張鵬

[摘 ?要] 在新時(shí)代的背景下，高中數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)具備先進(jìn)的教育理念和扎實(shí)精湛的教學(xué)技能. 高中數(shù)學(xué)教材中的“閱讀材料”內(nèi)容豐富、功能全面，教師應(yīng)當(dāng)認(rèn)真學(xué)習(xí)和研究，以它為參考進(jìn)行數(shù)學(xué)活動(dòng)，并引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí). 教師不但應(yīng)更新理念，培養(yǎng)全面的教學(xué)技能，還應(yīng)從不同的層次讓學(xué)生獲得多維立體的數(shù)學(xué)教育，讓學(xué)生感悟到數(shù)學(xué)的價(jià)值、文化和精神.

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)教育;數(shù)學(xué)素養(yǎng);閱讀材料;HPM教學(xué)

近幾年來(lái)，筆者通過(guò)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，許多教師在備課過(guò)程中，常常忽略了數(shù)學(xué)教材中的“小字部分”，即數(shù)學(xué)閱讀材料.他們認(rèn)為這些內(nèi)容“不重要”“不會(huì)考”，也“沒(méi)有時(shí)間講”，學(xué)生不必學(xué)，教師自然也不重視這些內(nèi)容，甚至從來(lái)沒(méi)有仔細(xì)研究過(guò). 其實(shí)，許多教師在備課過(guò)程中對(duì)教材上的考點(diǎn)下足了功夫，設(shè)計(jì)了各種教學(xué)提問(wèn)，討論了各種教學(xué)方式，就應(yīng)對(duì)考試而言，課程的重難點(diǎn)突破了，學(xué)生能牢記知識(shí)并應(yīng)用于解題了，但是就核心素養(yǎng)的全面培育及數(shù)學(xué)課程的教育功能而言，目標(biāo)是沒(méi)有達(dá)到的. 這樣的數(shù)學(xué)課堂和數(shù)學(xué)教育是應(yīng)試的，是孤立片面的，未能對(duì)學(xué)生的可持續(xù)發(fā)展和終身學(xué)習(xí)創(chuàng)造條件. 筆者認(rèn)為，重視數(shù)學(xué)教材上的閱讀材料，探尋多維立體的數(shù)學(xué)教育勢(shì)在必行.

數(shù)學(xué)課程的教育目標(biāo)是多維的

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017版）》明確指出了數(shù)學(xué)課程的目標(biāo)應(yīng)當(dāng)是多維的：第一維度，要讓學(xué)生獲得“四基”，提高“四能”;第二維度，要能讓學(xué)生發(fā)展數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析等核心素養(yǎng);第三維度，更長(zhǎng)遠(yuǎn)地，通過(guò)高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生能提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，發(fā)展自主學(xué)習(xí)的能力，不斷提高實(shí)踐能力，提升創(chuàng)新意識(shí)，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值、應(yīng)用價(jià)值、文化價(jià)值和審美價(jià)值.

不難理解，在“應(yīng)試教育”固化思想的影響下，不少教師對(duì)數(shù)學(xué)教材的理解比較狹隘，他們研讀教材的重點(diǎn)只放在概念、公式和習(xí)題上，因此對(duì)數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的認(rèn)識(shí)也比較局限，教學(xué)目標(biāo)常常只能夠達(dá)到第一維度和第二維度，能上升到第三維度的數(shù)學(xué)教學(xué)并不多見(jiàn). 事實(shí)上，全面認(rèn)真地研究數(shù)學(xué)教材的所有知識(shí)內(nèi)容后不難發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)閱讀材料上的許多教學(xué)資源，能夠讓數(shù)學(xué)課程教育的多維目標(biāo)得以實(shí)現(xiàn).

要在數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中實(shí)現(xiàn)多維的教育目標(biāo)，教師應(yīng)當(dāng)仔細(xì)研究數(shù)學(xué)教材上的閱讀材料，這能讓教師打開(kāi)思路，從更系統(tǒng)、更廣闊的角度理解數(shù)學(xué)知識(shí)，能用更高效、更直觀的技術(shù)手段制作教學(xué)資源，能以更加多樣和科學(xué)的方式來(lái)進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)，這樣的數(shù)學(xué)教育對(duì)學(xué)生才是多維立體的.

數(shù)學(xué)閱讀材料的德育功能

立德樹(shù)人是教育的根本任務(wù)，數(shù)學(xué)教材上的許多閱讀材料能夠發(fā)揮數(shù)學(xué)德育教育的功能.

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017版）》中指出，數(shù)學(xué)課程要注重?cái)?shù)學(xué)文化的滲透.在閱讀材料中，不少有關(guān)數(shù)學(xué)家克服重重困難取得數(shù)學(xué)成就造福人類(lèi)的史料.如《必修2》中的“歐幾里得《原本》與公理化方法”和“笛卡爾與解析幾何”，《選修4-4》中的“笛卡爾、費(fèi)馬與坐標(biāo)方法”，《選修4-5》中的“法國(guó)科學(xué)家柯西”，等等. 需要注意的是，閱讀材料中也特別介紹了許多中國(guó)自古以來(lái)的數(shù)學(xué)家為人類(lèi)科學(xué)發(fā)展所做的貢獻(xiàn)，如《必修5》中的“海倫與秦九韶”，《必修2》中的“祖暅原理與柱體、椎體、球體的體積”和“坐標(biāo)法與機(jī)器證明”，《必修3》中的“割圓術(shù)”，《選修2-3》中的“‘楊輝三角中的一些秘密”，等等. 學(xué)生通過(guò)對(duì)材料的閱讀，在增長(zhǎng)知識(shí)見(jiàn)識(shí)的同時(shí)，能夠感悟數(shù)學(xué)的歷史文化，能夠從數(shù)學(xué)家身上學(xué)習(xí)不屈不撓的科學(xué)奮斗精神，能夠看到中國(guó)數(shù)學(xué)的發(fā)展在人類(lèi)科學(xué)發(fā)展史中的重要地位，能夠大大增強(qiáng)文化自信心. 另外，通過(guò)延伸閱讀，學(xué)生還能了解老一輩數(shù)學(xué)家和科學(xué)工作者為祖國(guó)的建設(shè)和發(fā)展而不懈奮斗的故事，激發(fā)學(xué)生的愛(ài)國(guó)熱情，從而樹(shù)立堅(jiān)定的理想信念，立志肩負(fù)起民族復(fù)興的時(shí)代重任.

數(shù)學(xué)閱讀材料的教學(xué)功能

筆者通過(guò)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，在人教A版普通高中數(shù)學(xué)教材中，數(shù)學(xué)閱讀材料主要分為“閱讀與思考”“信息技術(shù)應(yīng)用”“探究與發(fā)現(xiàn)”“實(shí)習(xí)作業(yè)”等欄目.在高考考綱范圍內(nèi)的必修與選修教材中，數(shù)學(xué)閱讀材料有80余項(xiàng)，內(nèi)容涉及數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)文化、信息技術(shù)在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用、數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)、研究性學(xué)習(xí)等方面.

1. 拓展和深化知識(shí)內(nèi)容

在教材中，許多閱讀材料就數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)作了補(bǔ)充和進(jìn)一步深化，并引導(dǎo)學(xué)生對(duì)所學(xué)內(nèi)容進(jìn)行更深層次的思考和探索.

例如，在《必修5》的“正弦定理和余弦定理”這一節(jié)中，學(xué)生已經(jīng)知道正弦定理和余弦定理分別從定量的角度確定一個(gè)三角形的四種條件. 同時(shí)學(xué)生在計(jì)算過(guò)程中又發(fā)現(xiàn)，在已知三角形兩邊及其中一邊對(duì)角的情況下，用正弦定理解出來(lái)的三角形可能不唯一，有時(shí)有兩解，有時(shí)只有一解，有時(shí)卻無(wú)解. 那么什么時(shí)候是兩解，什么時(shí)候是一解，什么時(shí)候是無(wú)解呢？這一節(jié)末尾的“解三角形的進(jìn)一步討論中”，閱讀材料引導(dǎo)學(xué)生探索和總結(jié)了這三種情況發(fā)生的條件：

已知三角形的a，b，A，那么：

（1）如果已知的A是鈍角或直角，有一個(gè)解;

（2）如果已知的A是銳角，并且a>b或者a=b，有一個(gè)解;

（3）如果已知的A是銳角，并且a

①如果a>bsinA，有兩個(gè)解;

②如果a=bsinA，有一個(gè)解;

③如果a

通過(guò)細(xì)致的分析，使得學(xué)生在解三角形的過(guò)程中條理更加清晰，運(yùn)算更加有效.

諸如此類(lèi)的數(shù)學(xué)閱讀材料在教材中還有很多，如《必修1》的“集合中元素的個(gè)數(shù)”，《必修3》的“相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)與弱”，等等. 事實(shí)證明，在教師的積極引導(dǎo)和鼓勵(lì)下，數(shù)學(xué)閱讀材料中的許多內(nèi)容學(xué)生是可以自行學(xué)習(xí)和探究的. 在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生的“四基”得到了進(jìn)一步鞏固，“四能”獲得了進(jìn)一步提升，學(xué)生的數(shù)學(xué)閱讀能力、理解能力和自學(xué)能力可以得到很大的提高，能夠大大幫助學(xué)生樹(shù)立學(xué)習(xí)自信心.

2. 培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)和數(shù)學(xué)應(yīng)用能力

實(shí)際生活中，在工業(yè)設(shè)計(jì)、經(jīng)濟(jì)設(shè)計(jì)或任何其他設(shè)計(jì)中會(huì)運(yùn)用到數(shù)學(xué)的語(yǔ)言和方法，就是數(shù)學(xué)建模. 《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017版）》明確指出，數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)與數(shù)學(xué)探究活動(dòng)是高中數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的四條主線之一. 在人教A版高中數(shù)學(xué)教材中，不少閱讀材料從多個(gè)角度培養(yǎng)學(xué)生的建模素養(yǎng)、應(yīng)用能力和創(chuàng)新意識(shí).

首先，教材中的許多閱讀材料介紹了學(xué)生所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)在實(shí)際生活中的應(yīng)用，例如，《必修4》中的“三角學(xué)與天文學(xué)”，《選修2-1》中的“圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)及其應(yīng)用”，等等. 這些材料使學(xué)生深切體會(huì)數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值和應(yīng)用價(jià)值.

其次，數(shù)學(xué)建模需要信息技術(shù)的輔助. 在“信息技術(shù)應(yīng)用”和“探索與發(fā)現(xiàn)”等閱讀材料中，常常使用幾何畫(huà)板與Excel等軟件進(jìn)行繪圖、建模、計(jì)算和分析. 筆者發(fā)現(xiàn)，盡管現(xiàn)代教育技術(shù)是教師教學(xué)活動(dòng)的必備技能，但是閱讀材料也十分鼓勵(lì)學(xué)生參與信息技術(shù)活動(dòng). 如果學(xué)校有條件的話，不只要學(xué)生“看數(shù)學(xué)”，更要學(xué)生“做數(shù)學(xué)”. 例如，在《必修1》的“借助信息技術(shù)探究指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)”中，學(xué)生可以在教師指導(dǎo)下制作教學(xué)資源，觀察和展示當(dāng)?shù)讛?shù)a變化時(shí)的函數(shù)圖像變化，總結(jié)出指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，從而成為課堂真正的主人翁.

另外，教材中的許多“探索與發(fā)現(xiàn)”和“實(shí)習(xí)作業(yè)”，都鼓勵(lì)學(xué)生參與實(shí)際的數(shù)學(xué)建模和研究性學(xué)習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問(wèn)題. 例如，《必修1》中“物體在常溫環(huán)境下溫度變化的冷卻模型”是一個(gè)很好的數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)活動(dòng).材料給出了牛頓提出的冷卻模型函數(shù)θ=θ0+（θ1-θ0）·e-kt，但沒(méi)有給出常數(shù)k的值. 學(xué)生可以通過(guò)動(dòng)手測(cè)量，利用函數(shù)模型求出k的值. 若利用信息技術(shù)建模，研究過(guò)程會(huì)更加高效，數(shù)據(jù)會(huì)更加可靠.在整個(gè)研究過(guò)程中，學(xué)生完善和驗(yàn)證了函數(shù)模型，體會(huì)了函數(shù)模型在生活中的真切應(yīng)用，進(jìn)而提出更多的問(wèn)題. 例如，“這個(gè)函數(shù)模型同樣適用于固體、液體和氣體嗎？”“這個(gè)函數(shù)模型適用的溫度范圍是多少？”等等. 從而引發(fā)更深層的思考和研究.

3. 培育數(shù)學(xué)史觀

在現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育理論中，HPM已經(jīng)發(fā)展成為一個(gè)十分活躍的國(guó)際數(shù)學(xué)教育研究領(lǐng)域. 教材中的許多閱讀材料都滲透了厚重的數(shù)學(xué)歷史文化.

例如，在人教A版《必修1》的“對(duì)數(shù)函數(shù)”一節(jié)中，對(duì)數(shù)概念是用指數(shù)冪的運(yùn)算給出的，這樣的設(shè)計(jì)固然簡(jiǎn)潔而便于學(xué)生記憶，但是在此基礎(chǔ)上介紹常用對(duì)數(shù)和自然對(duì)數(shù)這兩個(gè)“特殊”的對(duì)數(shù)，對(duì)學(xué)生而言也顯得突兀了，常用對(duì)數(shù)“常用”在哪兒？e是怎么來(lái)的？為什么以e為底的對(duì)數(shù)比較特殊？這一系列問(wèn)題都會(huì)在學(xué)生的腦海中盤(pán)旋. 此時(shí)，若教師能夠引導(dǎo)學(xué)生閱讀和研究本節(jié)末尾的“閱讀與思考”，學(xué)生會(huì)驚奇地發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)史上對(duì)數(shù)的發(fā)明并沒(méi)有利用指數(shù)與對(duì)數(shù)的互逆關(guān)系. 對(duì)數(shù)的發(fā)明，其實(shí)是在天文、航海、工程等領(lǐng)域的發(fā)展中為了將大數(shù)化小數(shù)的簡(jiǎn)便運(yùn)算，在這種“化小”和“化簡(jiǎn)”的思想影響下，常用對(duì)數(shù)和自然對(duì)數(shù)的地位才顯得尤為“尊貴”. 當(dāng)然，為了讓學(xué)生在數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)文化的熏陶下獲得多元的發(fā)展，教師可以開(kāi)設(shè)趣味小講座，介紹e的由來(lái)和它的廣泛應(yīng)用，帶領(lǐng)學(xué)生制作簡(jiǎn)易的計(jì)算尺（如圖1），等等.

教材中的許多閱讀材料都涉及數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生和發(fā)展，或用文字材料加以介紹，或鼓勵(lì)學(xué)生通過(guò)實(shí)習(xí)作業(yè)的方式去查閱和收集資料，引導(dǎo)學(xué)生站在數(shù)學(xué)史觀和數(shù)學(xué)文化觀的新高度認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)，如《《選修1-1》的“走進(jìn)微積分”，《選修2-2》的“代數(shù)基本定理”，等等. 這些材料不但適合高中生閱讀，也適合廣大的數(shù)學(xué)愛(ài)好者們閱讀，是數(shù)學(xué)普及的優(yōu)質(zhì)資源.

合理利用數(shù)學(xué)教材的閱讀材料，探尋多維立體的數(shù)學(xué)教育

數(shù)學(xué)教材上的閱讀材料內(nèi)容豐富，功能強(qiáng)大，教師既要重視研究，更要合理利用. 平時(shí)既有備考任務(wù)，教學(xué)課時(shí)數(shù)量也有限，那應(yīng)當(dāng)怎樣發(fā)揮數(shù)學(xué)閱讀材料的積極作用呢？筆者有一些建議，如：

1. 鼓勵(lì)HPM視角下的教學(xué)設(shè)計(jì)，將數(shù)學(xué)歷史文化教育融入教學(xué)過(guò)程中.這需要教師不拘泥于傳統(tǒng)，多思考，多探討，敢于創(chuàng)新，敢于重構(gòu).

2. 適當(dāng)開(kāi)設(shè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課，使學(xué)生感受“做數(shù)學(xué)”的快樂(lè). 在有條件的情況下，教師多鉆研現(xiàn)代教育技術(shù)在數(shù)學(xué)課堂中的應(yīng)用，引入或者開(kāi)發(fā)數(shù)學(xué)小實(shí)驗(yàn)，讓學(xué)生參與互動(dòng)，領(lǐng)略直觀的、動(dòng)態(tài)的數(shù)學(xué).

3. 將數(shù)學(xué)閱讀材料作為校本課程開(kāi)發(fā)的一部分. 若要充分地、系統(tǒng)地利用數(shù)學(xué)閱讀材料，可集合教師的集體智慧，將其制作成為校本課程，有計(jì)劃、有特色地實(shí)施和推廣，既可開(kāi)設(shè)小講座、小課堂普惠于學(xué)生，也可制作資源庫(kù)普惠于教師.

4. 可借助研究性學(xué)習(xí)活動(dòng)或創(chuàng)客比賽等契機(jī)推廣數(shù)學(xué)閱讀材料. 數(shù)學(xué)閱讀材料中有很多探究性的學(xué)術(shù)問(wèn)題，也有很多數(shù)學(xué)知識(shí)在解決實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用. 學(xué)生在探究性學(xué)習(xí)活動(dòng)或創(chuàng)客比賽中可以此為基礎(chǔ)參考選題，既鍛煉了學(xué)生的實(shí)踐能力，也培養(yǎng)了他們的創(chuàng)新意識(shí).

在黨的十九大報(bào)告中，習(xí)近平總書(shū)記指出，“建設(shè)教育強(qiáng)國(guó)是中華民族偉大復(fù)興的基礎(chǔ)工程，必須把教育事業(yè)放在優(yōu)先位置，加快教育現(xiàn)代化，辦好人民滿意的教育”. 在新時(shí)代深化教育改革的背景下，教師應(yīng)當(dāng)具有現(xiàn)代化的教育理念，賦有現(xiàn)代化的教育技術(shù)，切勿犯經(jīng)驗(yàn)主義錯(cuò)誤，這就需要教師多思考、多學(xué)習(xí)和多研究. 高中數(shù)學(xué)教材中的閱讀材料兼具科學(xué)性、教育性和趣味性，無(wú)論數(shù)學(xué)教材的版本怎樣更新，數(shù)學(xué)閱讀材料的內(nèi)容怎樣改變，它都是教師提升教學(xué)能力的好幫手，也是學(xué)生培養(yǎng)綜合素質(zhì)的好資源.教師應(yīng)當(dāng)認(rèn)真研究，合理利用，主動(dòng)創(chuàng)新，給予學(xué)生多維立體的數(shù)學(xué)教育. 在此基礎(chǔ)上，教師還可以開(kāi)發(fā)更多的數(shù)學(xué)閱讀資源，讓學(xué)生領(lǐng)略數(shù)學(xué)王國(guó)的精彩與奇妙！