林毅

[摘 ?要] 幾何教學是高中數(shù)學教學的重要組成部分. 探討基于范希爾理論應(yīng)用Hawgent皓駿軟件輔助教學的數(shù)學創(chuàng)課設(shè)計（以“拋物線及其標準方程”為例），嘗試構(gòu)建“創(chuàng)設(shè)情境，直觀感知;問題驅(qū)動，探究新知;抽象概括，形成概念;全面掌握，理性認知;總結(jié)提升，內(nèi)化新知”五大教學環(huán)節(jié)，并從數(shù)學學科核心素養(yǎng)的角度進行評析，以期為優(yōu)化傳統(tǒng)的幾何教學提供參考與借鑒.

[關(guān)鍵詞] 范希爾理論;數(shù)學創(chuàng)課;幾何教學;拋物線

《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》指出：教師應(yīng)注重信息技術(shù)與數(shù)學課程的深度融合，實現(xiàn)傳統(tǒng)教學手段難以達到的效果[1]. 在“互聯(lián)網(wǎng)+教育”時代，動態(tài)數(shù)學軟件已逐漸成為信息技術(shù)融入數(shù)學課堂教學、改善傳統(tǒng)數(shù)學教學的利器. Hawgent皓駿動態(tài)數(shù)學軟件是近年來比較“時髦”的動態(tài)數(shù)學軟件，它不僅界面簡潔、操作便捷，還具有數(shù)學化、視覺化、動態(tài)化呈現(xiàn)數(shù)學對象與思維的功能. 范希爾理論是衡量學生幾何思維發(fā)展的重要理論，它不僅能夠有效地指導幾何教學，而且對提升學生的幾何思維水平有較大的促進作用. 因此，基于范希爾理論應(yīng)用Hawgent皓駿動態(tài)數(shù)學軟件的數(shù)學創(chuàng)課，既可以發(fā)展學生的幾何思維水平，又可以實現(xiàn)“以形助數(shù)”的數(shù)形結(jié)合思想，從而有效地改善傳統(tǒng)幾何教學、落實數(shù)學核心素養(yǎng).

范希爾理論概述

范希爾理論是由荷蘭中學數(shù)學教師范希爾夫婦提出來的，它的核心內(nèi)容有兩個：一是幾何思維的五個水平;二是與之對應(yīng)的五個教學階段[2]. 其中，幾何思維的五個水平分別是——水平0：視覺;水平1：分析;水平2：非形式化演繹;水平3：形式演繹;水平4：嚴密性. 這一層面的內(nèi)容主要是對受教育者的幾何思維水平以及對教學過程的組織等方面進行系統(tǒng)性的考察. 對應(yīng)的五個教學階段分別是——階段1：學前咨詢;階段2：引導定向;階段3：闡明;階段4：自由定向;階段5：整合. 這一層面的內(nèi)容主要是對應(yīng)于幾何思維水平的教學環(huán)節(jié). 范希爾理論具有以下特性：次序性、進階性、內(nèi)隱性及外顯性、語言性、不適配性、不連續(xù)性. 作為衡量學生幾何思維發(fā)展的重要理論，范希爾理論不僅揭示了學生的認知發(fā)展規(guī)律，為學生突破幾何學習難點提供了個性化指導，還提供了一個全新的幾何教學模式，是教師解決幾何教學問題的有效途徑.

基于范希爾理論應(yīng)用Hawgent皓駿軟件的數(shù)學創(chuàng)課案例

1. 課例的基本背景

（1）教材分析

《拋物線及其標準方程》是高中數(shù)學人教A版選修2-1第二章“圓錐曲線與方程2.4”的內(nèi)容，一般安排兩個課時，本節(jié)課是第一課時[3]. 從知識層面上來說，本節(jié)課時是在學習了橢圓、雙曲線的基礎(chǔ)上對圓錐曲線進行進一步探索，其重點是理解拋物線的定義、幾何圖形與標準方程，難點是從變換的角度理解拋物線的四種標準方程;從思想方法層面上來說，從具體問題情境中提煉數(shù)學模型，并用代數(shù)語言將幾何問題轉(zhuǎn)化成代數(shù)問題的學習過程，滲透了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方法;從教育價值層面上來說，它進一步向?qū)W生滲入了曲線與方程的思想，有效地提升了學生的直觀想象、數(shù)學運算、邏輯推理與數(shù)學建模等數(shù)學核心素養(yǎng).

（2）學情分析

拋物線是最常見的圓錐曲線之一，如拱形橋的形狀、斜拋物體的軌跡、一元二次函數(shù)的圖像等，因此學生對拋物線的幾何圖形有直觀的認識. 本節(jié)課是在學生原有認知基礎(chǔ)上從幾何與代數(shù)兩個角度去全面認識拋物線，符合學生從特殊到一般、從具體到抽象的認知規(guī)律. 學生已經(jīng)學習了橢圓與雙曲線兩種特殊的圓錐曲線，能夠運用平面解析幾何的思想解決一些實際問題，具有一定的觀察分析能力與抽象概括能力，基本處于形式演繹的幾何思維水平. 但是學生的空間想象力不強，在教學中教師需要充分利用動態(tài)教學軟件輔助教學，以直觀化、動態(tài)化的幾何圖形來激發(fā)學生的想象力與積極性. 因此，本節(jié)課依據(jù)范希爾理論，從學生已有的認知基礎(chǔ)與思維水平出發(fā)，引導學生通過最近發(fā)展區(qū)達到掌握新知、提高思維層次的目的.

2. 數(shù)學創(chuàng)課的設(shè)計過程

基于范希爾理論和本節(jié)課的分析，本節(jié)創(chuàng)課的設(shè)計過程如下：創(chuàng)設(shè)情境，直觀感知;問題驅(qū)動，探究新知;抽象概括，形成概念;全面掌握，理性認知;總結(jié)提升，內(nèi)化新知.

（1）創(chuàng)設(shè)情境，直觀感知

情境1：生活中的拋物線.

師：數(shù)學既來源于生活又高于生活，同學們，在生活中有哪些物體是呈現(xiàn)拋物線的形狀？

生：拱橋的形狀、彩虹的形狀、噴泉的路線、足球射門時的弧線，等等.

情境2：物理中的拋物線.

師：拋物線不僅在生活中隨處可見，而且在物理中也是經(jīng)常研究的對象. 比如平拋物體的運動軌跡是拋物線，在波的共振實驗中處于同一位置同頻率振動的點源與線源所產(chǎn)生水波的共振點是按拋物線狀排列. 為了同學們可以更直觀地感受物理中的拋物線，老師在Hawgent皓駿中為大家直觀呈現(xiàn)出來（教師利用Hawgent皓駿演示平拋運動及波的共振實驗的動態(tài)過程，如圖1所示）.

情境3：數(shù)學中的拋物線.

師：那么在數(shù)學中，拋物線是以什么樣的形式來呈現(xiàn)的呢？

生：一元二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像是拋物線.

師：為什么一元二次函數(shù)的圖像是一條拋物線？這就要探討拋物線的定義及其幾何性質(zhì)了.

設(shè)計依據(jù)與意圖：這一環(huán)節(jié)屬于范希爾理論幾何教學階段的階段1——學前咨詢，即教師和學生就學習對象進行雙向交談，教師通過溝通了解學生是如何理解指導語，并且?guī)椭鷮W生理解要學習的課題. 本設(shè)計通過創(chuàng)設(shè)三個層層遞進的情境，并以師生溝通對話的形式引導學生直觀感知生活、物理及數(shù)學中的拋物線，對拋物線形成感性認識和認知沖突，為下一個階段的學習打下基礎(chǔ). 在較為抽象的物理情境中，教師借助Hawgent皓駿直觀呈現(xiàn)出來，幫助學生積累空間觀念的感性經(jīng)驗，并引導學生關(guān)注數(shù)學與其他學科之間的聯(lián)系，打破學科界限.

（2）問題驅(qū)動，探究新知

問題1：在橢圓、雙曲線學習中，我們通過簡單的畫圖工具將其畫出來，那么我們是否可以利用類似的工具畫出拋物線？

教師做示范，引導學生折紙作圖：準備一張矩形薄紙ABCD，在CD的垂直平分線上取一點Z，并將CD均等分成15段，依次記為C，E，F(xiàn)，…，R，D. 過這些點分別作豎直的垂線，將點C對折到點Z，使兩點重合，并用力按壓產(chǎn)生折痕. 以此類推，把CD中的15個點都對折到點Z，并將所有折痕勾勒出的痕跡描畫出來[4]. 學生以同桌兩人為小組，合作完成折紙實驗，教師巡視課堂，并給予針對性指導. 當課堂上有一半學生完成了折紙實驗，教師提出新問題.

問題2：在折紙實驗的過程中，涉及了哪些關(guān)鍵元素？比如動點、定點、定直線. 這些關(guān)鍵元素之間有什么關(guān)系？

學生以四人為小組，帶著問題繼續(xù)體驗折紙的樂趣并思考其中的奧秘，在交流討論的過程中發(fā)現(xiàn)規(guī)律. 學生可得出結(jié)論：“折痕形成的軌跡是拋物線”“點Z是一個定點”“15個點實際上是一條定直線”“折痕與拋物線相切，切點是拋物線上的點”，等等.

問題3：我們在橢圓、雙曲線的“作圖實驗”中發(fā)現(xiàn)了它們的幾何性質(zhì)并得出定義，那么在拋物線的折紙實驗中，同學們能發(fā)現(xiàn)到拋物線的哪些幾何性質(zhì)？（教師利用Hawgent皓駿演示折紙實驗的動態(tài)過程，如圖2所示，揭示其中的原理，并得出結(jié)論：拋物線上的點到定點Z的距離與到定直線CD的距離相等）

設(shè)計依據(jù)與意圖：這一環(huán)節(jié)屬于范希爾理論幾何教學階段的階段2——引導定向，即教師為學生仔細安排活動順序，使學生認識到學習進行的方向，逐漸熟悉所學習對象的特性. 本設(shè)計將折紙實驗分化為問題鏈，以螺旋上升的認知方式引導學生探究拋物線的幾何性質(zhì). 在這個階段中，教師幫助學生在數(shù)學活動中明確探究方向，調(diào)動學生的感官與思維，使學生親身經(jīng)歷知識構(gòu)建的過程. Hawgent皓駿在該環(huán)節(jié)中不僅動態(tài)地表征了折紙實驗中多個關(guān)鍵元素的內(nèi)在聯(lián)系，而且將折紙原理從隱匿化為可視，使得數(shù)學思維過程清晰化，極大地促進了學生對數(shù)學本質(zhì)的理解.

（3）抽象概括，形成概念

師：通過以上的探究活動，我們知道了拋物線的幾何性質(zhì)，類比橢圓、雙曲線的定義方式，同學們是否可以用簡練、準確的語言描述拋物線的定義？

通過學生總結(jié)、教師點評，得出拋物線的定義：我們把平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l（l不經(jīng)過點F）距離相等的點的軌跡叫作拋物線. 點F叫作拋物線的焦點，直線l叫作拋物線的準線.

師：在定義中強調(diào)l不經(jīng)過點F，倘若l經(jīng)過點F會出現(xiàn)什么情況？

師：我們已經(jīng)用文字語言概括了拋物線的定義，那么用數(shù)學語言、圖形語言又該如何表示呢？假設(shè)M（x，y），求平面內(nèi)到定點F（0，1）與到定直線l：y=-1距離相等的動點M的軌跡方程.

以此類推，可以根據(jù)距離公式得出另外三種標準方程.

師：橢圓與雙曲線都是只有兩種標準方程，而拋物線卻有四種標準方程，四種標準方程是如何變化得來的？（教師同時利用Hawgent皓駿演示拋物線的解析式與圖像變換的動態(tài)過程，如圖3所示，并引導學生建立表格總結(jié)變換關(guān)系）

設(shè)計依據(jù)與意圖：這一環(huán)節(jié)屬于范希爾理論幾何教學階段的階段3——闡明，即通過前面的經(jīng)驗和教師最小程度的提示，讓學生明確詞匯和術(shù)語的意義. 在本環(huán)節(jié)中教師引導學生總結(jié)概念，幫助學生糾正習慣措詞，體現(xiàn)數(shù)學的嚴謹性. Hawgent皓駿在該環(huán)節(jié)中有效結(jié)合數(shù)學語言與圖形語言，突出呈現(xiàn)兩者的變換關(guān)系，有利于學生突破學習難點，對拋物線形成清晰表象及全面認識.

（4）全面掌握，理性認知

師：學習了新知識，你能說明二次函數(shù)y=ax2（a≠0）的圖像為什么是拋物線嗎？指出它的焦點坐標、準線方程.

師：獨自完成教材例題及隨堂練習，并進行小組互檢討論.

設(shè)計依據(jù)與意圖：這一環(huán)節(jié)屬于范希爾理論幾何教學階段的階段4——自由定向，范希爾認為這個階段是自由探索的. 學生在遇到不同作業(yè)的時候，尋找解決方法和解決問題的過程中獲得了寶貴的實踐經(jīng)驗. 教師在設(shè)置習題時要注意問題的開放性以及層次性，為不同認知水平的學生提供實踐機會，使得學生能夠?qū)W有所用、學有所成，體驗到學習的成就感，找到適合自己的學習方式.

（5）總結(jié)提升，內(nèi)化新知

師：學習完這節(jié)課，同學們對拋物線有哪些新的認識？在解決拋物線這類問題中，同學們認為有哪些解題關(guān)鍵？有什么解決方法可以讓其他同學借鑒一下？

設(shè)計依據(jù)與意圖：這一環(huán)節(jié)屬于范希爾理論幾何教學階段的階段5——整合. 經(jīng)過一系列的學習，教師引導學生回顧所學的新知識以及所用的方法，并將新知識內(nèi)化到學生自有的知識結(jié)構(gòu)中，形成知識脈絡(luò)，加深對新知識的理解.

總結(jié)與反思

新課標強調(diào)：樹立以發(fā)展學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)為導向的教學意識，將數(shù)學學科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)貫穿于教學活動的全過程. 基于范希爾理論應(yīng)用Hawgent皓駿的數(shù)學創(chuàng)課設(shè)計充分發(fā)揮了范希爾理論的理論指導意義和教育信息技術(shù)的優(yōu)勢. 從創(chuàng)設(shè)情境，讓學生直觀感知生活、物理和數(shù)學中的拋物線，到引導學生通過折紙實驗探究拋物線的幾何性質(zhì)，然后學生通過類比等方法得出拋物線的定義及標準方程，再到學生在解決拋物線相關(guān)的問題中全面掌握拋物線，一直最后學生回顧與總結(jié)新知，并內(nèi)化到已有的知識結(jié)構(gòu)中，各教學環(huán)節(jié)環(huán)環(huán)相扣、層層深入，由特殊到一般、由具體到抽象，與學生的幾何思維水平緊密契合;適當運用Hawgent皓駿輔助教學，活靈活現(xiàn)、直觀地展示數(shù)學對象動態(tài)生成的全過程，從而將數(shù)學抽象、直觀感知和邏輯推理等數(shù)學學科核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展貫穿于整個教學過程.

參考文獻：

[1] ?中華人民共和國教育部制訂. 普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）[M]. 北京：人民教育出版社，2017.

[2] ?韋爽. 動態(tài)幾何環(huán)境下基于范希爾理論的幾何概念教學研究[D].遼寧師范大學，2017.

[3] ?中學數(shù)學課程教材研究開發(fā)中心.新課標高中數(shù)學A版選修2-1[M]. 北京：人民教育出版社，2008.

[4] ?呂增鋒. “同課同構(gòu)”：給教學注入“工匠精神”——以“拋物線及其標準方程”為例[J]. 中學數(shù)學教學參考，2017（28）.