[摘 ?要] “再創(chuàng)造”是弗賴登塔爾關(guān)于數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的重要思想，體現(xiàn)于“與其說引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，不如說引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)‘?dāng)?shù)學(xué)化;與其說引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)公理系統(tǒng)，不如說引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)‘公理化;與其說引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)形式體系，不如說引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)‘形式化”內(nèi)涵中. 這里，闡述“再創(chuàng)造”教學(xué)原則在課堂教學(xué)中的實施條件、所要注意事項與“發(fā)現(xiàn)法”教學(xué)的關(guān)系等要素，目的在于利用“再創(chuàng)造”思想，最大限度地實現(xiàn)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)有效性.

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)課堂教學(xué);弗賴登塔爾;“再創(chuàng)造”

數(shù)學(xué)教學(xué)所要傳授的數(shù)學(xué)知識相對固定，其最低要求的限度，已經(jīng)寫入了相應(yīng)的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn). 但是，通過何種手段來傳授已經(jīng)設(shè)定了的數(shù)學(xué)知識，卻非固定不變，它隨著教師所持有數(shù)學(xué)教學(xué)觀念不同，挖掘出的數(shù)學(xué)知識的教學(xué)價值不同，預(yù)設(shè)的課堂教學(xué)目標(biāo)不同，獲得的教學(xué)經(jīng)驗不同;對數(shù)學(xué)知識性質(zhì)的理解不同，對學(xué)生發(fā)生具體數(shù)學(xué)知識的認(rèn)識心理活動過程揣測的擬合程度不同，存在著多種選擇余地. 不同的教學(xué)設(shè)計對發(fā)揮數(shù)學(xué)知識的教學(xué)價值、實現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)，即促成學(xué)生發(fā)展的結(jié)果大相徑庭、迥然有別[1]. 弗賴登塔爾（以下簡稱“弗氏”）認(rèn)為最為有效的數(shù)學(xué)教學(xué)就是“再創(chuàng)造”形式的課堂教學(xué)活動，筆者通過仔細閱讀弗賴登塔爾的數(shù)學(xué)教育著作，結(jié)合自己多年的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)經(jīng)驗，由此認(rèn)識到，“再創(chuàng)造”形式的數(shù)學(xué)教學(xué)是提高課堂教學(xué)有效性的特別重要的途徑.

實施“再創(chuàng)造”數(shù)學(xué)教學(xué)原則的主客觀基礎(chǔ)

“再創(chuàng)造”形式課堂教學(xué)的客觀基礎(chǔ)是數(shù)學(xué)知識形成過程的本身. 弗氏認(rèn)為，數(shù)學(xué)是最為古老的學(xué)科，在數(shù)學(xué)知識的起源處，都是來源于實際生活與生產(chǎn)中的問題，比如尼羅河的定期泛濫，引起了田界的劃分，產(chǎn)生了測地術(shù)，最終形成平面幾何知識. 由此可知，數(shù)學(xué)是在與生活聯(lián)系中創(chuàng)造的一門學(xué)科，數(shù)學(xué)知識實際上是人們常識的系統(tǒng)化. 因此，一個具有數(shù)學(xué)頭腦的聰明學(xué)生在用心學(xué)習(xí)揣測客觀事物的數(shù)量關(guān)系與空間形式的活動中，就可以“再創(chuàng)造”出許多具有數(shù)學(xué)特點的知識;一般學(xué)生在教師或其他同學(xué)的幫助或影響下，也可以與那些聰明的同學(xué)一樣地做到這一點.

數(shù)學(xué)史料所展現(xiàn)的另一面是，抽象性、結(jié)構(gòu)性的原創(chuàng)數(shù)學(xué)知識的發(fā)現(xiàn)主要是數(shù)學(xué)家，這些數(shù)學(xué)知識都是數(shù)學(xué)家獨立鉆研數(shù)學(xué)化信息的聯(lián)系而創(chuàng)造出來的，并非是經(jīng)由教科書或數(shù)學(xué)知識的傳遞取得的;因此，每個主體都可以如數(shù)學(xué)家一樣，在自己處理外在數(shù)學(xué)化信息中，憑借自己的數(shù)學(xué)現(xiàn)實、依靠自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)、根據(jù)自己的學(xué)習(xí)經(jīng)驗、使用自己思維方式，重新走一遍原創(chuàng)者的那個具體數(shù)學(xué)知識的數(shù)學(xué)家的心路歷程中的那幾個關(guān)鍵性環(huán)節(jié)，從而“再創(chuàng)造”出這個具體的數(shù)學(xué)知識.

“再創(chuàng)造”形式課堂教學(xué)的主觀基礎(chǔ)是學(xué)生所擁有的智力活動及其形成了的數(shù)學(xué)現(xiàn)實. 弗氏以為，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)當(dāng)依據(jù)學(xué)生所存有的具體數(shù)學(xué)現(xiàn)實而進行，不應(yīng)該只靠教師或教科書（課程標(biāo)準(zhǔn)）所安排的教學(xué)內(nèi)容為依據(jù). 弗氏強烈地反對在數(shù)學(xué)教學(xué)中，絕對地以教科書或者教師所安排的教學(xué)內(nèi)容為數(shù)學(xué)教學(xué)的中心的那種教學(xué)途徑，反對在數(shù)學(xué)教學(xué)中無視學(xué)生的具體心理特點或個性心理前提而進行抽象地教學(xué)活動. 弗氏認(rèn)為，數(shù)學(xué)教學(xué)活動應(yīng)該是將教師使用教科書按部就班地教，轉(zhuǎn)化為學(xué)生依據(jù)自己具體的數(shù)學(xué)現(xiàn)實地學(xué).

弗氏還特別重視教師與學(xué)生組成的集體的作用，強調(diào)數(shù)學(xué)教學(xué)必須要依靠社會的具體活動，必須聯(lián)系學(xué)生日常生活的現(xiàn)實實際的背景，注意培養(yǎng)與發(fā)展學(xué)生從社會需要、生產(chǎn)實踐的現(xiàn)象中的數(shù)學(xué)化信息里提出具有數(shù)學(xué)背景的問題，從而在這些問題的刺激下，將數(shù)學(xué)化信息組織成高一級數(shù)學(xué)背景的材料，從而提出高一級的數(shù)學(xué)問題. 弗氏經(jīng)由此設(shè)想充分地證明了數(shù)學(xué)教師必須將數(shù)學(xué)“再創(chuàng)造”作為一項重要的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)原則，并將這一原則貫穿于整個數(shù)學(xué)教學(xué)過程中去[2].

如此，就從主觀與客觀這兩個對立的方面論述了數(shù)學(xué)教學(xué)必須依據(jù)“再創(chuàng)造”的途徑展開，這既是作為客觀的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)擴展的需要，同時又是作為學(xué)生發(fā)生數(shù)學(xué)知識認(rèn)識時的心理結(jié)構(gòu)擴展的需要，而兩項需要的聯(lián)系就構(gòu)成了利用數(shù)學(xué)知識促使學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)發(fā)展的最佳途徑，“再創(chuàng)造”的數(shù)學(xué)教學(xué)原則是實現(xiàn)這種途徑的最佳體現(xiàn). 利用弗氏自己的話說，“（這就是）促使學(xué)生從被動的感覺效應(yīng)轉(zhuǎn)變?yōu)樗季S活動的主動的運動效應(yīng)”過程的實現(xiàn).

實施“再創(chuàng)造”數(shù)學(xué)教學(xué)原則的條件

從前述的分析中，我們認(rèn)識到，從主客觀及其聯(lián)系上來說，“再創(chuàng)造”數(shù)學(xué)教學(xué)原則對于提高數(shù)學(xué)教學(xué)的有效性都非常重要，這是毋庸置疑的. 然后，理論上的構(gòu)想是一回事，實踐中的趨近卻又是一回事. 對此，弗氏對此也非常清晰地認(rèn)識到了. 他說，“通常的數(shù)學(xué)教學(xué)活動，數(shù)學(xué)常常被作為一個已經(jīng)完成了的形式理論來實現(xiàn)，開始時是定義、公理、符號，接著是各種規(guī)律與算法、分析具體問題的途徑導(dǎo)向問題的解決，教師在課堂教學(xué)中的任務(wù)就是舉出合適的例題、給予合理的講解;學(xué)生的學(xué)習(xí)任務(wù)就是模仿、復(fù)制、記誦. ”弗氏說，“這正好是數(shù)學(xué)教學(xué)法的顛倒”，即正好形成與“再創(chuàng)造”數(shù)學(xué)教學(xué)原則相反的方向，一定會泯滅學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的聰明才智的，進而導(dǎo)致學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)難以為繼的后果.

首先，弗氏（其他的教育家，如布魯納、奧蘇貝爾、波利亞也都是如此）認(rèn)為，數(shù)學(xué)知識的發(fā)生過程應(yīng)該是依憑學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實與學(xué)生直覺思維的整合，從面臨的外在數(shù)學(xué)化信息進行選擇，找出支點信息，再由支點信息將外圍信息吸附到支點信息的周圍，從而形成有層次的信息，基于信息輪廓作出猜想，然后再證實這種猜想[3]. 如果正確就形成了數(shù)學(xué)知識，如果不正確，就會重新再走一次上述的過程. 如此，這就與數(shù)學(xué)教科書的編制，與不少數(shù)學(xué)教師的設(shè)計的教學(xué)途徑的真實過程是相反的，因此，數(shù)學(xué)教師必須與這種類型的教科書的提示、與自己平時所養(yǎng)成的教學(xué)習(xí)慣進行決裂，這是實現(xiàn)“再創(chuàng)造”數(shù)學(xué)教學(xué)原則的一項非常重要的條件.

其次，為了傳遞數(shù)學(xué)知識，數(shù)學(xué)家使用了數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)語言（主要是文辭語言、符號語言與圖形語言，當(dāng)然，這些標(biāo)準(zhǔn)語言的實現(xiàn)有一個漫長的選擇與拋棄的過程，然而，數(shù)學(xué)教科書與數(shù)學(xué)教師都不可能在自己的數(shù)學(xué)教學(xué)中敘述這種關(guān)于數(shù)學(xué)語言的選擇過程）進行相應(yīng)的表達. 然而，這些表達的結(jié)論恰恰是數(shù)學(xué)家通過直覺思維的邏輯表達的結(jié)果，是為了使數(shù)學(xué)知識系統(tǒng)化與說服同行而引進的字斟句酌的形式. 如果數(shù)學(xué)教師在自己的教學(xué)活動過程中，也就是不加更改地使用這樣的語言進行教學(xué)活動，那么學(xué)生不會領(lǐng)悟到，不僅數(shù)學(xué)定理、公理、性質(zhì)、法則、規(guī)律等，而且就是數(shù)學(xué)定義也可以包括在學(xué)生能夠重新創(chuàng)造的范圍以內(nèi). 這就會極大地損失數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的有效性. 于是，數(shù)學(xué)教師應(yīng)該做出合適地處理，力圖將這種觀念顛倒過來，這是實現(xiàn)“再創(chuàng)造”數(shù)學(xué)教學(xué)原則的另一項非常重要的條件.

再次，實現(xiàn)“再創(chuàng)造”數(shù)學(xué)教學(xué)原則的第三項條件是，弗氏寫道，“把數(shù)學(xué)教育作為一個活動過程來加以分析，在整個班級活動中，學(xué)生應(yīng)該處于一種積極的創(chuàng)造的心理狀態(tài). ”教師一定要發(fā)揮自己的課堂教學(xué)的主導(dǎo)作用，教師要想方設(shè)法地調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性、學(xué)習(xí)熱情，促使學(xué)生首先對這個過程產(chǎn)生興趣，從而愿意參與這個學(xué)習(xí)過程，感受到這個創(chuàng)造過程就是展示自己的能力的場所，是自己所需要的. 然后，啟發(fā)學(xué)生全方位地接觸優(yōu)化了的數(shù)學(xué)化信息，通過自己的思維活動，形成數(shù)學(xué)概念等數(shù)學(xué)知識，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律.

行文至此，我們可以對于施行“再創(chuàng)造”數(shù)學(xué)教學(xué)原則的條件進行相關(guān)的總結(jié)了，這里還是以弗氏自己的語言來結(jié)束提高數(shù)學(xué)課堂教學(xué)有效性的條件的討論，弗氏寫道，“（教師選擇數(shù)學(xué)化信息的方式提出了合適的初始問題以后）教師就已經(jīng)為學(xué)生創(chuàng)造出了自由廣闊的學(xué)習(xí)天地，接下來就可以不動聲色地聽任各種不同的思維、不同的探究方法自由產(chǎn)生、選擇，從而發(fā)揮發(fā)生知識認(rèn)識的作用. 對此，教師絕不可對于關(guān)于這個知識點的教學(xué)內(nèi)容設(shè)置限制，更不應(yīng)該對學(xué)生的發(fā)現(xiàn)過程中的環(huán)節(jié)與途徑設(shè)計任何預(yù)制的‘圈套. ”[4]

“再創(chuàng)造”教學(xué)原則與“發(fā)現(xiàn)法”教學(xué)方法的區(qū)別與聯(lián)系

為了探究“再創(chuàng)造”數(shù)學(xué)教學(xué)原則的特點，以達到認(rèn)識這種教學(xué)原則對于教學(xué)設(shè)計的指導(dǎo)作用，我們將基于“再創(chuàng)造”的數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計與目前數(shù)學(xué)課程與教育專家所倡議的、具有時代優(yōu)勢的教學(xué)方法——“發(fā)現(xiàn)法”數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計進行比較認(rèn)識. 由于前述的分析得到了結(jié)論，我們認(rèn)識到，“再創(chuàng)造”不僅是一種有價值的數(shù)學(xué)教學(xué)方法，更是一條重要的數(shù)學(xué)教學(xué)原則，利用這條教學(xué)原則，既可以實現(xiàn)一個知識點的具體教學(xué)，又可以在這條原則的指導(dǎo)下，實現(xiàn)某一個知識鏈條上的結(jié)構(gòu)性教學(xué);而“發(fā)現(xiàn)法”只是一種數(shù)學(xué)教學(xué)方法，它只能指導(dǎo)作為具有某種特點的數(shù)學(xué)知識點的教學(xué)活動. 因此，在格局上，“再創(chuàng)造”與“發(fā)現(xiàn)法”這兩者具有很大差別.

基于“再創(chuàng)造”教學(xué)原則的數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計是一種宏觀上的設(shè)計，在這種設(shè)計過程中，應(yīng)該結(jié)合具體教學(xué)內(nèi)容的結(jié)構(gòu)性，引入學(xué)生生活現(xiàn)實中或數(shù)學(xué)現(xiàn)實中的各種各樣的具體的例子，鼓勵學(xué)生使用自己數(shù)學(xué)現(xiàn)實中已經(jīng)存有的數(shù)學(xué)知識、學(xué)習(xí)經(jīng)驗、思維方式、認(rèn)知習(xí)慣分析數(shù)學(xué)化信息，從中提出問題、分析問題、解決問題，形成數(shù)學(xué)知識，從而保證從數(shù)學(xué)化信息到數(shù)學(xué)知識的發(fā)生過程中，主體能夠領(lǐng)悟其中的一些活的靈魂. 關(guān)于這一點，弗氏說道，“與其說引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，不如說引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)‘?dāng)?shù)學(xué)化;與其說引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)公理系統(tǒng)，不如說引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)‘公理化;與其說引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)形式體系，不如說引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)‘形式化.”[5]

弗氏所說的這三項“與其……不如……”的要義正是“再創(chuàng)造”數(shù)學(xué)教學(xué)原則的主旨之所在，因此，實現(xiàn)“再創(chuàng)造”數(shù)學(xué)教學(xué)原則的過程是一種宏觀整體的結(jié)構(gòu)性過程，它需要教師從一門數(shù)學(xué)知識的學(xué)科整體上加以考慮. 這門數(shù)學(xué)學(xué)科的基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)性（最好是現(xiàn)實生活中的）問題是什么？從這個結(jié)構(gòu)性問題中尋找解決問題的具體方法，在這種方法下可以產(chǎn)生怎樣的新的數(shù)學(xué)知識，這就是一種“數(shù)學(xué)化”過程;當(dāng)這個新知識產(chǎn)生之后，學(xué)生就會利用自己在數(shù)學(xué)現(xiàn)實中已經(jīng)掌握了的數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)經(jīng)驗，使用相關(guān)數(shù)學(xué)（文辭、符號或圖形）語言來加以表達，這就會促使學(xué)生形成“公理化”或“形式化”的過程.

關(guān)于“再創(chuàng)造”的說明，弗氏使用了“巨人的手”的例子，向?qū)W生提出的生活問題是，“昨晚外星巨人訪問我校，留下了一個巨大的手印. 今晚他還要來，我們給他坐的椅子應(yīng)該有多高？他用的新鉛筆應(yīng)該要多長？”學(xué)生在這個問題情境的刺激下，將會自行地開拓一系列的方法來解決問題，最終可以促使學(xué)生形成數(shù)學(xué)（幾何）知識——相關(guān)的比例理論及據(jù)此產(chǎn)生的相似形的成比例線段的關(guān)系. 學(xué)生發(fā)生的認(rèn)識結(jié)論及其方法的產(chǎn)生為進一步與他們自己數(shù)學(xué)現(xiàn)實中的數(shù)學(xué)知識結(jié)合起來，為“公理化”與“形式化”奠定了基礎(chǔ). 由此可以看到，弗氏的“再創(chuàng)造”數(shù)學(xué)教學(xué)原則，是從數(shù)學(xué)知識的結(jié)構(gòu)及其與學(xué)生發(fā)生數(shù)學(xué)知識認(rèn)識的心理結(jié)構(gòu)這兩個整體上聯(lián)系互動進行考慮的結(jié)果，而不是知識結(jié)構(gòu)中的某個環(huán)節(jié)上著眼的.

關(guān)于知識結(jié)構(gòu)某個環(huán)節(jié)上著眼的數(shù)學(xué)教學(xué)活動，設(shè)計得比較好的教學(xué)過程，應(yīng)該是“發(fā)現(xiàn)法”所能承載的問題. 因此，“發(fā)現(xiàn)法”數(shù)學(xué)教學(xué)需要數(shù)學(xué)教師瞄準(zhǔn)每個知識結(jié)構(gòu)中的每個有發(fā)現(xiàn)價值的關(guān)鍵性環(huán)節(jié)，然后，考慮設(shè)計合適的初始問題，引導(dǎo)學(xué)生對這個初始問題進行探究，形成猜想，論證這個猜想是真命題，形成數(shù)學(xué)知識，將這個知識納入學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實的知識結(jié)構(gòu)中去. 這就是“發(fā)現(xiàn)法”數(shù)學(xué)教學(xué)的完整過程.

因此，我們認(rèn)識到，“發(fā)現(xiàn)法”時常只限于某種有價值的狹隘的數(shù)學(xué)題材，它往往只是需要學(xué)生的某種具體數(shù)學(xué)方法的介入就可以解決問題. 在探究發(fā)現(xiàn)解決問題的過程中，學(xué)生未必發(fā)生其中所必需的數(shù)學(xué)思想，并且這種數(shù)學(xué)方法可能是教師課前設(shè)計好了的一個個問題構(gòu)成的“問題鏈”. 如此，教師就像是設(shè)置好了的“圈套”引導(dǎo)著學(xué)生的思維往里鉆，因此，在這種情況下，這樣的教學(xué)活動中學(xué)生的學(xué)習(xí)是被動的.

由此分析比較，我們認(rèn)識到，一方面，“再創(chuàng)造”數(shù)學(xué)教學(xué)原則下的教學(xué)活動與“發(fā)現(xiàn)法”教學(xué)活動是不可同日而語的. “再創(chuàng)造”數(shù)學(xué)教學(xué)最終可以實現(xiàn)弗氏的三個“與其……不如……”的結(jié)果，它是數(shù)學(xué)某門學(xué)科整體上有計劃、有目的、有步驟地設(shè)計問題，在解決問題建立知識結(jié)構(gòu)的一整套過程中，發(fā)生知識、形成方法、萌生觀念、建構(gòu)思想;而“發(fā)現(xiàn)法”只是在“再創(chuàng)造”的某個環(huán)節(jié)上設(shè)計問題，引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)，教師在使用“發(fā)現(xiàn)法”時稍有不慎，就會弄巧成拙，就會使數(shù)學(xué)課堂教學(xué)走向灌輸知識的道路.

另一方面，在實際數(shù)學(xué)課堂教學(xué)活動中，我們應(yīng)該將“再創(chuàng)造”教學(xué)原則下的數(shù)學(xué)教學(xué)與“發(fā)現(xiàn)法”數(shù)學(xué)教學(xué)這兩種途徑整合起來，發(fā)揮這兩者的優(yōu)勢，克服它們的缺點，既從宏觀上使用“再創(chuàng)造”做好教學(xué)的結(jié)構(gòu)性設(shè)計，又從微觀上使用“發(fā)現(xiàn)法”做好具體知識點的教學(xué)設(shè)計，從而促進這兩者相互扶助、相互為用、取長補短，才能最大限度地提高數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的有效性.

簡要結(jié)語

揣測與掌握學(xué)生發(fā)生數(shù)學(xué)知識認(rèn)識的心理過程是數(shù)學(xué)教師趨近解決如何實施教學(xué)設(shè)計問題的第一步，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)理論應(yīng)該建立在現(xiàn)實數(shù)學(xué)課堂教學(xué)實踐中所取得的證據(jù)，而不是建立在一些思辨的形而上學(xué)的基礎(chǔ)之上. 這些證據(jù)應(yīng)該通過教師針對具體的數(shù)學(xué)知識情況觀察所施教的學(xué)生、分析學(xué)生真實學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時的心理過程，才能掌握第一手資料，獲得真知灼見. 學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的心理過程包括兩方面：其一，整個教育教學(xué)系統(tǒng)中的學(xué)習(xí)過程，包括各級學(xué)生、小組、班級、教師以及觀察者自己的學(xué)習(xí)過程;其二，人類的學(xué)習(xí)過程，即人類整體數(shù)學(xué)知識的發(fā)展歷史[6]. “再創(chuàng)造”數(shù)學(xué)教學(xué)原則與“發(fā)現(xiàn)法”數(shù)學(xué)教學(xué)活動的優(yōu)勢組合是實現(xiàn)數(shù)學(xué)課堂有效性的可靠保證.

參考文獻：

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