熊文恒 黃 海 周正祥

1武漢理工大學(xué)物流工程學(xué)院 武漢 430063 2江蘇泰隆減速機(jī)股份有限公司 泰興 225400

0 引言

在嚙合的過程中，點(diǎn)線嚙合齒輪傳動(dòng)[1]既有線接觸也有點(diǎn)接觸，具有承載能力高、傳動(dòng)平穩(wěn)等特點(diǎn)，其制造簡(jiǎn)單，具有可分性、磨合性能好、磨損小的特性，齒面可制成各種硬度的齒輪[2]。但是，齒輪在嚙合過程中存在單對(duì)齒和雙對(duì)齒交替嚙合的現(xiàn)象，導(dǎo)致齒輪齒間載荷分配大小不同且受力情況復(fù)雜，極大地影響了齒輪的傳動(dòng)性能和承載能力。目前國內(nèi)外對(duì)漸開線齒輪齒間載荷分配的工作進(jìn)行了大量研究，陸鳳霞等[3]通過建立齒輪接觸分析的有限元模型，利用映射法劃分網(wǎng)格單元，結(jié)合有限元求解，得到齒輪在不同嚙合位置下的載荷仿真值。包家漢等[4]以漸開線直齒圓柱齒輪為研究對(duì)象，通過建立有限元模型，分析齒輪在載荷作用下接觸應(yīng)力及齒間載荷分配的變化情況，認(rèn)為隨著齒間載荷的增大，載荷分配越平緩，嚙合過程中的沖擊力降低。Spitas V等[5]采用焦散的應(yīng)力光學(xué)方法確定了輪齒間載荷分配率，并驗(yàn)證了結(jié)果的準(zhǔn)確性。Elkholy A H、Marimuthu P等[6-8]分別以高重合度齒輪為研究對(duì)象，提出了計(jì)算齒間載荷分配率的解析模型，分析確定了輪齒間的載荷分配系數(shù)。Xie C Y等[9]以標(biāo)準(zhǔn)正齒輪為研究對(duì)象，基于最小彈性勢(shì)能準(zhǔn)則，提出了一種改進(jìn)的齒間載荷分配模型，并利用有限元法研究輪轂的齒間載荷分配率，驗(yàn)證了模型的準(zhǔn)確性。Marques P M T等[10]建立了正齒輪和斜齒輪的齒間載荷分配模型，精確的估算了齒輪的摩擦損失。王積森等[11]利用VB語言對(duì)Solidworks進(jìn)行二次開發(fā)，得到了點(diǎn)線嚙合齒輪的三維造型系統(tǒng)。楊帆等[12]通過3次樣條曲線對(duì)齒輪坐標(biāo)進(jìn)行擬合，并利用分段法獲得點(diǎn)線嚙合齒輪的齒廓方程表達(dá)式，在Solidworks中實(shí)現(xiàn)了點(diǎn)線嚙合齒輪的精確建模。

從現(xiàn)有的研究成果看，漸開線齒輪的齒間載荷分配研究已較全面和深入，而關(guān)于直齒點(diǎn)線嚙合齒輪傳動(dòng)齒間載荷分配計(jì)算的研究尚未開展。在點(diǎn)線嚙合齒輪傳動(dòng)的強(qiáng)度計(jì)算中，采用的仍是漸開線齒輪的齒間載荷分配系數(shù)，這對(duì)點(diǎn)線嚙合齒輪傳動(dòng)的強(qiáng)度計(jì)算結(jié)果會(huì)有一定影響，如果全部采用仿真分析的方法效率會(huì)較低。另外，輪齒在嚙合過程中各接觸點(diǎn)所受力是輪齒嚙合剛度的計(jì)算基礎(chǔ)。因此，研究嚙合過程中的點(diǎn)線嚙合齒輪傳動(dòng)輪齒間載荷分配，得到相應(yīng)的計(jì)算公式，能提高點(diǎn)線嚙合齒輪傳動(dòng)強(qiáng)度計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性和計(jì)算分析效率，也為點(diǎn)線嚙合齒輪傳動(dòng)的嚙合剛度研究提供了基礎(chǔ)。

本文在總結(jié)前人研究的基礎(chǔ)上，建立了直齒點(diǎn)線嚙合齒輪傳動(dòng)的三維模型，通過分析依據(jù)漸開線齒輪齒間載荷分配計(jì)算公式的計(jì)算結(jié)果與直齒點(diǎn)線嚙合齒輪傳動(dòng)有限元仿真結(jié)果，推導(dǎo)出直齒點(diǎn)線嚙合齒輪傳動(dòng)的齒間載荷分配計(jì)算公式。

1 點(diǎn)線嚙合齒輪的嚙合特性

如圖1所示，點(diǎn)線嚙合齒輪在嚙合過程中，嚙合線N1N2為大小齒輪基圓的內(nèi)公切線，B2點(diǎn)為嚙合起始點(diǎn)即大齒輪齒頂圓與嚙合線N1N2的交點(diǎn)。此時(shí)，小齒輪齒根的漸開線部分與大齒輪齒頂?shù)臐u開線部分接觸，為凸齒廓接觸；大小齒輪從B2點(diǎn)到節(jié)點(diǎn)P的嚙合是凸齒廓接觸；C點(diǎn)為雙齒嚙合的結(jié)束點(diǎn)，是單齒嚙合的開始點(diǎn)；D點(diǎn)為單齒嚙合的結(jié)束點(diǎn)，是雙齒嚙合的開始點(diǎn)。在M點(diǎn)嚙合時(shí)，小齒輪的齒頂和大齒輪彼此完全貼合，小齒輪齒頂漸開線與大齒輪過渡曲線接觸形成較大的接觸面積；J點(diǎn)為大齒輪齒廓上漸開線與過渡曲線的分界點(diǎn)，當(dāng)嚙合位置處于J點(diǎn)時(shí)，小齒輪的漸開線與大齒輪齒廓過渡曲線貼合，為凹凸齒廓接觸；B1點(diǎn)為嚙合終止點(diǎn)即小齒輪齒頂圓與嚙合線N1N2的交點(diǎn)。小齒輪與大齒輪在B1點(diǎn)脫離嚙合時(shí)，小齒輪齒廓對(duì)應(yīng)的漸開線與大齒輪的過渡曲線接觸，接觸點(diǎn)很接近大齒輪的J點(diǎn)，但會(huì)在J點(diǎn)以下。在嚙合傳動(dòng)的過程中，由B2點(diǎn)到M點(diǎn)的嚙合為凸齒廓接觸，M點(diǎn)到B1點(diǎn)的嚙合為凹凸齒廓接觸。

圖1 齒輪嚙合點(diǎn)位置圖

2 點(diǎn)線嚙合齒輪齒廓曲線方程

本文研究中所采用的點(diǎn)線嚙合齒輪齒廓曲線方程參考文獻(xiàn)[1]中關(guān)于點(diǎn)線嚙合齒輪齒廓曲線方程的理論研究部分。

2.1 齒條型刀具加工時(shí)被切齒輪的普遍方程式

如圖2所示，假設(shè)靜坐標(biāo)系XOY固定在輪齒坯上，坐標(biāo)系原點(diǎn)O則是輪齒坯的中心。在已知輪齒齒條齒廓上的所有點(diǎn)在動(dòng)坐標(biāo)系X1PY1中坐標(biāo)的前提下，可以得到被加工齒輪的齒廓上所有靜坐標(biāo)系XOY上的點(diǎn)坐標(biāo)，從而得到點(diǎn)線嚙合齒輪的齒廓方程式。

圖2 齒輪坯上的靜坐標(biāo)系

被加工齒輪齒廓的方程式為

式中：r為分度圓半徑，x1、y1為齒廓上的點(diǎn)坐標(biāo)，φ為齒條刀具的滾動(dòng)角。

2.2 點(diǎn)線嚙合齒輪上的過渡曲線方程式

如圖3所示，曲線bJc為點(diǎn)線嚙合齒輪的齒廓曲線，其中曲線bJ為過渡曲線，曲線Jc為漸開線，ra為齒頂圓半徑，rf為齒根圓半徑，r為分度圓半徑，rJ為J點(diǎn)半徑。

圖3 點(diǎn)線嚙合齒輪大齒輪齒廓

點(diǎn)線嚙合齒輪齒廓過渡曲線bJ段的方程式為

式中：ρ*f為圓角半徑系數(shù)，h*a為齒頂高系數(shù)，α為壓力角。

2.3 點(diǎn)線嚙合齒輪上J點(diǎn)的方程

J點(diǎn)的齒廓方程式為

式中：c*n為法向頂隙系數(shù)；h*an為法面齒頂高系數(shù)。

3 漸開線齒輪齒間載荷分配計(jì)算公式

嚙合齒輪齒間載荷分配系數(shù)LSF(Load-sharing factor)是指在一個(gè)嚙合周期內(nèi)，每一個(gè)嚙合齒輪所承擔(dān)整個(gè)傳動(dòng)載荷的比率。其表達(dá)公式為

式中：LSF為嚙合齒輪齒間載荷分配系數(shù)，Pi為單對(duì)齒承受的載荷值，P為齒輪副中的一個(gè)齒輪沿接觸路徑所承受的總載荷。

3.1 AGMA標(biāo)準(zhǔn)漸開線齒輪齒間載荷分配計(jì)算公式

圖4為嚙合齒輪的主動(dòng)輪在轉(zhuǎn)角分別為ω=0°、ω=θLPSTC、ω=θHPSTC和ω=θ時(shí)的嚙合位置圖。

圖4 齒輪傳動(dòng)嚙合位置圖

在AGMA B88(American Gear Manufactur-ers Association)標(biāo)準(zhǔn)[5]中，嚙合齒輪的載荷分配系數(shù)公式為

式中：ω為主動(dòng)輪嚙合所在位置的轉(zhuǎn)角，θLPSTC為齒輪進(jìn)入到單齒嚙合時(shí)主動(dòng)輪的轉(zhuǎn)角，θHPSTC為齒輪進(jìn)入到雙齒嚙合時(shí)主動(dòng)輪的轉(zhuǎn)角，θ為齒輪脫離嚙合時(shí)主動(dòng)輪的轉(zhuǎn)角。

3.2 ISO國際標(biāo)準(zhǔn)漸開線齒輪齒間載荷分配計(jì)算公式

在ISO 6336國際標(biāo)準(zhǔn)[5]中，嚙合齒輪的載荷分配系數(shù)公式為

3.3 漸開線齒輪齒廓參數(shù)公式

由于齒輪在嚙合過程中，2齒的曲率半徑之和是恒定的，所以為了更好地描述接觸點(diǎn)，José I. Pedrero等[13,14]在考慮輪齒嚙合過程中的彎曲、剪切變形和壓縮變形時(shí)，利用最小彈性勢(shì)能準(zhǔn)則(MEPE)，建立了標(biāo)準(zhǔn)正齒輪和斜齒輪沿接觸線的負(fù)載分配模型，同時(shí)推導(dǎo)了漸開線齒輪齒廓參數(shù)公式，具體公式為

式中：ξc為主動(dòng)輪所在嚙合位置下的齒廓參數(shù)，z為主動(dòng)輪的齒數(shù)，rb為基圓半徑，rc為接觸點(diǎn)半徑。

圖5為漸開線齒輪的幾何形狀圖。

圖5 漸開線齒輪的幾何形狀圖

由于嚙合齒輪在不同嚙合位置下的接觸半徑不同，所承受的載荷也有所變化，在充分考慮這些因素后，利用嚙合齒輪在相應(yīng)的接觸路徑及不同嚙合位置下的接觸比得到了嚙合齒輪齒間載荷分配系數(shù)。具體公式為

式中：ξ為主動(dòng)輪的漸開線齒輪齒廓參數(shù)，ξinn為嚙合齒輪剛開始嚙合時(shí)主動(dòng)輪的齒廓參數(shù)，εα為嚙合齒輪的重合度值。

4 點(diǎn)線嚙合齒輪傳動(dòng)的三維建模

本文所研究的直齒點(diǎn)線嚙合齒輪主要參數(shù)的選擇如表1所示，其中主動(dòng)輪為小齒輪，從動(dòng)輪為大齒輪。

表1 一對(duì)點(diǎn)線嚙合齒輪的基本參數(shù)

根據(jù)表1中的齒輪參數(shù)，在Solidworks軟件中對(duì)點(diǎn)線嚙合齒輪傳動(dòng)大、小齒輪進(jìn)行三維建模，并完成齒輪的嚙合裝配。圖6、圖7所示分別為點(diǎn)線嚙合齒輪傳動(dòng)大、小齒輪的齒廓曲線圖。

圖6 大齒輪齒廓曲線圖

圖7 小齒輪齒廓曲線圖

本文主要研究點(diǎn)線嚙合齒輪在1個(gè)嚙合周期內(nèi)的齒間載荷的分配情況，為了提高計(jì)算效率，采用了齒輪的5對(duì)齒進(jìn)行裝配仿真分析。圖8為點(diǎn)線嚙合齒輪傳動(dòng)大小齒輪的裝配體圖。

圖8 點(diǎn)線嚙合齒輪傳動(dòng)裝配體圖

5 有限元仿真分析

為更好地對(duì)點(diǎn)線嚙合齒輪傳動(dòng)的齒間載荷分配進(jìn)行研究分析，假設(shè)點(diǎn)線嚙合齒輪的輪體為剛性體，即在有限元分析前將輪齒的彈性模量在原來的基礎(chǔ)上擴(kuò)大一萬倍[15]，彈性模量E=2×109MPa。

5.1 點(diǎn)線嚙合齒輪傳動(dòng)的有限元分析前處理

在Ansys Workbench靜力學(xué)分析模塊中，將點(diǎn)線嚙合齒輪的材料設(shè)置為合金鋼，即20CrMnMo，材料彈性模量E=2×109MPa，泊松比為0.3。

本文采用面-面接觸的方式，選擇小齒輪嚙合面為接觸面，大齒輪嚙合面為目標(biāo)面，接觸類型為有摩擦接觸(Frictional)，設(shè)置摩擦系數(shù)為0.1，網(wǎng)格采用六面體主導(dǎo)的劃分方法。圖9為點(diǎn)線嚙合齒輪網(wǎng)格劃分圖。

圖9 點(diǎn)線嚙合齒輪網(wǎng)格劃分圖

對(duì)從動(dòng)輪施加固定約束(Fixed Support)，主動(dòng)輪施加圓柱面約束(Cylindrical Support)，限制主動(dòng)輪的徑向旋轉(zhuǎn)自由度(Radial)和軸向旋轉(zhuǎn)自由度(Axial)，釋放其切向旋轉(zhuǎn)自由度(Tangential)，同時(shí)對(duì)主動(dòng)輪施加477.5N·m的扭矩，使得主動(dòng)輪繞軸線順時(shí)針旋轉(zhuǎn)。圖10為點(diǎn)線嚙合齒輪約束設(shè)置圖。

圖10 點(diǎn)線嚙合齒輪約束設(shè)置圖

5.2 有限元仿真結(jié)果

利用有限元仿真得到點(diǎn)線嚙合齒輪傳動(dòng)在不同嚙合位置下的齒間載荷仿真值。表2為在剛性體條件下，點(diǎn)線嚙合齒輪傳動(dòng)在B2點(diǎn) (ω=0°)、C點(diǎn) (ω=7.88°)、D點(diǎn)(ω=12.85°)和B1點(diǎn) (ω=20.74°)的齒間載荷仿真值和載荷分配率。

表2 剛性體條件下齒輪齒間載荷仿真值和分配率

圖11為基于有限元仿真齒間載荷分配率，結(jié)合表2可知，點(diǎn)線嚙合齒輪傳動(dòng)在剛開始進(jìn)入嚙合時(shí)，齒輪承受載荷突變?yōu)? 297.3 N，此時(shí)齒輪齒間載荷分配率為0.401；當(dāng)主動(dòng)輪轉(zhuǎn)角增加到7.88°時(shí)，齒輪承受載荷達(dá)到最大值為13 192 N；此后，主動(dòng)輪轉(zhuǎn)角在7.88°～12.85°時(shí)，齒輪承受的載荷最大且基本保持不變；當(dāng)主動(dòng)輪轉(zhuǎn)角大于12.85°時(shí)，齒輪受載荷值開始逐漸下降，并在20.74°即齒輪開始脫離嚙合時(shí)，達(dá)到最小值為5 279.4 N，此時(shí)齒輪齒間載荷分配率為0.4。

圖11 基于有限元仿真齒間載荷分配率

將圖11擬合成直線，從而得到圖12所示點(diǎn)線嚙合齒輪傳動(dòng)的齒間載荷分配率圖。

圖12 點(diǎn)線嚙合齒輪傳動(dòng)齒間載荷分配率

6 結(jié)果分析

按式（7）、式（8）和式（10）分別得到理論計(jì)算的點(diǎn)線嚙合齒輪傳動(dòng)齒間載荷分配率，并將結(jié)果與有限元仿真得到的點(diǎn)線嚙合齒輪傳動(dòng)的齒間載荷分配率進(jìn)行對(duì)比分析。

圖13為基于AGMA B88標(biāo)準(zhǔn)計(jì)算得到的點(diǎn)線嚙合齒輪傳動(dòng)齒間載荷分配率，齒輪在剛進(jìn)入嚙合時(shí)，齒輪齒間載荷值占總載荷的33.3%。當(dāng)主動(dòng)輪轉(zhuǎn)角為7.88°時(shí)，載荷值突然增大，齒輪齒間載荷值占總載荷的66.7%。當(dāng)主動(dòng)輪轉(zhuǎn)角在7.88°～12.85°時(shí)，齒輪承受載荷最大且基本保持不變。當(dāng)主動(dòng)輪轉(zhuǎn)角大于12.85°時(shí)，齒輪齒間載荷值開始突然下降，載荷分配率由100%下降到66.7%。在主動(dòng)輪轉(zhuǎn)角為20.74°時(shí)，齒輪齒間載荷值下降到最小且占總載荷的33.3%，齒輪脫離嚙合，嚙合周期結(jié)束。

圖13 基于AGMA B88標(biāo)準(zhǔn)齒輪齒間載荷分配率

圖14為基于ISO 6336國際標(biāo)準(zhǔn)計(jì)算得到的點(diǎn)線嚙合齒輪傳動(dòng)齒間載荷分配率，可以看出ISO 6336國際標(biāo)準(zhǔn)公式與AGMA B88標(biāo)準(zhǔn)公式計(jì)算得到的齒輪齒間載荷分配率相近。齒輪在剛進(jìn)入嚙合時(shí)，齒輪齒間載荷值占總載荷的33.3%。當(dāng)主動(dòng)輪轉(zhuǎn)角為7.88°時(shí)，載荷值突然增大，此時(shí)齒輪齒間載荷值占總載荷的66.7%。當(dāng)主動(dòng)輪轉(zhuǎn)角在7.88°～12.85°時(shí)，齒輪承受載荷最大且基本保持不變。當(dāng)主動(dòng)輪轉(zhuǎn)角大于12.85°時(shí)，齒輪齒間載荷值開始突然下降，載荷分配率由100%下降到66.7%。在主動(dòng)輪轉(zhuǎn)角為20.74°時(shí)，齒輪齒間載荷值下降到最小且占總載荷的33.3%，齒輪脫離嚙合，嚙合周期結(jié)束。

圖14 基于ISO 6336標(biāo)準(zhǔn)齒輪齒間載荷分配率

圖15為基于漸開線齒輪齒廓參數(shù)公式計(jì)算得到的點(diǎn)線嚙合齒輪傳動(dòng)齒間載荷分配率，此公式與前2個(gè)公式計(jì)算得到的載荷分配率有所不同。齒輪在剛進(jìn)入嚙合時(shí)，齒輪齒間載荷值占總載荷的36%。當(dāng)主動(dòng)輪轉(zhuǎn)角為7.88°時(shí)，載荷值開始突然增大，此時(shí)齒輪齒間載荷值占總載荷的64%。當(dāng)主動(dòng)輪轉(zhuǎn)角在7.88°～12.85°時(shí)，齒輪承受載荷最大且基本保持不變。當(dāng)主動(dòng)輪轉(zhuǎn)角大于12.85°時(shí)，齒輪齒間載荷值突然下降為總載荷的64%。在主動(dòng)輪轉(zhuǎn)角為20.74°時(shí)，齒輪齒間載荷值下降到最小且占總載荷的36%，齒輪脫離嚙合，嚙合周期結(jié)束。

圖15 基于漸開線齒輪齒廓參數(shù)公式齒間載荷分配率

圖16為點(diǎn)線嚙合齒輪傳動(dòng)齒間載荷分配率的有限元仿真分析結(jié)果。由式（7）、式（8）、式（10）理論計(jì)算結(jié)果的對(duì)比圖可以看出，點(diǎn)線嚙合齒輪傳動(dòng)齒間載荷分配率的有限元仿真結(jié)果與理論計(jì)算結(jié)果有所不同。點(diǎn)線嚙合齒輪傳動(dòng)在B2點(diǎn)(ω=0°)即剛開始進(jìn)入嚙合時(shí)，齒輪齒間載荷分配率為0.401，大于理論計(jì)算的齒間載荷分配率。在B1點(diǎn)(ω=20.74°)即脫離嚙合時(shí)，齒輪齒間載荷分配率為0.4，也大于理論計(jì)算的齒間載荷分配率。

圖16 齒間載荷分配率有限元仿真與理論計(jì)算對(duì)比圖

由于點(diǎn)線嚙合齒輪傳動(dòng)在剛進(jìn)入嚙合即B2點(diǎn)(ω=0°)時(shí)的齒間載荷分配率為0.401，隨著主動(dòng)輪轉(zhuǎn)角的增大，點(diǎn)線嚙合齒輪傳動(dòng)的齒間載荷分配率呈線性增長(zhǎng)，增長(zhǎng)斜率為1/5。隨著主動(dòng)輪繼續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)，在脫離雙齒嚙合開始進(jìn)入單齒嚙合即C點(diǎn)(ω=7.88°)時(shí)，點(diǎn)線嚙合齒輪傳動(dòng)的齒間載荷分配率為1。在θLPSTC≤ω≤θHPSTC時(shí)，齒間載荷分配率保持不變。隨著主動(dòng)輪轉(zhuǎn)角的繼續(xù)增大，在脫離單齒嚙合開始進(jìn)入雙齒嚙合即D點(diǎn)(ω=12.85°)時(shí)，點(diǎn)線嚙合齒輪傳動(dòng)的齒間載荷分配率開始呈線性下降趨勢(shì)，斜率為1/5。B1點(diǎn)(ω=20.74°)即齒輪脫離嚙合時(shí)，齒間載荷分配率下降到最小值為0.4。結(jié)合AGMA B88標(biāo)準(zhǔn)和ISO 6336國際標(biāo)準(zhǔn)以及圖12得到點(diǎn)線嚙合齒輪傳動(dòng)的齒間載荷分配計(jì)算公式為

式（11）、式（12）主要適用于在剛性體條件下，對(duì)點(diǎn)線嚙合齒輪傳動(dòng)的齒間載荷分配率進(jìn)行高效快捷的計(jì)算，為以后研究點(diǎn)線嚙合齒輪傳動(dòng)的嚙合剛度的問題提供理論依據(jù)。

7 結(jié)論

1）漸開線齒輪齒間載荷分配計(jì)算公式不適用于點(diǎn)線嚙合齒輪傳動(dòng)。

2）仿真結(jié)果表明，點(diǎn)線嚙合齒輪傳動(dòng)在嚙合過程中，輪齒所受力的變化仍然接近于線性變化。

3）點(diǎn)線嚙合齒輪傳動(dòng)在剛進(jìn)入嚙合即B2點(diǎn)時(shí)齒輪齒間載荷由零突然增大到總載荷的2/5，故需考慮齒輪在剛開始嚙合時(shí)所受載荷沖擊對(duì)輪齒的破壞。

4）點(diǎn)線嚙合齒輪傳動(dòng)在雙齒嚙合開始時(shí)的B2點(diǎn)和雙齒嚙合結(jié)束時(shí)的B1點(diǎn)的載荷占總載荷的2/5，而在雙齒嚙合結(jié)束時(shí)的C點(diǎn)和雙齒嚙合開始時(shí)的D點(diǎn)的載荷占總載荷的3/5。