覃劍波

摘要：古典概型是高校概率論課程的一個(gè)環(huán)節(jié)，是現(xiàn)實(shí)當(dāng)中碰到最多的概率問題，盡管高中有所接觸，但學(xué)生做題普遍感到困難，難于找到規(guī)律，做得對(duì)與錯(cuò)沒有把握。本文從有放回摸球和無放回摸球這二個(gè)基本模型出發(fā)，討論其應(yīng)用的要點(diǎn)及解決實(shí)際問題的注意事項(xiàng)并舉例加以說明。

關(guān)鍵詞：古典概型;二種模型;是否有序;序的一致性

古典概型具有下列兩個(gè)共同特點(diǎn)：試驗(yàn)的樣本空間只包含有限個(gè)元素;試驗(yàn)中每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性相同。這樣的試驗(yàn)稱為等可能型，因其是概率發(fā)展初期主要的研究對(duì)象，所以也稱為古典概型。樣本空間的元素，我們又稱為樣本點(diǎn)，基本事件是單個(gè)樣本點(diǎn)構(gòu)成的事件，概括起來講，古典概型就是樣本點(diǎn)有限且每個(gè)樣本點(diǎn)等可能出現(xiàn)的模型。

事件概率計(jì)算及其二大模型

古典概型下事件概率的計(jì)算 如果事件A是k個(gè)樣本點(diǎn)的集合，樣本空間是n個(gè)樣本點(diǎn)的集合，則事件A的概率基本計(jì)算公式為P（A）=k/n。即事件A的概率等于其所包含的樣本點(diǎn)數(shù)與樣本空間所包含的樣本點(diǎn)數(shù)之比。該計(jì)算方法可以通過對(duì)樣本空間和事件所包含的樣本點(diǎn)計(jì)數(shù)來簡單的計(jì)算出古典概型下事件的概率。而對(duì)樣本點(diǎn)進(jìn)行計(jì)數(shù)就是看其包含有多少個(gè)不同的樣本點(diǎn)，如何才能判別二個(gè)樣本點(diǎn)是相同還是不相同呢？

關(guān)鍵點(diǎn)一：不同元素構(gòu)成的樣本點(diǎn)肯定不同，比如（1，2）和（2，2），前者由1與2這二個(gè)元素構(gòu)成，后者是由二個(gè)元素2構(gòu)成，顯然是不同的樣本點(diǎn)。

關(guān)鍵點(diǎn)二：構(gòu)成元素相同的樣本點(diǎn)是否是相同的樣本點(diǎn)，取決于講不講順序。在不講順序的情況下，只要構(gòu)成的元素相同，它們就是相同的樣本點(diǎn)，比如（1，2）和（2，1）這二個(gè)樣本點(diǎn)是相同的樣本點(diǎn)，但在講順序的情況下，其就是不同的樣本點(diǎn)了。所以，我們?cè)诖_定樣本空間或事件的樣本點(diǎn)數(shù)時(shí)，一定要注意它們是不是講序。

古典概型下的二大模型 模型一：袋中有n個(gè)球，有放回隨機(jī)取出k個(gè)。由于這項(xiàng)工作必須要經(jīng)過k個(gè)有序的步驟才能完成。因此，只能講順序，不能用不講順序的辦法來處理。在講順序的情況下可以用乘法原理來計(jì)算樣本空間包含的總樣本點(diǎn)數(shù)，即各步驟的取法數(shù)相乘。有放回的情況下，每個(gè)步驟都有n個(gè)不同的球可供選擇，k個(gè)步驟，那就有nk種，即樣本空間包含的樣本點(diǎn)數(shù)為nk。

模型二：袋中有n個(gè)球，不放回隨機(jī)取出k個(gè)。由于這項(xiàng)工作可以有序的一個(gè)一個(gè)取出，也可以不講順序的一把把這k個(gè)球取出。在不放回的情況下講順序則是排列，這里類似于軍訓(xùn)的排隊(duì)，在不放回的情況下，不講順序則是組合，這里類似于我們雙打比賽的組合。因此，在講序的情況下，樣本空間包含的樣本點(diǎn)數(shù)為排列數(shù) ? ? ? ? ? ? ? ?。不講序情況下，則為組合數(shù) ? ? ? ? 。

應(yīng)用模型的要點(diǎn)及舉例說明

筆者在概率論教學(xué)中，發(fā)現(xiàn)很多同學(xué)無法利用模型來解決古典概型的問題，根源在于下列幾個(gè)要點(diǎn)沒掌握好。以下結(jié)合例子做闡述。如把8個(gè)球隨機(jī)的放到10個(gè)盒子中去，每個(gè)盒子的容量可裝下8個(gè)球，求每個(gè)盒子至多有一球的概率。這個(gè)例子大部分同學(xué)無法跟上述的二大模型對(duì)應(yīng)起來，首先模型中的球相當(dāng)于本例中的球還是盒子搞不清楚，這個(gè)問題必須首先搞清楚。

要點(diǎn)一：首先，根據(jù)隨機(jī)性關(guān)健詞確定古典概型問題中誰可作為模型里袋中的球。這時(shí)應(yīng)根據(jù)本例中球和盒子誰具有隨機(jī)性進(jìn)行判斷，本例中，所有的8個(gè)球都必須放到盒子中去，沒有隨機(jī)性，因此，不可能作為模型里袋中的球，每個(gè)盒子有可能被選中也有可能沒被選中，具有隨機(jī)性。因此盒子可視為模型中的球。

要點(diǎn)二：確定隨機(jī)選取對(duì)象是盒子后，再根據(jù)其在被選取后能否再次被選出的情況，確定是有放回還是無放回隨機(jī)摸取模型。本例中，盒子的容量足以裝下8個(gè)球，裝有球的盒子還能再裝球，因此屬于有放回隨機(jī)摸取模型。即從10個(gè)盒子中有放回隨機(jī)選出8個(gè)用于裝8個(gè)球。

要點(diǎn)三：確定問題所屬的模型后，就可以用上述二大模型的結(jié)論直接得出樣本空間包含的樣本點(diǎn)總數(shù)，然后結(jié)合實(shí)際問題求出所求的事件包含的樣本點(diǎn)數(shù)，最后二者相比就可算出所求事件的概率了。本例中，我們首先由有放回的模型一，10個(gè)有放回隨機(jī)摸取8個(gè)，其共有108種不同的取法，即樣本空間包含的樣本點(diǎn)數(shù)為108。所求的事件為每個(gè)盒子至多有一球，即選盒子裝那8個(gè)球時(shí)，只能選空盒子，裝有球的盒子不能再選出來裝球了，這相當(dāng)于不放回了。由于樣本空間是講順序的，因此求事件包含的樣本點(diǎn)數(shù)時(shí)也必須講順序。不放回又講順序應(yīng)該用排列數(shù)進(jìn)行計(jì)算，即事件包含的樣本點(diǎn)總數(shù)為排列數(shù) ?，該事件的概率則為 ?。

結(jié)束語

古典概型的教學(xué)，我們應(yīng)結(jié)合模型來進(jìn)行，這樣學(xué)生才能把知識(shí)掌握更牢，運(yùn)用起來更準(zhǔn)確，不至于出現(xiàn)產(chǎn)品抽查到次品的概率講過后會(huì)算了，但一轉(zhuǎn)到彩票問題、抽中特等獎(jiǎng)的概率不講就不會(huì)算的這種情況了。

參考文獻(xiàn)

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（作者單位：廣西大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院）