C。

OA=? ? ? ? ? ? ? ? ，PA=? ? ? ? ? ? ? ，

OB=? ? ? ? ? ? ? ? ，BC=? ? ? ? ? ? ? ，

OM=OB+BM=OB+CP=? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?。

（4）對(duì)比（2）和（3），你可以發(fā)現(xiàn)什么？請(qǐng)寫出你的結(jié)論。

。

說(shuō)明：兩角差的余弦公式：cos（α?β）=cosα cosβ + sinα sinβ，上述結(jié)論雖然在α，β，α?β均為銳角的情況下得到的，但對(duì)于α，β為任意角的情況都是成立的，只是要做不少的推廣工作，有興趣的學(xué)生可以自己課下動(dòng)手試一下。

4.例題講解

例1.利用和、差角余弦公式求cos75°、cos15°的值。

例2.已知，，，β是第三象限角，求的值。

5.練習(xí)、化簡(jiǎn)：（1）cos80?cos20? + sin80?sin20?;（2）.cos150+sin150

6.小結(jié)（略）

7.作業(yè)：教材P127面1、2、3、4題。

二、尊重教材，更切合學(xué)生

教材（人教版）的內(nèi)容引入也是要求山上電視塔的高度，并抽象出由sinα=求得tan（α+45°）的值，需求兩角和的三角函數(shù)值，引出的是這章內(nèi)容的需要，而不是直接引出這節(jié)課的需要，沖淡了這節(jié)課的主題，而熊老師的課直接引出課題：cos15°=cos（45°-30°）=？一下子就抓住了學(xué)生的注意力。同時(shí)，廣州塔的英文視頻介紹無(wú)論是拍攝還是英文解說(shuō)都是震撼人心的，多角度的拍攝，理性的解說(shuō)還能讓學(xué)生體會(huì)到知識(shí)的力量、知識(shí)的美，有種迫切需要學(xué)習(xí)的沖動(dòng)。同時(shí)也讓做老師的我們知道如何在網(wǎng)上選擇對(duì)課程有幫助的背景視頻，在抽象過(guò)程中正是提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)——用數(shù)學(xué)的眼光看世界。

為了防止部分不用腦的學(xué)生濫用乘法的分配律，將角的余弦值符號(hào)cos作為數(shù)來(lái)分配運(yùn)算，用特殊角來(lái)驗(yàn)證cos（α?β）≠cosα?cosβ，教材只是設(shè)計(jì)一個(gè)cos（60°?30°）cos60°?cos30°，而熊老師的課通過(guò)四組角的一個(gè)表格運(yùn)算來(lái)驗(yàn)證cos（αβ）≠cosα?cosβ，此過(guò)程用了10分鐘讓學(xué)生獨(dú)立完成，這樣讓學(xué)生感知發(fā)現(xiàn)、驗(yàn)證了cos（α?β）= cosβcosα + sinβsinα，使學(xué)生對(duì)公式Cα+β有直觀上的印象，也建構(gòu)了此公式。

整個(gè)一節(jié)課，結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，通過(guò)視頻情境引入需要解決的問(wèn)題：cos15°=cos（45°-30°）=？然后通過(guò)表格探究，然后是證明，最后例題，學(xué)生是水到渠成，幾分鐘學(xué)生自然流暢地解決了，整個(gè)課堂活動(dòng)始終圍繞公式cos（α?）=cosα cosβ + sinα sinβ需要、猜想、證明，也就是說(shuō)課堂活動(dòng)是學(xué)生對(duì)公式的建構(gòu)，具體說(shuō)整節(jié)課就是學(xué)生的兩個(gè)課堂活動(dòng)——學(xué)生計(jì)算填表、學(xué)生按老師提供的思路證明公式。至于應(yīng)用是順理成章的事，聽課時(shí)從學(xué)生的反應(yīng)也可以看出。課后跟熊老師交流時(shí)，熊老師說(shuō)：“國(guó)際課程都是這樣，重視公式、定理的形成過(guò)程，力求學(xué)生弄懂公式的每個(gè)細(xì)節(jié)，至于練習(xí)就比較少了?！?/p>

三、提升素養(yǎng)，有待思考

有一次，筆者突然給學(xué)生講兩角差的余弦差公式的幾何證明時(shí)，有點(diǎn)磕磕碰碰，不能很流利講出。筆者心想：“都教過(guò)幾遍了，為什么？”經(jīng)過(guò)反思，只能說(shuō)是知其然而沒(méi)有知其所以然。本節(jié)課的難點(diǎn)是公式的幾何證明，雖然設(shè)計(jì)了填空過(guò)程，學(xué)生在教師指導(dǎo)下能看書看懂完成，可是，證明過(guò)程中育人價(jià)值彰顯出來(lái)了嗎？所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思維方式解讀出來(lái)了嗎？這樣一個(gè)過(guò)程只能說(shuō)是教了證明兩角差余弦公式證明的知識(shí)，而沒(méi)有使學(xué)生如何想到這種方法？沒(méi)有提升學(xué)生的“學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思考”。