俞潔

[摘 ?要] 對于同一教學(xué)內(nèi)容，由于教師教學(xué)理念、生活經(jīng)歷和知識背景的不同以及學(xué)生能力水平的差異，不同的教師往往有著不同的課堂教學(xué)風(fēng)格和教學(xué)模式，這就是所謂同課異構(gòu)的基本概念. 利用這一現(xiàn)象，通過橫向?qū)Ρ葘τ谕唤虒W(xué)內(nèi)容不同教師的教學(xué)模式，我們能夠總結(jié)出寶貴的教學(xué)經(jīng)驗. 筆者曾經(jīng)參加過一場基于同課異構(gòu)思想的教學(xué)交流活動，教學(xué)風(fēng)格的集中對比讓筆者收獲頗豐，文章中筆者將簡單地再現(xiàn)當時的教學(xué)情境并分享自身的感悟體會.

[關(guān)鍵詞] 同課異構(gòu);高中數(shù)學(xué)教學(xué);解析幾何;點與直線的距離公式

前言

隨著社會經(jīng)濟的飛速發(fā)展，時代對于中學(xué)數(shù)學(xué)教育水平的要求也在不斷提升，高中數(shù)學(xué)教師應(yīng)順應(yīng)這一趨勢不斷地改進教學(xué)模式以適應(yīng)時代新要求.然而正如獨立思考容易思路狹隘一樣，教師如果不適當?shù)鼗ハ嗪献鹘涣?，也難以跳出自己原本的教學(xué)思路，也就難以對自己習(xí)慣的教學(xué)模式進行改進.

對于同一教學(xué)內(nèi)容，由于教師教學(xué)理念、生活經(jīng)歷和知識背景的不同以及學(xué)生能力水平的差異，不同的教師往往有著不同的課堂教學(xué)風(fēng)格和教學(xué)模式，這就是所謂同課異構(gòu)的基本概念. 利用這一現(xiàn)象，通過橫向?qū)Ρ葘τ谕唤虒W(xué)內(nèi)容不同教師的教學(xué)模式，我們能夠總結(jié)出寶貴的教學(xué)經(jīng)驗，教師在這一過程中得以審視自己的教學(xué)模式，從而更加深刻地理解教學(xué)內(nèi)容，并能夠通過借鑒和反思來完善自己的教學(xué)理念.

筆者曾經(jīng)參加過一場基于同課異構(gòu)思想的教學(xué)交流活動，該活動以點到直線的距離的引入這一教學(xué)內(nèi)容為切入點，邀請了三位教學(xué)方法不同的教師開展教學(xué)，教學(xué)風(fēng)格的集中對比讓筆者收獲頗豐，文章中筆者將簡單地再現(xiàn)當時的教學(xué)情境并分享自身的感悟體會.

同課異構(gòu)課堂的教學(xué)內(nèi)容分析

點到直線的距離的求解是解析幾何中的一個重要的基礎(chǔ)知識點，它建立在學(xué)生對直線的解析式和兩點之間距離的求解有深入理解的基礎(chǔ)上，同時也是在求解平行線之間距離的基礎(chǔ)上，學(xué)生在學(xué)習(xí)圓與直線的位置關(guān)系以及圓錐曲線的相關(guān)內(nèi)容時也會用到這一知識點. 教材上關(guān)于點到直線的距離這一知識點的內(nèi)容突出了數(shù)形結(jié)合以及轉(zhuǎn)化與劃歸的思想方法，教師在進行有關(guān)內(nèi)容的教學(xué)時應(yīng)重視引導(dǎo)學(xué)生自主推導(dǎo)出有關(guān)公式，并讓學(xué)生在感悟推導(dǎo)過程的同時總結(jié)其中蘊含的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法.

三位教師的不同引入方式

教師A：回顧學(xué)生已經(jīng)掌握的知識，通過類比引入新知識.

第一位教師的課堂教學(xué)大體上說來有三個步驟，即基本概念回顧復(fù)習(xí)、設(shè)計情境導(dǎo)入問題以及類比推廣導(dǎo)出公式. 教師A先帶領(lǐng)學(xué)生復(fù)習(xí)了平面直角坐標系中點的坐標表示、兩點間距離的計算方法以及直線方程的幾種表現(xiàn)方式，讓學(xué)生先對與新知識相關(guān)的基礎(chǔ)知識進行回顧，為課堂新知做好思想和知識準備.

接著教師A創(chuàng)設(shè)了一個情境，讓學(xué)生嘗試用自己的方法解決這個情境所包含的問題.

情境問題1：已知平面直角坐標系上有一定點Q（-1，2）和一直線l：3x=2，嘗試用自己的方法求兩者之間的距離.

情境問題2：已知平面直角坐標系中有一直線解析式為l：2x+y-4=0，試求該坐標系的坐標原點與直線l之間的距離.

聽課的學(xué)生提出了兩種基本思路，一種是利用定義將點到直線的距離轉(zhuǎn)化為兩點之間的距離，另外一種則是巧妙地利用三角形的面積公式進行轉(zhuǎn)化.

教師B：立足平面幾何知識，方法模仿引入知識點.

教師B直接給出了平面幾何的相關(guān)知識，讓學(xué)生通過對比和方法模仿思考問題的轉(zhuǎn)化. 教師B在課堂的一開始拋出了問題：如圖2所示有一個直角三角形，若PG=3，PF=4，且PQ⊥FG，試分別從幾何和代數(shù)的角度求PQ的值.

從幾何的角度來看這就是一個簡單的利用三角形面積求斜邊上的高的問題，從代數(shù)的角度來考慮就需要用到數(shù)形結(jié)合的思想方法了. 有一位學(xué)生的回答是，以三角形的直角頂點為坐標原點建立平面直角坐標系，根據(jù)直角邊的長度關(guān)系取點的坐標，具體建系情況如圖3所示，接著通過作垂直于直線FG的線，將求點與直線的距離問題轉(zhuǎn)化為求兩點之間的距離問題.

教師C：創(chuàng)設(shè)實際問題情境，激發(fā)思考引入知識點.

教師C青睞創(chuàng)設(shè)問題情境來激發(fā)學(xué)生思考而引入知識點，教師在課堂上設(shè)置了這樣一個情境：某天小明在一條筆直的公路上駕駛，他的目的地在道路旁邊某個位置，他需要先開車再步行去目的地，如果不考慮地形等因素的限制，他應(yīng)該在哪里下車才能使得步行的距離最短呢？

學(xué)生1：我們可以利用數(shù)形結(jié)合的思想，以目的地為坐標原點建立直角坐標系，再利用三角形面積公式求相關(guān)的距離即可.

學(xué)生2（補充道）：對，還可以作垂線直接聯(lián)立而轉(zhuǎn)化為求兩點之間的距離問題.

對比改進三種教學(xué)模式

以上三種教學(xué)模式雖然在具體引導(dǎo)方法上各不相同，本質(zhì)上卻有著極大的相似性，它們都綜合考慮了學(xué)生的實際學(xué)習(xí)情況和教學(xué)內(nèi)容的特點，帶著針對性地設(shè)計了具有梯度的問題. 這些問題建立在學(xué)生的認知水平之上，又具有鮮明的主題，引導(dǎo)學(xué)生朝著一個特定的方向探索與思考，讓學(xué)生始終處于摸索與嘗試的心理狀態(tài)之中，從而使學(xué)生在認知沖突下保持積極主動的思維狀態(tài). 三位教師都選擇以較為簡單和特殊的問題為切入點，再從特殊到一般將問題抽象化，這樣的引入方法能夠讓學(xué)生體會到問題的產(chǎn)生背景和公式的形成過程，突出了學(xué)生的課堂參與度和學(xué)習(xí)主體性.

不過上述三種教學(xué)模式也并非完美，筆者根據(jù)自己的教學(xué)經(jīng)驗認為它們都存在一個共同的問題，即在一般化的過程中跳躍性過大，對于點到直線的距離這樣涉及大量計算的問題，學(xué)生可能不難想到證明的方法，但是卻常常會因為復(fù)雜的計算而感到挫敗和迷茫，教師應(yīng)該敏銳地發(fā)覺這一問題，給予適當?shù)奶崾疽院喕瘜W(xué)生的計算過程.

下面筆者將在教師A的教學(xué)模式的基礎(chǔ)上進行改進.

（1）基礎(chǔ)概念的復(fù)習(xí)與回顧. 筆者先向?qū)W生介紹了解析幾何的鼻祖笛卡爾，接著帶領(lǐng)學(xué)生復(fù)習(xí)了點的坐標表示等基礎(chǔ)概念.

（2）情境問題1：已知平面直角坐標系上有一定點Q（-1，2）和一直線l：3x=2，嘗試用自己的方法求兩者之間的距離.

情境問題2：已知平面直角坐標系中有一直線解析式為l：2x+y-4=0，試求該坐標系的坐標原點與直線l之間的距離.

學(xué)生1提出了在平面直角坐標系中利用垂線求出交點，再將問題轉(zhuǎn)化為求兩點距離的方法;學(xué)生2提出了利用三角形的面積公式間接求值的方法. 在兩位學(xué)生闡述完自己的思路之后，筆者沒有急于將問題一般化，而是讓學(xué)生嘗試對比兩種方法在計算量方面的區(qū)別.

學(xué)生3：其實第二種方法的基本思想和求兩點間的距離的思想一樣，就是將求斜邊轉(zhuǎn)化為求兩條直角邊，這樣能在一定程度上減少運算量.

教師：很好的總結(jié)，在這個問題中我們的數(shù)學(xué)模型本來就是一個直角三角形，轉(zhuǎn)化起來十分方便，那么對于一般的情況，我們有沒有什么辦法能夠?qū)⑵滢D(zhuǎn)化為直角三角形，或者說找到適合的直角關(guān)系呢？

學(xué)生4：我們可以用三角函數(shù)！只要知道角度的大小就可以找到隱藏的直角關(guān)系.

教師：那么假設(shè)直角坐標系中有一條直線的一般表達式為Ax+By+C=0（A≠0，B≠0），如果兩個交點分別為M，N，能不能嘗試用已給出的參數(shù)表示∠ONM？

學(xué)生們經(jīng)過一定的討論得出了sin∠ONM=，之后筆者引導(dǎo)學(xué)生通過這一思路逐步計算推導(dǎo)出了點與直線距離的計算公式. 這樣的線索提示降低了問題的跳躍性，進而一定程度上簡化了問題，能夠間接地增強學(xué)生探索和思考的信心.