雷 蕾 ，丁海春 ，軒 亮

（1.大連交通大學(xué)機械工程學(xué)院，遼寧 大連 116028；2.江漢大學(xué)機電與建筑工程學(xué)院，湖北 武漢 430056）

1 引言

近年來，我國高速鐵路技術(shù)取得長足的發(fā)展。國務(wù)院常務(wù)會議審議并原則通過《中長期鐵路網(wǎng)規(guī)劃》，為機車產(chǎn)業(yè)的加速研發(fā)提供了一個巨大的契機。牽引齒輪作為機車傳動裝置的核心組成部分，主要功能就是將牽引電動機的輸出扭矩傳遞給輪對，使機車能夠正常安全運行。故牽引齒輪嚙合的合理與否對機車振動噪音以及安全運行有很大的影響。目前齒輪的研制正朝著高速、重載的趨勢發(fā)展，但由于動載荷等因素產(chǎn)生的影響卻成為這種趨勢的絆腳石，造成這些問題的主要原因還是在于嚙合誤差，引起嚙合誤差的影響因素主要有兩個方面：（1）齒輪的制造誤差；（2）齒輪接觸受載后產(chǎn)生的彎曲、接觸等變形。齒輪的制造誤差主要包括基節(jié)誤差和齒形誤差，但目前的工業(yè)生產(chǎn)中已經(jīng)有很高效的手段將其控制在許可范圍內(nèi)，然而對于齒輪變形量的計算，在齒輪傳動過程中，齒輪受載情況比較復(fù)雜，計算也就比較復(fù)雜[1]，常用的齒輪變形量計算方法主要有數(shù)值計算法以及有限元法，有限元法雖然計算精度比較高，但不適合于參數(shù)化設(shè)計，將以一種比較便捷的方法即從嚙合剛度的角度出發(fā)計算牽引齒輪的變形量，為后續(xù)的齒廓修形打下基礎(chǔ)。

2 變形量計算的理論分析

2.1 嚙合剛度

齒輪綜合嚙合剛度的精確計算是進行輪齒修形、動態(tài)特性仿真、機械故障診斷及檢修以及齒輪參數(shù)優(yōu)化設(shè)計的重要基礎(chǔ)和首要前提。在進行齒輪修形時，嚙合剛度貫穿整個計算過程。一般情況下，齒輪的重合度都不為整數(shù)，在嚙合過程中同時參與嚙合的輪齒對數(shù)也是不斷變化的，并且隨時間呈周期性變化，這就導(dǎo)致齒輪輪齒從齒根到齒頂?shù)膹椥宰冃瘟刻幪幉煌?。與嚙合齒對數(shù)變化規(guī)律類似，輪齒彈性變形量也是隨時間變化的函數(shù)，同時也可以表征為載荷作用角的變化函數(shù)。

對于直齒圓柱齒輪，齒輪隨時間變化的嚙合齒對數(shù)與端面重合度εα有關(guān)。對于一個端面重合度為（1～2）之間的齒輪副，總可以將嚙合區(qū)域分為單齒嚙合區(qū)和雙齒嚙合區(qū)，而在雙齒嚙合區(qū)，由于兩對齒同時嚙合，綜合剛度就是兩對齒的剛度之和。由于單、雙對齒的交替運行，齒輪綜合嚙合剛度也是隨時間或載荷作用角變化的周期函數(shù)。圖中：B、D—單雙齒嚙合區(qū)的分界點；A、E—大、小齒輪的齒頂嚙合點；C—節(jié)點，如圖1所示。

圖1 單、雙對齒嚙合區(qū)的邊界條件劃分Fig.1 Boundary Conditions of Single and Double Mating Regions

關(guān)于齒輪嚙合剛度的計算，目前主要有3類計算方法：材料力學(xué)法、彈性力學(xué)法以及數(shù)值解析法。但近年來隨著計算機技術(shù)的發(fā)展，有限元法越來越頻繁地被諸多專家學(xué)者應(yīng)用于齒輪動力學(xué)研究中，從理論角度來看，材料力學(xué)法還是應(yīng)用最廣泛的一類方法，而其杰出代表：石川公式也廣泛的應(yīng)用于直齒輪嚙合剛度的計算中。

直齒輪的嚙合剛度可以根據(jù)石川公式求得，由于齒輪輪齒外形較為復(fù)雜，石川法就把它簡化為簡支梁，也就是一個梯形加上矩形的模型組合，如圖2所示。從而解得輪齒各部分的變形。

齒輪輪齒變形主要包括當(dāng)量齒形中矩形部分和梯形部分中的彎曲變形、剪切變形、基體彈性傾斜產(chǎn)生的變形以及齒輪對接觸變形等，可以視為這些變形的綜合。矩形部分的彎曲變形用符號δwj表示，梯形部分的彎曲變形為δwt，接觸變形用δh表示，剪切變形為δS，基體彈性傾斜產(chǎn)生的變形為δG，總變形為δz，式中各變形量單位均為μm[2]。

圖2 石川算法模型Fig.2 Ishikawa Algorithm Model

矩形以及梯形部分的彎曲變形公式可以根據(jù)彎矩公式結(jié)合卡氏定理推導(dǎo)出[2]，如下：

式中：wm—齒寬方向的平均線載荷；v—泊松比；E—齒輪材料彈性模量；h—齒輪輪齒高度；hx—嚙合點高度，模型，如圖3所示。wx—載荷作用角，數(shù)學(xué)模型，如圖4所示。可以根據(jù)壓力角αx求得，具體公式如下：

剪切變形公式也可以以虛功原理為基礎(chǔ)推導(dǎo)得出：

圖3 嚙合點高計算Fig.3 Calculation of Meshing Point

圖4 載荷作用角計算模型Fig.4 Load Angle Calculation Model

對于齒輪的接觸變形，需要考慮到主、從動齒輪接觸線處的曲率半徑，而曲率半徑可以根據(jù)Hertz公式求出。一對漸開線齒輪嚙合，其輪齒齒廓的接觸，可以看做是以兩齒廓在接觸點處的曲率半徑的兩圓柱體相接觸，如圖5所示。

假設(shè)接觸線寬度設(shè)為2s，ρ1，ρ2分別為主、從動齒輪接觸線處的曲率半徑，由赫茲接觸理論可知：

由此可以推導(dǎo)出接觸變形的公式[2]：

圖5 赫茲接觸模型Fig.5 Hertz Contact Model

基體彈性傾斜產(chǎn)生的變形可以根據(jù)參考文獻[2]利用彎矩以及半無限彈性體平面彈性力學(xué)分析推導(dǎo)得出。

對于斜齒圓柱齒輪，它的輪齒嚙合過程是從輪齒的一端開始，然后逐漸擴展到整個齒面，最后從齒輪的另一端完全退出嚙合，這種漸變的形態(tài)直接決定斜齒輪在n和n+1對齒嚙合交替不再是突變的，也決定斜齒輪的時變嚙合剛度變化規(guī)律在本質(zhì)是與直齒輪有很大的差別，直齒輪在單雙齒交替嚙合時會出現(xiàn)階躍性變化，而斜齒輪則是圍繞某個值較小范圍地上下浮動。由斜齒輪嚙合原理可知齒輪的單對齒有效接觸線長度先增加，然后保持一段時間，最后逐漸降低到0，直至退出嚙合。

對斜齒輪嚙合剛度的求解方法國內(nèi)外專家學(xué)者也進行了大量的研究，但由于斜齒輪結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性，包括端面和法面的存在，目前沒有準(zhǔn)確、統(tǒng)一的計算公式或標(biāo)準(zhǔn)，主流的方法有2種：①先根據(jù)公式得到局部嚙合剛度，進而通過離散點的求和得到最終的嚙合剛度曲線；②利用傅里葉級數(shù)的擬合。

局部嚙合剛度：

式中：fbj（ikS）—彎曲變形影響系數(shù)—高斯求積公式系數(shù)；fcj（ikS）—接觸變形影響系數(shù)；P（jkS）—第j對齒作用于嚙合位置S，作用在接觸線任意K點的力的大小。

單對齒嚙合剛度：

但參照斜齒輪嚙合剛度變化曲線可知，其曲線可以通過傅里葉級數(shù)擬合出來[3]。通常先計算出剛度的峰值以及平均值，再根據(jù)嚙合頻率將剛度曲線近似為周期函數(shù)，略去高階項即為擬合后的剛度曲線：

式中：km—平均剛度；kl—剛度峰值；φj—對應(yīng)的相位角；wn—輪齒嚙合的圓周頻率，具體計算公式如下：

式中：n1—主動輪轉(zhuǎn)速；z1—主動輪齒數(shù)。

2.2 齒間載荷分配

對于重合度在（1～2）之間的齒輪而言，嚙合過程始終處于單雙齒交替嚙合。在單齒嚙合區(qū)僅有一對齒參與嚙合，輪副傳遞的載荷由這對齒全部承擔(dān)，故不存在載荷的分配問題，而在雙齒嚙合區(qū)，載荷則由兩對齒共同承擔(dān)，齒間載荷分配問題可以利用動力學(xué)等效為同時相并聯(lián)的兩根彈簧共同承擔(dān)載荷的分配問題[4]，因為輪齒嚙合剛度是時變的，故載荷分配系數(shù)也是時變的。載荷分配比例公式如下：

式中：φ1、φ2—雙齒嚙合區(qū)同時參與嚙合的齒對1和齒對2的載荷分配比例；k1、k2—嚙合齒對1和嚙合齒對2的綜合嚙合剛度；Δ1、Δ2—齒對1和齒對2的修形量大?。粀m—齒寬方向平均單位線載荷。

根據(jù)牛頓第三定律作用力與反作用力可知，同一嚙合對中主、從動齒輪承擔(dān)的載荷大小一樣。由于齒輪轉(zhuǎn)矩在功率和轉(zhuǎn)速都確定的情況下恒為定值，故總載荷大小保持不變，雙齒嚙合區(qū)同時嚙合的兩齒對也滿足力的協(xié)調(diào)方程：

3 案例分析

案例以SS8-Ⅱ型機車牽引齒輪為研究對象利用嚙合剛度求解高速重載機車牽引變位齒輪的變形量。機車單軸運行功率為900KW，電動機高速運行轉(zhuǎn)速為1946r.min-1。SS8-Ⅱ型機車牽引齒輪的基本參數(shù)和部分幾何尺寸，表格中的單位均為mm，如表1所示。

表1 機車齒輪基本參數(shù)和部分幾何尺寸Tab.1 Basic Parameters and Some Geometric Dimensions of Locomotive Gear

由于SS8-Ⅱ型機車牽引齒輪為直齒輪，嚙合剛度可以根據(jù)石川公式求得，將齒輪雙齒嚙合區(qū)分為若干段，依次計算出每個嚙合點的剛度，實例將單齒嚙合區(qū)等分為20段，將雙齒嚙合區(qū)各等分為30段，在雙齒嚙合區(qū)，兩對齒輪同時嚙合，故綜合嚙合剛度為兩齒輪嚙合剛度之和。在單齒嚙合區(qū)，嚙合剛度可以看成單對齒剛度，圖6為齒輪嚙合剛度曲線。計算結(jié)果，如表2所示。

表2 各嚙合點上的嚙合剛度（單位為N/（mm·μm））Tab.2 The Meshing Stiffness at Each Engagement Point

圖6 各對齒嚙合剛度Fig.6 Meshing Stiffness of Each Pair of Teeth

由機車單軸運行功率以及電機轉(zhuǎn)速可以求得齒輪所受法向力FN=25699.7N，由于主、從動齒輪齒寬不相同，需要取兩者較小值作為工作齒寬帶入計算，單位齒寬平均線載荷為229.46N/mm。在單齒嚙合區(qū)，由于一對齒承擔(dān)全部載荷，故齒間載荷分配率為100%，在雙齒嚙合區(qū)，則需要根據(jù)兩對齒的嚙合剛度比得到載荷分配率，繼而求出主、從動輪嚙入嚙出時的單位齒寬線載荷。SS8-Ⅱ型機車牽引主動齒輪齒間載荷分配，如表3所示。示意圖，如圖7所示。

表3 主動齒輪齒間載荷分配（單位為N/mm）Tab.3 Interdental Load Distribution on Driving Gear

圖7 主動齒間載荷分配示意圖Fig.7 Diagram of Load Distribution on Driving Gear

李潤方在《齒輪傳動的剛度分析和修形方法》一書中著道：在雙齒嚙合區(qū)，每對齒輪各自承擔(dān)一部分載荷，齒間載荷分配涉及到時變嚙合剛度以及誤差等因素，考慮到接觸、彎曲、剪切以及基體傾斜所引起的變形，其載荷分配大致按照40%～60%～100%～60%～40%的值變化[5]。本實例的趨勢變化為43.13%～61.6%～100%～56.87%～38.4%，大致上與李潤方推導(dǎo)出的齒間載荷分配一致。

若對主、從動齒輪同時修形，還需同時計算主、從動齒輪單齒剛度。主從動齒輪的輪齒剛度也可以根據(jù)石川公式求得。由計算結(jié)果可知，主動齒輪單齒嚙合剛度隨嚙合點位置高度的增大而減小，而從動齒輪單齒嚙合剛度隨嚙合點位置高度的增大而增大。主動齒輪的單齒對剛度，如表4所示。其示意圖，如圖8所示。

表4 主動齒輪的輪齒剛度（N/（mm·μm））Tab.4 Gear Stiffness of Driving Gear（N/（mm·μm））

圖8 主從動齒輪的輪齒剛度示意圖Fig.8 Diagram of Stiffness on Drivingand Driven Gear

根據(jù)上面求得的齒間載荷分配以及主從動齒輪的輪齒剛度可知主從動齒輪的變形量，主動輪變形量，如表5所示。從動輪變形量也可以根據(jù)此方法求出。主從動齒輪變形量示意圖，如圖9所示。

表5 主動輪變形量（μm）Tab.5 The Deformation of Driving Gear（μm）

圖9 主從動齒輪變形量示意圖Fig.9 Diagram of the Deformation on Drivingand Driven Gear

由表格數(shù)據(jù)及示意圖可知：主動齒輪變形量隨嚙合點高度呈增長趨勢，但在單齒嚙合區(qū)過渡到雙齒嚙合區(qū)及在雙齒嚙合區(qū)過渡到單齒嚙合區(qū)時會出現(xiàn)突變，主要原因是由于在單齒嚙合區(qū)時只有一對輪齒承擔(dān)全部載荷，而在雙齒嚙合區(qū)只承擔(dān)部分載荷，但在齒對整個嚙合過程中剛度變化比較平滑，沒有出現(xiàn)突變。從動齒輪的變形量則與主動齒輪變化趨勢相反。

4 結(jié)論

（1）基于時變嚙合剛度計算得到的齒間載荷分配與已有根據(jù)經(jīng)驗公式及大量實驗數(shù)據(jù)所得的曲線圖大致一致，從間接驗證在雙齒嚙合區(qū)利用綜合嚙合剛度之比確定齒間載荷分配的方法可行。

（2）數(shù)據(jù)表明齒間載荷分配在單齒嚙合區(qū)過渡到雙齒嚙合區(qū)及在雙齒嚙合區(qū)過渡到單齒嚙合區(qū)時會出現(xiàn)突變，單齒嚙合剛度隨嚙合點位置變化比較平滑，總體來說，主動齒輪變形量隨嚙合點高度呈增長趨勢，但在過渡區(qū)也會出現(xiàn)階躍性突變，從動齒輪則與之相反。

（3）實例結(jié)果表明：從嚙合剛度的角度出發(fā)計算牽引齒輪的變形量可以很好地應(yīng)用于變位牽引齒輪，而且非常方便進行參數(shù)化設(shè)計。